Pregunta 1. Calcula:
(yo) 30!/28!
(ii) (¡11! – ¡10!)/9!
(iii) MCM (6!, 7!, 8!)
Solución:
(yo) 30!/28!
Lo sabemos,
¡norte! = n(n-1)!
Por lo tanto, 30! = 30 × 29! = 30 × 29 × 28!
30!/28! = (30 × 29 × 28!)/28!
= 30 × 29 = 870
(ii) (¡11! – ¡10!)/9!
Lo sabemos,
¡norte! = n(n-1)!
Por lo tanto,
11! = 11 × 10! =11 × 10 × 9!
10! = 10 × 9!
Usando estos valores, obtenemos
(¡11! – ¡10!)/9! = (11 × 10 × 9! – 10 × 9!)/ 9!
= 9! (110 – 10)/9!
= 110 – 10
= 100
(iii) MCM (6!, 7!, 8!)
Lo sabemos,
8! = 8 × 7 × 6!
7! = 7 × 6!
6! = 6!
Asi que,
MCM de 6!, 7!, 8! = MCM [8 × 7 × 6!, 7 × 6!, 6!]
= 8 × 7 × 6!
= 8!
Pregunta 2. Demuestra que: 1/9! + 1/10! + 1/11! = 122/11!
Solución:
Dado:
1/9! + 1/10! + 1/11! = 122/11!
IZQ: 1/9! + 1/10! + 1/11!
Usando n = n(n-1)!
1/9! + 1/10! + 1/11! = 1/9! + 1/(10×9!) + 1/(11×10×9!)
= (110 + 11 + 1)/(11 × 10 × 9!)
= 122/11!
= lado derecho
Por lo tanto, RHS = LHS
Por lo tanto, probado.
Pregunta 3. Encuentra x en cada uno de los siguientes:
(yo) 1/4! + 1/5! = x/6!
(ii) x/10! = 1/8! + 1/9!
(iii) 1/6! + 1/7! = x/8!
Solución:
(yo) 1/4! + 1/5! = x/6!
Lo sabemos
5! = 5 × 4!
6! = 6 × 5!
Así que usando estos valores
1/4! + 1/5! = x/6!
1/4! + 1/(5×4!) = x/(6×5!)
(5 + 1) / (5×4!) = x/(6×5!)
6/5! = x/(6×5!)
x = (6 × 6 × 5!)/5!
= 36
∴ x = 36.
(ii) x/10! = 1/8! + 1/9!
Lo sabemos
10! = 10 × 9!
9! = 9 × 8!
Usando estos valores, obtenemos
x/10! = 1/8! + 1/9!
x/10! = 1/8! + 1/(9×8!)
x/10! = (9 + 1) / (9×8!)
x/10! = 10/9!
x/(10×9!) = 10/9!
x = (10 × 10 × 9!)/9!
= 10 × 10
= 100
∴ x = 100.
(iii) 1/6! + 1/7! = x/8!
Lo sabemos
8! = 8 × 7 × 6!
7! = 7 × 6!
Así que usando estos valores,
1/6! + 1/7! = x/8!
1/6! + 1/(7×6!) = x/8!
(1 + 7)/(7×6!) = x/8!
8/7! = x/8!
8/7! = x/(8×7!)
x = (8 × 8 × 7!)/7!
= 8 × 8
= 64
∴ El valor de x es 64.
Pregunta 4. Convierte los siguientes productos en factoriales:
(yo) 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
(ii) 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18
(iii) (n + 1) (n + 2) (n + 3) …(2n)
(iv) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1)
Solución:
(yo) 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
Podemos reescribir la expresión anterior como:
5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 = (1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)/(1×2×3×4)
= 10!/4!
(ii) 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18
Podemos reescribir la expresión anterior como:
3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ 15 ⋅ 18 = (3×1) × (3×2) × (3×3) × (3×4) × (3×5) × (3×6)
= 3 6 (1×2×3×4×5×6)
= 3 6 (6!)
(iii) (n + 1) (n + 2) (n + 3) … (2n)
Podemos reescribir la expresión anterior como:
(n + 1) (n + 2) (n + 3) … (2n) = [(1) (2) (3) ..(n) … (n + 1) (n + 2) (n + 3 ) … (2n)] / (1) (2) (3) .. (n)
= (2n)!/n!
(iv) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1)
Podemos reescribir la expresión anterior como:
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 … (2n – 1) = [(1) (3) (5) … (2n-1)] [(2) (4) (6) … (2n)] / [ (2) (4) (6) … (2n)]
Saca 2 de cada termino del denominador
= [(1) (2) (3) (4) … (2n-1) (2n)] / 2 [(1) (2) (3) … (n)]
= (2n)! / 2n!
Pregunta 5. ¿Cuáles de los siguientes son verdaderos:
(yo) (2 + 3)! = 2! + 3!
(ii) (2 × 3)! = 2! × 3!
Solución:
(yo) (2 + 3)! = 2! + 3!
LHS:
(2 + 3)! = 5!
lado derecho,
2! + 3! = (2×1) + (3×2×1)
= 2 + 6
= 8
IZQ ≠ DERECHO
∴ La expresión dada es falsa.
(ii) (2 × 3)! = 2! × 3!
