Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2

Pregunta 12. En un examen, un estudiante debe responder 4 preguntas de 5 preguntas; sin embargo, las preguntas 1 y 2 son obligatorias. Determine el número de formas en que el estudiante puede hacer una elección.

Solución:

Número total de preguntas = 5

Número total de preguntas a responder = 4

Como es obligatorio responder 2 preguntas, el estudiante puede elegir solo 2 preguntas (4−2) de las 3 preguntas restantes (5−2).

Entonces, número de formas = ³ C ₂

= $\frac{3!}{2!1!}$

= $\frac{3×2×1}{2×1}$

= 3

Por lo tanto, el número de formas de responder a las preguntas es 3.

Pregunta 13. Se requiere que un candidato responda 7 preguntas de 12 preguntas que se dividen en dos grupos, cada uno con 6 preguntas. No se le permite intentar más de 5 preguntas de cualquier grupo. ¿De cuántas maneras puede elegir las 7 preguntas?

Solución:

Número total de preguntas = 12

Número total de preguntas a responder = 7

Número total de preguntas en cada conjunto = 6

Ahora, un estudiante no puede intentar 5 preguntas de ninguno de los grupos, pero tiene que responder 7 preguntas en total.

Entonces, número de formas = ( ⁶ C ₅ × ⁶ C ₂ ) + ( ⁶ C ₄ × ⁶ C ₃ ) + ( ⁶ C ₃ × ⁶ C ₄ ) + ( ⁶ C ₂ × ⁶ C ₅ )

= $(\frac{6!}{5!1!}×\frac{6!}{2!4!})+(\frac{6!}{4!2!}×\frac{6!}{3!3!})+(\frac{6!}{3!3!}×\frac{6!}{4!2!})+(\frac{6!}{2!4!}×\frac{6!}{5!1!})$

= $(\frac{6}{1}×\frac{6×5}{2×1})+(\frac{6×5}{2×1}×\frac{6×5×4}{3×2×1})+(\frac{6×5×4}{3×2×1}×\frac{6×5}{2×1})+(\frac{6×5}{2×1}×\frac{6}{1})$

= (6×15) + (15×20) + (20×15) + (15×6)

= 90 + 300 + 300 + 90

= 780

Por lo tanto, el número de formas de responder 7 preguntas es 780.

Pregunta 14. Hay 10 puntos en un plano de los cuales 4 son colineales. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar uniendo estos puntos?

Solución:

Número total de puntos = 10

Número de puntos colineales = 4

Ahora sabemos que el número de líneas formadas será la diferencia entre el número total de líneas formadas por los 10 puntos y el número de líneas formadas por puntos colineales sumados con 1.

Aquí, sumamos 1 porque solo se puede formar 1 línea con los cuatro puntos colineales dados.

Entonces, número de formas = ¹⁰ C ₂ – ⁴ C ₂ + 1

= $\frac{10!}{2!8!}-\frac{4!}{2!2!}+1$

= $\frac{10×9}{2×1}-\frac{4×3}{2×1}+1$

= 45 – 6 + 1

= 40

Por lo tanto, el número total de formas de dibujar diferentes líneas es 40.

Pregunta 15. Encuentra el número de diagonales de

(i) un hexágono

Solución:

Un hexágono tiene 6 puntos angulares. Al unir dos puntos angulares obtenemos una línea que es un lado o una diagonal.

Así que número de líneas formadas = ⁶ C ₂

= $\frac{6!}{2!4!}$

= $\frac{6×5}{2×1}$

= 3×5

= 15

Sabemos que el número de lados del hexágono es 6.

Entonces, número de diagonales = 15 – 6 = 9

Por lo tanto, el número total de diagonales de un hexágono es 9.

(ii) un polígono de 16 lados

Solución:

Un polígono de 16 lados tiene 16 puntos angulares. Al unir dos puntos angulares obtenemos una línea que es un lado o una diagonal.

Así que número de líneas formadas = ¹⁶ C ₂

= $\frac{16!}{2!14!}$

= $\frac{16×15}{2×1}$

= 8×15

= 120

Número de lados del polígono dado = 16

Entonces, número de diagonales = 120 – 16 = 104

Por lo tanto, el número total de diagonales de un hexágono es 104.

Pregunta 16. ¿Cuántos triángulos se pueden obtener uniendo 12 puntos, cinco de los cuales son colineales?

Solución:

Sabemos que se requieren 3 puntos para dibujar un triángulo.

Dado que 5 de 12 puntos son colineales, el número de triángulos que se pueden formar sería la diferencia entre el número de triángulos formados por los 12 puntos y el número de triángulos formados por puntos colineales.

Entonces, número de triángulos = ¹² C ₃ – ⁵ C ₃

= $\frac{12!}{3!9!}-\frac{5!}{3!2!}$

= $\frac{12×11×10}{3×2×1}-\frac{5×4}{2×1}$

= (2×11×10) – (5×2)

= 220 – 10

= 210

Por lo tanto, el número total de triángulos que se pueden formar es 210.

Pregunta 17. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas de 6 hombres y 4 mujeres cuando necesariamente se tiene que seleccionar al menos una mujer?

Solución:

Número total de hombres = 6

Número total de mujeres = 4

Número total de personas a seleccionar = 5.

Ahora se da que debemos elegir al menos una mujer. Significa que podemos elegir de 1 a las 4 mujeres en nuestro comité a la vez. Número de hombres cambiará de acuerdo a ello.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₁ × ⁶ C ₄ ) + ( ⁴ C ₂ × ⁶ C ₃ ) + ( ⁴ C ₃ × ⁶ C ₃ ) + ( ⁴ C ₄ × ⁶ C ₁ )

= $(\frac{4!}{1!3!}×\frac{6!}{4!2!})+(\frac{4!}{2!2!}×\frac{6!}{3!3!})+(\frac{4!}{3!1!}×\frac{6!}{2!4!})+(\frac{4!}{4!0!}×\frac{6!}{1!5!})$

= $(\frac{4}{1}×\frac{6×5}{2×1})+(\frac{4×3}{2×1}×\frac{6×5×4}{3×2×1})+(\frac{4}{1}×\frac{6×5}{2×1})+(\frac{1}{1}×\frac{6}{1})$

= 60 + 120 + 60 + 6

= 246

Por lo tanto, el número de formas de selección es 246.

Pregunta 18. En un pueblo hay 87 familias de las cuales 52 familias tienen como máximo 2 hijos. En un programa de desarrollo rural se van a ayudar 20 familias seleccionadas para la asistencia, de las cuales 18 familias deben tener como máximo 2 hijos. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección?

Solución:

Se da que 52 familias tienen como máximo 2 hijos de 87. Por lo tanto, las 35 familias restantes tienen exactamente 2 hijos.

Ahora, para elegir 20 familias, de las cuales 18 familias deben tener como máximo 2 hijos, se puede hacer de 3 maneras. O podemos elegir todas las 20 familias de esas 52 que tienen como máximo hijos, o 19 de 52 y queda 1 de 35, o 18 familias de 52 y queda 2 de 35.

Entonces, número total de formas = ( ⁵² C ₁₈ × ³⁵ C ₂ ) + ( ⁵² C ₁₉ × ³⁵ C ₁ ) + ( ⁵² C ₂₀ × ³⁵ C ₀ )

Pregunta 19. Un grupo está formado por 4 chicas y 7 chicos. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 5 miembros si el equipo tiene

(yo) sin chicas

(ii) al menos un niño y una niña

(iii) al menos 3 niñas

Solución:

Número de niñas = 4

Número de niños = 7

Número de miembros a seleccionar = 5

(yo) sin chicas

Como está dado que el equipo no puede tener una niña, tenemos que elegir 5 integrantes de 7 niños.

Entonces, número de formas = ⁷ C ₅

= $\frac{7!}{5!2!}$

= $\frac{7×6}{2×1}$

= 21

Por lo tanto, el número de formas de selección para que el equipo no tenga chicas es 21.

(ii) al menos un niño y una niña

Para seleccionar un equipo que esté formado por al menos un niño y una niña, podemos elegir desde 1 hasta las 4 niñas a la vez. Número de niños cambiará de acuerdo a ello.

Entonces, número de formas = ( ⁷ C ₁ × ⁴ C ₄ ) + ( ⁷ C ₂ × ⁴ C ₃ ) + ( ⁷ C ₃ × ⁴ C ₃ ) + ( ⁷ C ₄ × ⁴ C ₁ )

= $(\frac{7!}{1!6!}×\frac{4!}{4!0!})+(\frac{7!}{2!5!}×\frac{4!}{3!1!})+(\frac{7!}{3!4!}×\frac{4!}{2!2!})+(\frac{7!}{4!3!}×\frac{4!}{1!3!})$

= $(\frac{7}{1}×\frac{1}{1})+(\frac{7×6}{2×1}×\frac{4}{1})+(\frac{7×6×5}{3×2×1}×\frac{4×3}{2×1})+(\frac{7×6×5}{3×2×1}×\frac{4}{1})$

= 7+84+210+140

= 441

Por lo tanto, el número de formas de selección para que el equipo tenga al menos un niño y una niña es 441.

(iii) al menos 3 niñas

Para seleccionar un equipo que consta de al menos 3 chicas, podemos elegir 3 o 4 chicas a la vez. Número de niños cambiará de acuerdo a ello.

Entonces, número de formas = ( ⁷ C ₂ × ⁴ C ₃ ) + ( ⁷ C ₁ × ⁴ C ₄ )

= $(\frac{7!}{2!5!}×\frac{4!}{3!1!})+(\frac{7!}{1!6!}×\frac{4!}{4!0!})$

= $(\frac{7×6}{2×1}×\frac{4}{1})+(\frac{1}{1}×\frac{7}{1})$

= 84 + 7

= 91

Por lo tanto, el número de formas de selección para que el equipo tenga al menos 3 chicas es 91.

Pregunta 20. Se debe constituir un comité de 3 personas de un grupo de 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? ¿Cuántos de estos comités consistirían de 1 hombre y 2 mujeres?

Solución:

Número total de hombres = 2

Número total de mujeres = 3

Así que número total de personas = 2+3 = 5

Número de personas a seleccionar = 3

Se da que se tiene que formar un comité de 3 personas. Así que tenemos que elegir 3 personas de 5 personas.

Entonces, número de formas = ⁵ C ₃

= $\frac{5!}{3!2!}$

= $\frac{5×4}{2×1}$

= 10

También tenemos que encontrar el número de comités formados por 1 hombre y 2 mujeres. Entonces tenemos que elegir 1 hombre de 2 hombres y 2 mujeres de 3 mujeres.

Entonces, número de formas = ² C ₁ × ³ C ₂

= $\frac{2!}{1!1!}×\frac{3!}{2!1!}$

= 6

Pregunta 21. Encuentra el número de

(i) diagonales formadas en un decágono.

Solución:

Un decágono tiene 10 lados. Al unir dos puntos angulares obtenemos una línea que es un lado o una diagonal.

Así que número de líneas formadas = ¹⁰ C ₂

= $\frac{10!}{2!8!}$

= $\frac{10×9}{2×1}$

= 45

Número de lados = 10

Entonces, número de diagonales = 45−10 = 35.

Por lo tanto, el número de diagonales que se forman en un decágono es 35.

(ii) triángulos formados en un decágono.

Solución:

Un decágono tiene 10 lados. Al unir 3 puntos angulares obtenemos un triángulo.

Así que número de líneas formadas = ¹⁰ C ₃

= $\frac{10!}{3!7!}$

= $\frac{10×9×8}{3×2×1}$

= $\frac{720}{6}$

= 120

Por lo tanto, el número de triángulos que se forman en un decágono es 120.

Pregunta 22. ¿Determinar el número de combinaciones de 5 cartas de una baraja de 52 cartas si al menos una de las 5 cartas tiene que ser un rey?

Solución:

De una baraja de 52 cartas, tenemos que elegir combinaciones de 5 cartas donde al menos una de las 5 cartas tiene que ser un rey.

Sabemos que hay 4 reyes en una baraja de 52 cartas. Entonces, podemos elegir de 1 a los cuatro reyes a la vez y la selección de las cartas restantes cambiará en consecuencia.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₁ × ⁴⁸ C ₄ ) + ( ⁴ C ₂ × ⁴⁸ C ₃ ) + ( ⁴ C ₃ × ⁴⁸ C ₂ ) + ( ⁴ C ₄ × ⁴⁸ C ₁ )

= $(\frac{4!}{1!3!}×\frac{48!}{4!44!})+(\frac{4!}{2!2!}×\frac{48!}{3!45!})+(\frac{4!}{3!1!}×\frac{48!}{2!46!})+(\frac{4!}{4!0!}×\frac{48!}{1!47!})$

= $(\frac{4}{1}×\frac{48×47×46×45}{4×3×2×1})+(\frac{4×3}{2×1}×\frac{48×47×46}{3×2×1})+(\frac{4}{1}×\frac{48×47}{2×1})+(\frac{1}{1}×\frac{48}{1})$

= 778320 + 103776 + 4512 + 48

= 886656

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar combinaciones de 5 cartas si al menos una de las 5 cartas tiene que ser un rey es 886656.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2 | conjunto 2

Pregunta 12. En un examen, un estudiante debe responder 4 preguntas de 5 preguntas; sin embargo, las preguntas 1 y 2 son obligatorias. Determine el número de formas en que el estudiante puede hacer una elección.

Pregunta 13. Se requiere que un candidato responda 7 preguntas de 12 preguntas que se dividen en dos grupos, cada uno con 6 preguntas. No se le permite intentar más de 5 preguntas de cualquier grupo. ¿De cuántas maneras puede elegir las 7 preguntas?

Pregunta 14. Hay 10 puntos en un plano de los cuales 4 son colineales. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar uniendo estos puntos?

Pregunta 15. Encuentra el número de diagonales de

Pregunta 16. ¿Cuántos triángulos se pueden obtener uniendo 12 puntos, cinco de los cuales son colineales?

Pregunta 17. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas de 6 hombres y 4 mujeres cuando necesariamente se tiene que seleccionar al menos una mujer?

Pregunta 19. Un grupo está formado por 4 chicas y 7 chicos. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 5 miembros si el equipo tiene

Pregunta 20. Se debe constituir un comité de 3 personas de un grupo de 2 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? ¿Cuántos de estos comités consistirían de 1 hombre y 2 mujeres?

Pregunta 21. Encuentra el número de

Pregunta 22. ¿Determinar el número de combinaciones de 5 cartas de una baraja de 52 cartas si al menos una de las 5 cartas tiene que ser un rey?

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