Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Permutaciones – Ejercicio 16.2 | conjunto 2

Pregunta 17. ¿Cuántos números de tres cifras hay?

Solución:

Formas de seleccionar el lugar 100 = ⁹ P ₁ = 9 (Seleccionar de todos los dígitos excepto 0)

Formas de seleccionar el décimo lugar = ¹⁰ P ₁ = 10 (Seleccionar de todos los dígitos)

Formas de seleccionar ritmo unitario = ¹⁰ P ₁ = 10 (Selección de todos los dígitos)

Total de números de 3 dígitos posibles = 9 x 10 x 10 = 900          

Pregunta 18. ¿Cuántos números impares de tres cifras hay?

Solución:

Formas de seleccionar el lugar 100 = ⁹ P ₁ = 9 (Seleccionar de todos los dígitos excepto 0)

Formas de seleccionar el décimo lugar = ¹⁰ P ₁ = 10 (Seleccionar de todos los dígitos)

Formas de seleccionar el ritmo unitario = ⁵ P ₁ = 5 (Selección de todos los dígitos impares)

Total de números impares de 3 dígitos = 9 x 10 x 5 = 450          

Pregunta 19. ¿Cuántas placas diferentes de cinco dígitos se pueden hacer si

(i) El primer dígito no puede ser cero, y no se permite la repetición de dígitos,

(ii) ¿El primer dígito no puede ser cero, pero se permite la repetición de dígitos?

Solución:

(i) Primer dígito = ⁹ P ₁ = 9 formas (todos los dígitos excepto el cero)

Segundo dígito = ⁹ P ₁ = 9 vías (todos los dígitos excepto el primer dígito de la matrícula) 

Tercer dígito = ⁸ P ₁ = 8 vías (todos los dígitos excepto el primero y segundo dígitos de la matrícula) 

Cuarto dígito = ⁷ P ₁ = 7 vías (todos los dígitos excepto el primero, segundo y tercero de la placa) 

Quinto dígito = 6 formas (todos los dígitos excepto el primero, segundo, tercero y cuarto dígitos de la placa)  

Formas totales = 9 x 9 x 8 x 7 x 6 

= 27216        

(ii) Primer dígito = ⁹ P ₁ = 9 formas (todos los dígitos excepto el cero)

Segundo dígito = ¹⁰ P ₁ = 10 formas (todos los dígitos)

Tercer dígito = ¹⁰ P ₁ = 10 formas (todos los dígitos)

Cuarto dígito = ¹⁰ P ₁ = 10 formas (todos los dígitos)

Quinto dígito = ¹⁰ P ₁ = 10 formas (todos los dígitos)  

Formas totales = 9 x 10 x 10 x 10 x 10

= 90,000

Pregunta 20. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con las cifras 3, 5, 7, 8, 9 mayores de 7000, si no se permite la repetición de cifras?

Solución:

Primer dígito = ³ P ₁ = 3 formas (solo 7, 8, 9 son dígitos posibles para que sea mayor que 7000)

Segundo dígito = ⁴ P ₁ = 4 formas (los 5 dígitos excepto el primer dígito del número seleccionado)

Tercer dígito = ³ P ₁ = 3 formas (los 5 dígitos excepto el primero y segundo dígitos del número)

Cuarto dígito = ² P ₁ = 2 formas (los 5 dígitos excepto el primero, segundo y tercero del número)

Números totales = 3 x 4 x 3 x 2

= 72

Pregunta 21. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con las cifras 3, 5, 7, 8, 9 mayores de 8000, si no se permite la repetición de cifras?

Solución:

Primer dígito = ² P ₁ = 2 formas (solo 8, 9 son dígitos posibles para que sea mayor que 8000)

Segundo dígito = ⁴ P ₁ = 4 formas (los 5 dígitos excepto el primer dígito del número seleccionado)

Tercer dígito = ³ P ₁ = 3 formas (los 5 dígitos excepto el primero y segundo dígitos del número)

Cuarto dígito = ² P ₁ = 2 formas (los 5 dígitos excepto el primero, segundo y tercero del número)

Números totales = 2 x 4 x 3 x 2

= 48

Pregunta 22. ¿De cuántas maneras pueden sentarse seis personas en una fila?

Solución:

Consideremos 6 asientos en la fila dada

Primer asiento = ⁶ P ₁ = 6 opciones de personas

Segundo asiento = ⁵ P ₁ = 5 opciones (la persona que ya está sentada en el primer asiento no puede sentarse aquí)  

Tercer asiento = ⁴ P ₁ = 4 opciones (las personas sentadas en primero y segundo no pueden sentarse en tercero)

Cuarto asiento = ³ P ₁ = 3 opciones

Quinto asiento = ² P ₁ = 2 opciones

Sexto asiento = ¹ P ₁ = 1 opción

Formas totales = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720

Pregunta 23. ¿Cuántos números de 9 dígitos de diferentes cifras se pueden formar?

Solución:

1er dígito = ⁹ P ₁ = 9 posibilidades (el cero no es posible)

2do dígito = ⁹ P ₁ = 9 posibilidades (excepto el primer dígito)

3er dígito = ⁸ P ₁ = 8 posibilidades (excepto el primer y segundo dígito seleccionados)

4º dígito = ⁷ P ₁ = 7 posibilidades (excepto el primer, segundo y tercer dígito seleccionados)

para todas las posiciones i-ésimas subsiguientes, las posibilidades continúan disminuyendo en 1, por lo que,

eventualmente para el noveno dígito, 2 posibilidades

Números totales = 9 x 9 x 8 x ….. 2

= 9×9!

= 3265920

Pregunta 24. ¿Cuántos números impares menores de 1000 se pueden formar usando los dígitos 0, 3, 5, 7 cuando no se permite la repetición de dígitos?

Solución:

Caso 1: número de 1 dígito

³ P ₁ = 3 vías (ya que 0 es par, no se puede seleccionar)

Caso 2: números de 2 dígitos

1er dígito = ³ P ₁ = 3 vías (excepto 0)

2do dígito = ² P ₁ = 2 formas (excepto el primer dígito y 0)

= 3×2 = 6

Caso 3: números de 3 dígitos  

1er dígito = ³ P ₁ = 3 vías (excepto 0)

2do dígito = ³ P ₁ = 3 formas (excepto el primer dígito)

3er dígito = ² P ₁ = 2 formas (excepto el primer y segundo dígito)

4to dígito = ¹ P ₁ = 1 formas (excepto el primer, segundo y tercer dígito)

Números totales incluyendo pares e impares = 3 x 3 x 2 x 1 = 18

Incluso tales números incluidos = números que terminan en cero

= Número de opciones para la 3ra posición es 1

= El número de opciones para la segunda posición es 3

= Número de opciones para la 1ra posición – 2

Números pares = 1 x 3 x 2 = 6  

= 18 – 6 = 12 (números impares)

Caso 4: números de 4 dígitos

No hay posibilidad (ya que serán mayores que 1000)  

Números totales = 3 + 6 + 12 + 0

= 21

Pregunta 25. ¿Cuántos números de 3 dígitos hay, con dígitos distintos, con cada dígito impar?

Solución:

Los dígitos impares son 1, 3, 5, 7, 9

Entonces, el número total de dígitos impares = 5

Ahora, seleccione 3 dígitos = ⁵ P ₃ = 10 formas

¡Organiza estos dígitos seleccionados = 3! maneras

¡Números totales = 10 x 3! = 60    

Pregunta 26. ¿Cuántos números diferentes de seis dígitos cada uno se pueden formar a partir de los dígitos 4, 5, 6, 7, 8, 9 cuando no se permite la repetición de dígitos?

Solución:

Se puede seleccionar el primer dígito de un número de seis dígitos = 6 formas

Se puede seleccionar el segundo dígito de un número de seis dígitos = 5 formas

Se puede seleccionar el tercer dígito de un número de seis dígitos = 4 formas

Se puede seleccionar el cuarto dígito de un número de seis dígitos = 3 formas

Se puede seleccionar el quinto dígito de un número de seis dígitos = 2 formas

Y el último dígito del número de seis dígitos se puede seleccionar = 1 formas

Entonces, los arreglos finales de 6 dígitos = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas

Pregunta 27. ¿Cuántos números diferentes de seis dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 3,1,7,0,9,5 cuando no se permite la repetición de dígitos?

Solución:

 Posibilidades para el 1er dígito = 5 (excepto 0)

Posibilidades para el segundo dígito = 5 

Posibilidades para el 3er dígito = 4

Posibilidades para el 4º dígito = 3

Posibilidades para el quinto dígito = 2

Posibilidades para el último dígito = 1

Entonces, los números totales = 5 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 600    

Pregunta 28. ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras, mayores de 5000, se pueden formar con las cifras 1,2,5,9,0 cuando no se permite la repetición de cifras?

Solución:

Para el 1er dígito, formas = 2 formas (solo 5 o 9)

Para lugares restantes = ⁴ P ₃ vías 

Para elegir los dígitos = ⁴ P ₃ x 3! = 24 arreglos

Formas totales = 2 x 24 = 48  

Pregunta 29. Los números de serie de un artículo producido en una fábrica se harán con dos letras seguidas de cuatro dígitos (0 a 9). Si las letras se van a tomar de seis letras del alfabeto inglés sin repetición y los dígitos tampoco se repiten en un número de serie, ¿cuántos números de serie son posibles?

Solución:

Arreglos para 2 letras = 2! x ⁶ P ₂ = 30

Arreglos para 4 dígitos = 4! x ¹⁰ p ₄ = 5040

Números requeridos = 30 x 5040 = 151200

Pregunta 30. Un candado numérico en una maleta tiene 3 ruedas, cada una etiquetada con diez dígitos del 0 al 9. Si la apertura del candado es una secuencia particular de tres dígitos sin repeticiones, ¿cuántas secuencias de este tipo serán posibles? Además, encuentre el número de intentos fallidos de abrir la cerradura.

Solución:

Maneras del primer número = 10

Formas del segundo número = 9 (excepto el primero)

Vías del tercer número = 8 (excepto primero y segundo)

Números totales = 10 x 9 x 8 = 720

Número de intentos fallidos = 719 (ya que solo 1 será la posibilidad correcta)  

Pregunta 31. Un cliente olvida un código de cuatro dígitos para un Cajero Automático (ATM) en un banco. Sin embargo, recuerda que este código consta de los dígitos 3, 5, 6 y 9. Encuentra el mayor número posible de intentos necesarios para obtener el código correcto.

Solución:

Número total de dígitos = 4

Por lo tanto, el mayor número posible de intentos necesarios para obtener el código correcto = 4. = 24 intentos

Pregunta 32. ¿De cuántas maneras se pueden asignar tres trabajos I, II y III a tres personas A, B y C si a una persona se le asigna solo un trabajo y todos son capaces de realizar cada trabajo?

Solución:

Número total de trabajos = 3

Número total de personas = 3

Es exactamente lo mismo que colocar 3 objetos, en 3 posiciones diferentes = ¡3! caminos = 6