LHS:
(2×3)! = 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720
lado derecho,
2! × 3! = (2×1) × (3×2×1)
= 12
IZQ ≠ DERECHO
∴ La expresión dada es falsa.
Pregunta 6. Demuestre que: n! (n + 2) = n! + (n + 1)!
Solución:
Dado:
¡norte! (n + 2) = n! + (n + 1)!
Método -1 (convertir RHS a LHS)
RHS = n! + (n + 1)!
¡norte! + (n + 1)! = n! + (n + 1) (n)!
= n!(1 + n + 1)
= n! (n + 2)
= LHS
LHS = RHS
Por lo tanto, Probado.
Método – 2 (conversión de LHS a RHS)
IZQ = n! (n + 2)
¡norte! (n + 2) = n! (1 + norte + 1)
= n!(1)+n!(n + 1)
= n! +(n + 1)!
= lado derecho
RHS = LHS
Por lo tanto, Probado.
Pregunta 7. Si (n + 2)! = 60[(n – 1)!], encuentre n.
Solución:
Lo sabemos,
¡norte! = n(n-1)!
Al usar esta propiedad
(n + 2)! = 60[(n – 1)!]
(n + 2)(n + 1)(n)[(n – 1)!] = 60[(n – 1)!]
(n + 2)(n + 1)(n) = 60
(n + 2)(n + 1)(n) = 5 × 4 × 3
Al comparar ambos lados, obtenemos
norte = 3
∴ norte = 3
Pregunta 8. Si (n + 1)! = 90[(n – 1)!], encuentre n.
Solución:
Lo sabemos,
¡norte! = n(n-1)!
Al usar esta propiedad
(n + 1)! = 90[(n – 1)!]
(n + 1)(n)[(n – 1)!] = 90[(n – 1)!]
(n + 1)(n) = 90
(n + 1)(n) = 10 × 9
Al comparar ambos lados, obtenemos
norte = 9
∴ norte = 9
Pregunta 9. Si (n + 3)! = 56[(n + 1)!], encuentre n.
Solución:
Lo sabemos,
¡norte! = n(n-1)!
Al usar esta propiedad
(n + 3)! = 56[(n + 1)!]
(n + 3)(n+2)[(n + 1)!] = 56[(n + 1)!]
(n + 3)(n + 2) = 56
(n + 3)(n + 2) = 8 × 7
Al comparar ambos lados, obtenemos
norte + 2 = 7
∴ norte = 5
Pregunta 10. Si (2n)! / (3!(2n – 3)!) y n! / (2!(n – 2)!) están en la proporción 44:3, encuentre n.
Solución:
Vamos [(2n)! / (3!(2n – 3)!)] / [n! / (2!(n – 2)!) ] = 44/3
[(2n)! × 2!(n – 2)!] / [3!(2n – 3)! × n!] = 44/3
[2n×(2n-1)×(2n-2)×(2n-3)!×2!×(n-2)!] / [3!×(2n-3)!×n×(n-1 )×(n-2)!] = 44/3
(2n×(2n-1)×2(n-1))/(3×n×(n-1)) = 44/3
4(2n-1) = 44
2n-1 = 11
2n = 12
∴ norte = 6
Pregunta 11. Demostrar que:
¡en! / (nr)! = n(n-1)(n-2) . . . (n-(r-1))
ii) n! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = (n+1)! / (r!(n-r+1)!)
Solución:
(¡en! / (nr)! = n(n-1)(n-2) . . . (n-(r-1))
LHS:
¡norte! / (nr)! = [n×(n-1)×(n-2) . . . (n-r+2)×(n-r+1)×(nr)!] / (nr)!
= n×(n-1)×(n-2). . . (n-r+2)×(n-r+1)
= n×(n-1)×(n-2). . . (n-(r-2))×(n-(r-1))
= n(n-1)(n-2). . . (n-(r-1))
= lado derecho
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
(ii) n! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = (n+1)! / (r!(n-r+1)!)
LHS:
¡norte! / ((nr)!r!) + n! / ((n-r+1)!(r-1)!) = n![(n-r+1) / ((n-r+1)!r!) + r / ((n-r+ 1)!r!) ]
= n![(n-r+1+r) / (n-r+1)!r!]
= n!(n+!)/[(n-r+1)!r!]
= (n+1)! / (r!(n-r+1)!)
= lado derecho
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
Pregunta 12. Demuestre que: i) (2n+1)! / n! = 2[1.3.5. . . (2n – 1)(2n + 1)]
Solución:
LHS:
(2n+1)! / n! = [1×2×3×4 . . . (2n-2)×(2n-1)×(2n)×(2n+1)] / norte!
Separa los términos pares e impares en el numerador
= {[2×4 ×6 . . . (2n-2)×(2n)][1×3 ×5 . . . (2n-1)×(2n+1)]} / n!
Saca el factor de dos de todos los términos pares del numerador
= {2 [1×2×3. . . (n-1)×(n)] [1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]} / n!
= {2n! [1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]}/n!
= 2[1×3×5. . . (2n-1)×(2n+1)]
= lado derecho
LHS = RHS
Por lo tanto, probado.
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Artículo escrito por gunjeetajain910 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA