Pregunta 11. Si 28 C 2r : 24 C 2r-4 =225:11, encuentre r.
Solución:
(28!/(28-2r)!2r!)/(24!/(24-2r+4)!(2r-4)!)=225/11
28x27x26x25/2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)=225/11
28x27x26x25x11=225x(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)
28x3x26x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)
14x2x3x13x2x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)
14x13x12x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)
2r=14
r=7
Pregunta 12. Si n C 4 , n C 5 yn C 6 están en AP, entonces encuentra n .
Solución:
Sabemos que la serie AP se representa como a,a+d,a+2d,..
=>2. norte C 5 = norte C 4 + norte C 6
=>2(n!/(n-5)!5!)=(n!/(n-4)!4!)+n!/(n-6)!6!
=>2/(n-5)5=(1/(n-5)(n-4))+(1/30)
=>(2/(n-5)5)-(1/(n-5)(n-4))=1/30
=>(2(n-4)-5)30=(n-5)(n-4)5
=>60n-240-150=(n-5)(n-4)5
=>12n-78=(n-5)(n-4)
=>12n-78=n 2 -9n+20
=>n 2 -21n+98=0
=>n 2 -7n-14n+98=0
=>n(n-7)-14(n-7)=0
=>(n-7)(n-14)=0
=>n=7, 14
Pregunta 13. Si 2n C 3 : n C 2 =44:3, encuentre n.
Solución:
(2n!/(2n-3)!3!)/(n!/(n-2)!2!)=44/3
2n(2n-1)(2n-2)/3n(n-1)=44/3
2n(2n-1)(2n-2)=44n(n-1)
(2n-1)(2n-2)=22n-22
4n 2 -6n+2=22n-22
4n 2 -28n+24=0
n 2 -7n+6=0
(n-1)(n-6)=0
n=1, 6
Sea n=1
entonces 2(1) C 3 : 2 C 2 no es posible porque n<r.
Entonces, n=6.
Pregunta 14. Si 16 C r = 16 C r+2 , encuentre r C 4 .
Solución:
16=r+r+2
16=2r+2
14=2r
r=7
=> 7 C 4 =7!/3!4!
=5x6x7/3×2
=35
Pregunta 15. Si ∝= m C 2 , entonces encuentra el valor de ∝ C 2 .
Solución:
∝ C 2 =∝!/(∝-2)!2!
=(∝-1)(∝)/2
=( metro C 2 -1)( metro C 2 )/2
=(m!/(m-1)!2!-1)(m!/(m-2)!2!)/2
=(m(m-1)-2)(m(m-1))/8
=(m 2 -m-2)(m(m-1))/8
=(m+1)(m-1)(m-2)m/8
=1/8[(m-2)(m-1)(m)(m+1)]
Pregunta 16. Demuestra que el producto de 2n enteros negativos consecutivos es divisible por (2n)!.
Solución:
Sean los 2n enteros negativos consecutivos -k,-k-1,-k-2,…,-k-(2n-1)
producto de 2n enteros negativos consecutivos=-kx-k-1x-k-2x….xk-(2n-1)
=(-1) 2n xkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)
=(-1) 2n xkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)x(k-1)!/(k-1)!
=(-1) 2n x(k+2n-1)!/(k-1)!
=(-1) 2n x(k+2n-1)!(2n)!/(k-1)!(2n)!
=(-1) 2n x k+2n-1 C 2n x(2n)!
Por lo tanto el producto de 2n enteros negativos consecutivos se divide por (2n)!.
Pregunta 17. Para todos los enteros positivos n, demuestre que 2n C n + 2n C n-1 =1/2[ 2n+2 C n+1 ].
Solución:
LHS= 2n C n + 2n C n-1
=2n!/n!(2n-n)!+2n!/(n-1)!(2n-n+1)!
=2n!/n!n!+2n!/(n-1)!(n+1)!
=2n!/n(n-1)!n!+2n!/(n-1)!n!(n+1)
=2n!/n(n+1)(n-1)!n![n+1+n]
=2n!(2n+1)/n(n+1)(n-1)!n!
=(2n+1)!/n!(n+1)!
=(2n+2)(2n+1)!/n!(n+1)!(2n+2)
=(2n+2)!/n!(n+1)!(n+1)2
=(2n+2)!/(n+1)!(n+1)!2
=(2n+2)!/(n+1)!(2n+2-n-1)!2
=1/2[ 2n+2 C n+1 ]
= lado derecho
Pregunta 18. Demostrar que: 4n C 2n : 2n C n =[1x 3 x 5 x ….. x 4n-1]:[1 x 3 x 5 x …… x 2n-1] 2 .
Solución:
LHS= 4n C 2n/ 2n C n
=(4n!/2n!2n!)/(2n!/n!n!)
=[1 x 2 x ……x 4n] x[1 x2x3x….xn] 2 /[1x2x…x2n] 3
=[1x3x5x…4n-1][2x4x6x…4n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1] 2 [2x4x6x…x2n] 2 (2n!)
=[1x3x5x..x4n-1]2 2n [1x2x3x..2n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1] 2 x2 2n [1x2x3x..xn] 2 (2n)!
=[1x3x5x…x4n-1]/[1x3x5x2n-1] 2
=lado derecho
Pregunta 19. Evaluar
Solución:
=> 20 C 5 + 20 C 4 + 21 C 4 + 22 C 4 + 23 C 4
WKT norte C r + norte C r -1 = n+1 C r
=> 21 C 5 + 21 C 4 + 22 C 4 + 23 C 4
=> 22 C 5 + 22 C 4 + 23 C 4
=> 23 C 5 + 23 C 4
=> 24 C 5
Pregunta 20.1. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:
n C r / n C r-1 =n-r+1/r
Solución:
LHS=(n!/r!(nr)!)/(n!/(r-1)!(n-r+1)!
=(nr)!(n-r+1)(r-1)!/(nr)!(r)(r-1)!
=n-r+1/r
=lado derecho
Pregunta 20.2. Sean r y dn números enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:
nx n-1 C r-1 =(n-r+1) n C r-1
Solución:
IZQ=n(n-1)!/(r-1)!(n-1-r+1)!
=n!/(r-1)!(nr)!
=n!(n-r+1)/(r-1)!( n-r+1)(nr)!
=n!(n-r+1)/(r-1)!(n-r+1)!
=(n-r+1) n C r-1
=lado derecho
Pregunta 20.3. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:
n C r / n-1 C r-1 =n/r
Solución:
IZQ=(n!/r!(nr)!)/(n-1)!/(nr)!(r-1)!
=n(n-1)!(r-1)!(nr)!/r(r-1)!(nr)!(n-1)!
=n/r
=lado derecho
Pregunta 20.4. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:
norte C r +2 X norte C r -1 + norte C r -2 = norte+2 C r .
Solución:
WKT norte C r + norte C r -1 = n+1 C r
LHS= norte C r + norte C r -1 + norte C r-1 + norte C r-2
= n+1 C r + n+1 C r-1
= n+2 C r
=lado derecho
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Artículo escrito por thanmaig142 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA