Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 16 Permutaciones – Ejercicio 16.3

Pregunta 1. Evalúe cada uno de los siguientes:

(i) ⁸ P ₃

(ii) ¹⁰ P ₄

(iii) ⁶ P ₆

(iv) P (6, 4)

Solución:

(i) ⁸ P ₃

Como sabemos que, ⁸ P ₃ se puede escribir como P (8, 3)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(nr)!}$

PAG (8, 3) $=\frac{8!}{(8-3)!}\\ =\frac{8!}{5!}\\ =\frac{(8\times7\times6\times5!)}{5!}$

= 8 × 7 × 6

= 336

∴ ⁸ P ₃ = 336

(ii) ¹⁰ P ₄

Como sabemos que, ¹⁰ P ₄ se puede escribir como P (10, 4)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}\\$

PAG (10, 4) = $\frac{10!}{(10-4)!}\\ =\frac{10!}{6!}\\ =\frac{(10\times9\times8\times7\times6!)}{6!}$

= 10 × 9 × 8 × 7

= 5040

∴ ¹⁰ P ₄ = 5040

(iii) ⁶ P ₆

Como sabemos que, ⁶ P ₆ se puede escribir como P (6, 6)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}$

P (6, 6) = $\frac{6!}{(6-6)!}\\ =\frac{6!}{0!}\\ =\frac{(6\times5\times4\times3\times2\times1)}{1}$ {Ya que, 0! = 1}

= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 720

∴ ⁶ P ₆ = 720

(iv) P (6, 4)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}$

PAG (6, 4) = $\frac{6!}{(6-4)!}\\ =\frac{6!}{2!}\\ =\frac{6\times5\times4\times3\times2!}{2!}$

= 6 × 5 × 4 × 3

= 360

∴ PAG (6, 4) = 360

Pregunta 2. Si P (5, r) = P (6, r – 1), encuentra r.

Solución:

Dado:

PAG (5, r) = PAG (6, r – 1)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}$

P (5, r) = $\frac{5!}{(5-r)!}$

P (6, r-1) = $\frac{6!}{(6-(r^{-1}))!}\\ =\frac{6!}{(6-(r-1))!}\\ =\frac{6!}{(7-r)!}$

Entonces, de la pregunta,

PAG (5, r) = PAG (6, r – 1)

Entonces, después de sustituir los valores en la expresión anterior, obtendremos,

$\frac{5!}{(5-r)!}=\frac{6!}{(7-r)!}$

Al evaluar,

$\frac{(7-r)!}{(5-r)!}=\frac{6!}{5!}\\ \frac{[(7-r)(7-r-1)(7-r-2)!]}{(5-r)!}=\frac{(6\times5!)}{5!}\\ \frac{[(7-r)(6-r)(5-r)!]}{(5-r)!}=6$

(7 – r) (6 – r) = 6

42 – 6r – 7r + r2 = ⁶

42 – 6 – 13r + r2 = ⁰

r ² – 13r + 36 = 0

r ² – 9r – 4r + 36 = 0

r(r-9)-4(r-9) = 0

(r-9) (r-4) = 0

r = 9 o 4

Para, P (n, r): r ≤ n

∴ r = 4 [para, P (5, r)]

Pregunta 3. Si 5 P(4, n) = 6 P(5, n – 1), encuentra n.

Solución:

Dado:

5 P(4, n) = 6 P(5, n – 1)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n-r)!}$

P (4, n) = $\frac{4!}{(4-n)!}$

P (5, n-1) = $\frac{5!}{(5-(n-1))!}\\ \frac{5!}{(5-n+1)!}\\ \frac{5!}{(6-n)!}$

Entonces, de la pregunta,

5 P(4, n) = 6 P(5, n – 1)

Entonces, después de sustituir los valores en la expresión anterior, obtendremos,

$\frac{5 × 4!}{(4 - n)!} = \frac{6 × 5!}{(6 - n)!}$

Al evaluar,

$\frac{(6 - n)!}{(4 - n)!}= \frac{6}{5} × \frac{5!}{4!}\\ \frac{[(6 - n) (6 - n - 1) (6 - n - 2)!]}{(4 - n)!} = \frac{(6 × 5 × 4!)}{ (5 × 4!)}\\ \frac{[(6 - n) (5 - n) (4 - n)!]}{(4 - n)!} = 6$

(6 – n) (5 – n) = 6

30 – 6n – 5n + n2 ⁼ 6

30 – 6 – 11n + n ² = 0

^{norte 2} – 11n + 24 = 0

n ² – 8n – 3n + 24 = 0

n(n-8)-3(n-8) = 0

(n-8) (n-3) = 0

n = 8 o 3

Para, P (n, r): r ≤ n

∴ n = 3 [para, P (4, n)]

Pregunta 4. Si P(n, 5) = 20 P(n, 3), encuentra n.

Solución:

Dado:

P(n, 5) = 20 P(n, 3)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (n, 5) = $\frac{n!}{(n - 5)!}$

P (n, 3) = $\frac{n!}{(n - 3)!}$

Entonces, de la pregunta,

P(n, 5) = 20 P(n, 3)

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{n!}{(n - 5)!} = 20 × \frac{n!}{(n - 3)!}$

Al evaluar,

$\frac{n! (n - 3)!}{n! (n - 5)!} = 20\\ \frac{[(n - 3) (n - 3 - 1) (n - 3 - 2)!]} {(n - 5)!} = 20\\ \frac{[(n - 3) (n - 4) (n - 5)!]}{(n - 5)!} = 20$

(n-3) (n-4) = 20

n ² – 3n – 4n + 12 = 20

n ² – 7n + 12 – 20 = 0

n ² – 7 n – 8 = 0

^{norte 2} – 8n + norte – 8 = 0

n(n-8)-1(n-8) = 0

(n-8) (n-1) = 0

n = 8 o 1

Para, P(n, r): n ≥ r

∴ n = 8 [para, P(n, 5)]

Pregunta 5. Si ⁿ P ₄ = 360, encuentra el valor de n.

Solución:

Dado:

ⁿ P ₄ = 360

ⁿ P ₄ se puede escribir como P (n , 4)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (n, 4) = $\frac{n!}{(n - 4)!}$

Entonces, de la pregunta,

norte PAG _{4 = PAG (}ⁿ , 4) = 360

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{n!}{(n - 4)! }$ = 360

$\frac{[n(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)!]} {(n - 4)!}$ = 360

n (n – 1) (n – 2) (n – 3) = 360

norte (n – 1) (n – 2) (n – 3) = 6×5×4×3

Al comparar,

El valor de n es 6.

Pregunta 6. Si P(9, r) = 3024, encuentre r.

Solución:

Dado:

P (9, r) = 3024

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (9, r) = $\frac{9!}{(9 - r)!}$

Entonces, de la pregunta,

P (9, r) = 3024

Sustituyendo los valores obtenidos en la expresión anterior obtenemos,

$\frac{9!}{(9 - r)! }$ = 3024

$\frac{1}{(9 - r)!} = \frac{3024}{9!}$

= $\frac{3024}{(9×8×7×6×5×4×3×2×1)}$

= $\frac{3024}{(3024×5×4×3×2×1)}$

= $\frac{1}{5!}$

(9 – r)! = 5!

9 – r = 5

-r = 5 – 9

-r = -4

∴ El valor de r es 4.

Pregunta 7. Si P (11, r) = P (12, r – 1), encuentre r.

Solución:

Dado:

PAG (11, r) = PAG (12, r – 1)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (11, r) = $\frac{11!}{(11 - r)!}$

P (12, r-1) = $\frac{12!}{(12 - (r-1))!}$

= $\frac{ 12!}{(12 - r + 1)!}$

= $\frac{12!}{(13 - r)!}$

Entonces, de la pregunta,

PAG (11, r) = PAG (12, r – 1)

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{11!}{(11 - r)!} =\frac{12!}{(13 - r)!}$

Al evaluar,

$\frac{(13 - r)! }{(11 - r)!} = \frac{12!}{11!}$

$\frac{[(13 - r) (13 - r - 1) (13 - r - 2)!] }{(11 - r)!} = \frac{(12×11!)}{11!}$

$\frac{[(13 - r) (12 - r) (11 -r)!] }{(11 - r)! }$ = 12

(13 – r) (12 – r) = 12

156 – 12r – 13r + r2 ⁼ 12

156 – 12 – 25r + r2 = ⁰

r ² – 25r + 144 = 0

r ² – 16r – 9r + 144 = 0

r(r-16)-9(r-16) = 0

(r-9) (r-16) = 0

r = 9 o 16

Para, P (n, r): r ≤ n

∴ r = 9 [para, P (11, r)]

Pregunta 8. Si P(n, 4) = 12. P(n, 2), halla n.

Solución:

Dado:

PAG (n, 4) = 12. PAG (n, 2)

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (n, 4) = $\frac{n!}{(n - 4)!}$

P (n, 2) = $\frac{n!}{(n - 2)!}$

Entonces, de la pregunta,

PAG (n, 4) = 12. PAG (n, 2)

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{n!}{(n - 4)!} = 12 × \frac{n!}{(n - 2)!}$

Al evaluar,

$\frac{n! (n - 2)! }{ n! (n - 4)! }$ = 12

$\frac{[(n - 2) (n - 2 -1) (n - 2 - 2)!] }{(n - 4)! }$ = 12

$\frac{[(n - 2) (n - 3) (n - 4)!] }{ (n - 4)!}$ = 12

(n-2) (n-3) = 12

n ² – 3n – 2n + 6 = 12

n ² – 5n + 6 – 12 = 0

n ² – 5 n – 6 = 0

^{norte 2} – 6n + norte – 6 = 0

n (n – 6) – 1 (n – 6) = 0

(n-6) (n-1) = 0

n = 6 o 1

Para, P (n, r): n ≥ r

∴ n = 6 [para, P (n, 4)]

Pregunta 9. Si P(n – 1, 3) : P(n, 4) = 1 : 9, encuentre n.

Solución:

Dado:

PAG (n – 1, 3): PAG (n, 4) = 1 : 9

$\frac{P (n - 1, 3)}{ P (n, 4)} = \frac{1 }{ 9}$

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{n!}{(n - r)!}$

P (n – 1, 3) = $\frac{(n - 1)! }{ (n - 1 - 3)!}$

= $\frac{ (n - 1)! }{ (n - 4)!}$

P (n, 4) = $\frac{n!}{(n - 4)!}$

Entonces, de la pregunta,

$\frac{P (n - 1, 3)}{ P (n, 4)} = \frac{1 }{9}$

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{\frac{[(n - 1)!}{ (n - 4)!]}} { \frac{[n!}{(n - 4)!]}} = \frac{1}{9}\\ \frac{[(n - 1)! }{ (n - 4)!]} × \frac{[(n - 4)! }{ n!]} = \frac{1}{9}\\ \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{9}\\ \frac{(n - 1)!}{n (n - 1)!} = \frac{1}{9}\\ \frac{1}{n} = \frac{1}{9}$

norte = 9

∴ El valor de n es 9.

Pregunta 10. Si P(2n – 1, n) : P(2n + 1, n – 1) = 22 : 7 encuentra n.

Solución:

Dado:

P(2n – 1, n) : P(2n + 1, n – 1) = 22 : 7

$\frac{P(2n - 1, n) }{ P(2n + 1, n - 1)} = \frac{22 }{ 7}$

Después de aplicar la fórmula,

P (n, r) = $\frac{ n!}{(n - r)!}$

P (2n – 1, n) = $\frac{ (2n - 1)! }{ (2n - 1 - n)!}$

= $\frac{(2n - 1)! }{ (n - 1)!}$

P (2n + 1, n – 1) = $\frac{(2n + 1)! }{ (2n + 1 - n + 1)!}$

= $\frac{(2n + 1)! }{ (n + 2)!}$

Entonces, de la pregunta,

$\frac{P(2n - 1, n) }{ P(2n + 1, n - 1)} = \frac{22 }{ 7}$

Después de sustituir los valores en la expresión anterior obtendremos,

$\frac{\frac{(2n - 1)! }{ (n - 1)!} }{\frac{ (2n + 1)! }{ (n + 2)!}} = \frac{22}{7}\\ \frac{(2n - 1)! }{ (n - 1)!} × \frac{(n + 2)! }{ (2n + 1)!} = \frac{22}{7}\\ \frac{(2n - 1)! }{ (n - 1)!} × \frac{[(n + 2) (n + 2 - 1) (n + 2 - 2) (n + 2 - 3)!] }{ [(2n + 1) (2n + 1 - 1) (2n + 1 - 2)]} = \frac{22}{7}\\ \frac{[(2n - 1)! }{ (n - 1)!]} × \frac{[(n + 2) (n + 1) n(n - 1)!] }{ [(2n + 1) 2n (2n - 1)!]} = \frac{22}{7}\\ \frac{[(n + 2) (n + 1)] }{ (2n + 1)2} = \frac{22}{7}\\$

7(n+2) (n+1) = 22×2 (2n+1)

7(n ² + n + 2n + 2) = 88n + 44

7(n ² + 3n + 2) = 88n + 44

7n ² + 21n + 14 = 88n + 44

7n ² + 21n – 88n + 14 – 44 = 0

7n ² – 67n – 30 = 0

7n ² – 70n + 3n – 30 = 0

7n(n-10) + 3(n-10) = 0

(n – 10) (7n + 3) = 0

n = 10, $\frac{-3}{7}$

Como sabemos que, n ≠ $\frac{-3}{7}$

∴ El valor de n es 10.