Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.1 | conjunto 2

Pregunta 11. Si 28 C 2r : 24 C 2r-4 =225:11, encuentre r.

Solución:

(28!/(28-2r)!2r!)/(24!/(24-2r+4)!(2r-4)!)=225/11

28x27x26x25/2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)=225/11

28x27x26x25x11=225x(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)

28x3x26x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

14x2x3x13x2x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

14x13x12x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

2r=14

r=7

Pregunta 12. Si n C 4 , n C 5 yn C 6 están en AP, entonces encuentra n .

Solución:

Sabemos que la serie AP se representa como a,a+d,a+2d,..

=>2. norte C 5 = norte C 4 + norte C 6

=>2(n!/(n-5)!5!)=(n!/(n-4)!4!)+n!/(n-6)!6!

=>2/(n-5)5=(1/(n-5)(n-4))+(1/30)

=>(2/(n-5)5)-(1/(n-5)(n-4))=1/30

=>(2(n-4)-5)30=(n-5)(n-4)5

=>60n-240-150=(n-5)(n-4)5

=>12n-78=(n-5)(n-4)

=>12n-78=n 2 -9n+20

=>n 2 -21n+98=0

=>n 2 -7n-14n+98=0

=>n(n-7)-14(n-7)=0

=>(n-7)(n-14)=0

=>n=7, 14

Pregunta 13. Si 2n C 3 : n C 2 =44:3, encuentre n.

Solución:

(2n!/(2n-3)!3!)/(n!/(n-2)!2!)=44/3

2n(2n-1)(2n-2)/3n(n-1)=44/3

2n(2n-1)(2n-2)=44n(n-1)

(2n-1)(2n-2)=22n-22

4n 2 -6n+2=22n-22

4n 2 -28n+24=0

n 2 -7n+6=0

(n-1)(n-6)=0

n=1, 6

Sea n=1

entonces 2(1) C 3 : 2 C 2 no es posible porque n<r.

Entonces, n=6.

Pregunta 14. Si 16 C r = 16 C r+2 , encuentre r C 4 .

Solución:

16=r+r+2

16=2r+2

14=2r

r=7

=> 7 C 4 =7!/3!4!

=5x6x7/3×2

=35

Pregunta 15. Si ∝= m C 2 , entonces encuentra el valor de C 2 .

Solución:

C 2 =∝!/(∝-2)!2!

=(∝-1)(∝)/2

=( metro C 2 -1)( metro C 2 )/2

=(m!/(m-1)!2!-1)(m!/(m-2)!2!)/2

=(m(m-1)-2)(m(m-1))/8

=(m 2 -m-2)(m(m-1))/8

=(m+1)(m-1)(m-2)m/8

=1/8[(m-2)(m-1)(m)(m+1)]

Pregunta 16. Demuestra que el producto de 2n enteros negativos consecutivos es divisible por (2n)!.

Solución:

Sean los 2n enteros negativos consecutivos -k,-k-1,-k-2,…,-k-(2n-1)

producto de 2n enteros negativos consecutivos=-kx-k-1x-k-2x….xk-(2n-1)

=(-1) 2n xkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)

=(-1) 2n xkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)x(k-1)!/(k-1)!

=(-1) 2n x(k+2n-1)!/(k-1)!

=(-1) 2n x(k+2n-1)!(2n)!/(k-1)!(2n)!

=(-1) 2n x k+2n-1 C 2n x(2n)!

Por lo tanto el producto de 2n enteros negativos consecutivos se divide por (2n)!.

Pregunta 17. Para todos los enteros positivos n, demuestre que 2n C n + 2n C n-1 =1/2[ 2n+2 C n+1 ].

Solución:

LHS= 2n C n + 2n C n-1

=2n!/n!(2n-n)!+2n!/(n-1)!(2n-n+1)!

=2n!/n!n!+2n!/(n-1)!(n+1)!

=2n!/n(n-1)!n!+2n!/(n-1)!n!(n+1)

=2n!/n(n+1)(n-1)!n![n+1+n]

=2n!(2n+1)/n(n+1)(n-1)!n!

=(2n+1)!/n!(n+1)!

=(2n+2)(2n+1)!/n!(n+1)!(2n+2)

=(2n+2)!/n!(n+1)!(n+1)2

=(2n+2)!/(n+1)!(n+1)!2

=(2n+2)!/(n+1)!(2n+2-n-1)!2

=1/2[ 2n+2 C n+1 ]

= lado derecho

Pregunta 18. Demostrar que: 4n C 2n : 2n C n =[1x 3 x 5 x ….. x 4n-1]:[1 x 3 x 5 x …… x 2n-1] 2 .

Solución:

LHS= 4n C 2n/ 2n C n

=(4n!/2n!2n!)/(2n!/n!n!)

=[1 x 2 x ……x 4n] x[1 x2x3x….xn] 2 /[1x2x…x2n] 3

=[1x3x5x…4n-1][2x4x6x…4n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1] 2 [2x4x6x…x2n] 2 (2n!)

=[1x3x5x..x4n-1]2 2n [1x2x3x..2n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1] 2 x2 2n [1x2x3x..xn] 2 (2n)!

=[1x3x5x…x4n-1]/[1x3x5x2n-1] 2

=lado derecho

Pregunta 19. Evaluar

_{5}^{20}\textrm{C} + \sum_{r=2}^{5}\ _{4}^{25-r}\textrm{C}

Solución:

=> 20 C 5 + 20 C 4 + 21 C 4 + 22 C 4 + 23 C 4

WKT norte C r + norte C r -1 = n+1 C r

=> 21 C 5 + 21 C 4 + 22 C 4 + 23 C 4

=> 22 C 5 + 22 C 4 + 23 C 4

=> 23 C 5 + 23 C 4

=> 24 C 5

Pregunta 20.1. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:

n C r / n C r-1 =n-r+1/r

Solución:

LHS=(n!/r!(nr)!)/(n!/(r-1)!(n-r+1)!

=(nr)!(n-r+1)(r-1)!/(nr)!(r)(r-1)!

=n-r+1/r

=lado derecho

Pregunta 20.2. Sean r y dn números enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:

nx n-1 C r-1 =(n-r+1) n C r-1

Solución:

IZQ=n(n-1)!/(r-1)!(n-1-r+1)!

=n!/(r-1)!(nr)!

=n!(n-r+1)/(r-1)!( n-r+1)(nr)!

=n!(n-r+1)/(r-1)!(n-r+1)!

=(n-r+1) n C r-1

=lado derecho

Pregunta 20.3. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:

n C r / n-1 C r-1 =n/r

Solución:

IZQ=(n!/r!(nr)!)/(n-1)!/(nr)!(r-1)!

=n(n-1)!(r-1)!(nr)!/r(r-1)!(nr)!(n-1)!

=n/r

=lado derecho

Pregunta 20.4. Sean r y n enteros positivos tales que 1<=r<=n. Luego prueba lo siguiente:

norte C r +2 X norte C r -1 + norte C r -2 = norte+2 C r .

Solución:

WKT norte C r + norte C r -1 = n+1 C r

LHS= norte C r + norte C r -1 + norte C r-1 + norte C r-2

= n+1 C r + n+1 C r-1

= n+2 C r

=lado derecho

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por thanmaig142 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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