Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2

Pregunta 23. Deseamos seleccionar 6 personas de 8, pero si se elige a la persona A, entonces se debe elegir a B. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?

Solución:

Número total de personas = 8

Número de personas a seleccionar = 6

Se da que si se elige a la persona A, entonces se debe elegir a B. Por lo tanto, A y B se eligen juntos.

Entonces, número de selecciones = ⁶ C ₄

= $\frac{6!}{4!2!}$

= $\frac{6×5}{2×1}$

= 15

También el número de selecciones en las que no se eligen A y B = ⁷ C ₆

= $\frac{7!}{6!1!}$

= 7

Por lo tanto, número total de vías = 15 + 7 = 22 vías.

Pregunta 24. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 3 niños y 3 niñas de 5 niños y 4 niñas?

Solución:

Número total de niños = 5

Número total de niños = 4

Número de niños a seleccionar = 3

Número de niñas a seleccionar = 3

Por tanto, tenemos que elegir 3 chicas de 4 chicas y 3 chicos de 5 chicos.

Entonces, número de formas = ⁵ C ₃ × ⁴ C ₃

= $\frac{5!}{3!2!}×\frac{4!}{3!1!}$

= $\frac{5×4}{2×1}×\frac{4}{1}$

= 40

Por lo tanto, el número requerido de vías es 40.

Pregunta 25. Encuentra el número de formas de seleccionar 9 bolas de 6 bolas rojas, 5 bolas blancas y 5 bolas azules si cada selección consta de 3 bolas de cada color.

Solución:

Nos dan 6 bolas rojas, 5 bolas blancas y 5 bolas azules. Tenemos que elegir 3 bolas de cada color.

Por lo tanto, podemos seleccionar 3 bolas rojas de 6 bolas rojas, 3 bolas blancas de 5 bolas blancas y 3 bolas azules de 5 bolas azules.

Entonces, número de formas = ⁶ C ₃ × ⁵ C ₃ × ⁵ C ₃

= $\frac{6!}{3!3!}×\frac{5!}{3!2!}×\frac{5!}{3!2!}$

= $\frac{6×5×4}{3×2×1}×\frac{5×4}{2×1}×\frac{5×4}{2×1}$

= 20×10×10

= 2000

Por lo tanto, el número requerido de vías es 2000.

Pregunta 26. Determina el número de combinaciones de 5 cartas de una baraja de 52 cartas si hay exactamente un as en cada combinación.

Solución:

De una baraja de 52 cartas, tenemos que elegir combinaciones de 5 cartas donde queremos exactamente un as en cada combinación.

Sabemos que hay 4 ases en una baraja de 52 cartas. Entonces, tenemos que elegir 1 as de 4 ases y la selección de las cartas restantes será de las 48 cartas restantes.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₁ × ⁴⁸ C ₄ )

= $\frac{4!}{1!3!}×\frac{48!}{4!44!}$

= $\frac{4}{1}×\frac{48×47×46×45}{4×3×2×1}$

= 778320

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar 5 combinaciones de cartas si hay exactamente un as en cada combinación es 778320.

Pregunta 27. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de cricket de once de 17 jugadores en el que solo 5 personas pueden jugar bolos si cada equipo de cricket de 11 debe incluir exactamente 4 jugadores?

Solución:

Número total de jugadores = 17

Número total de jugadores de bolos = 5

Número de jugadores a seleccionar = 4

Como el número de jugadores de bolos es 5, por lo tanto, el número de bateadores = 17−5 = 12

Para hacer un equipo de 11 jugadores, tenemos que elegir 7 bateadores de 12 bateadores y 4 lanzadores de 5 lanzadores.

Entonces, número de formas = ¹² C ₇ × ⁵ C ₄

= $\frac{12!}{7!5!}×\frac{5!}{4!1!}$

= $\frac{12×11×10×9×8}{5×4×3×2×1}×\frac{5}{1}$

= 3960

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar el equipo es 3960.

Pregunta 28. Una bolsa contiene 5 bolas negras y 6 rojas. Determine el número de formas en que se pueden seleccionar 2 bolas negras y 3 rojas.

Solución:

Número total de bolas negras = 5

Número total de bolas rojas = 6

Ahora tenemos que elegir 2 bolas negras de 5 bolas negras y 3 bolas rojas de 6 bolas rojas.

Entonces, número de formas = ⁵ C ₂ × ⁶ C ₃

= $\frac{5!}{2!3!}×\frac{6!}{3!3!}$

= $\frac{5×4}{2×1}×\frac{6×5×4}{3×2×1}$

= 10×20

= 200

Por lo tanto, el número requerido de vías es 200.

Pregunta 29. ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir un programa de 5 cursos si hay 9 cursos disponibles y 2 cursos específicos son obligatorios para cada estudiante?

Solución:

Número total de cursos = 9

Número de cursos a seleccionar = 5

Como 2 cursos se han hecho obligatorios, un estudiante solo puede elegir 3 cursos (5−2) de los 7 cursos restantes (9−2).

Entonces, número de formas = ⁷ C ₃

= $\frac{7!}{3!4!}$

= $\frac{7×6×5}{3×2×1}$

= 35

Por lo tanto, el número requerido de vías es 35.

Pregunta 30. Se tiene que formar un comité de 7 de 9 niños y 4 niñas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto cuando el comité está formado por

(i) exactamente 3 niñas?

(ii) al menos 3 niñas?

(iii) como máximo 3 niñas?

Solución:

Número total de niños = 9

Número total de niñas = 4

Número de personas a seleccionar = 7

(i) exactamente 3 niñas

Si queremos exactamente 3 chicas en el comité, tenemos que elegir 3 chicas de 4 chicas y 4 chicos de 9 chicos.

Entonces, número de formas = ⁹ C ₄ × ⁴ C ₃

= $\frac{9!}{4!5!}×\frac{4!}{3!1!}$

= $\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1}×\frac{4}{1}$

= 9×8×7

= 504

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar un comité en el que se requieren exactamente 3 niñas es 504.

(ii) al menos 3 niñas?

Como el número requerido de chicas puede ser de 3 o más de 3, podemos elegir 3 o 4 chicas y ajustar el número de chicos de acuerdo a ello.

Entonces, número de formas = ( ⁹ C ₄ × ⁴ C ₃ ) + ( ⁹ C ₃ × ⁴ C ₄ )

= $(\frac{9!}{4!5!}×\frac{4!}{3!1!})+(\frac{9!}{3!6!}×\frac{4!}{4!0!})$

= $(\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1}×\frac{4}{1})+(\frac{9×8×7}{3×2×1}×\frac{4}{1})$

= 504 + 84

= 588

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar un comité en el que se requieren al menos 3 niñas es 588.

(iii) como máximo 3 niñas.

Como el número requerido de niñas puede ser 3 o menos de 3, podemos elegir 3 o 2 o 1 o 0 número de niñas y ajustar el número de niños de acuerdo con ello.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₀ × ⁹ C ₇ ) + ( ⁴ C ₁ × ⁹ C ₆ ) + ( ⁴ C ₂ × ⁹ C ₅ ) + ( ⁴ C ₃ × ⁹ C ₄ )

= $(\frac{4!}{4!0!}×\frac{9!}{7!2!})+(\frac{4!}{1!3!}×\frac{9!}{6!3!})+(\frac{4!}{2!2!}×\frac{9!}{5!4!})+(\frac{4!}{3!1!}×\frac{9!}{4!5!})$

= $(\frac{1}{1}×\frac{9×8}{2×1})+(\frac{4}{1}×\frac{9×8×7}{3×2×1})+(\frac{4×3}{2×1}×\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1})+(\frac{4}{1}×\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1})$

= 36 + 336 + 756+ 504

= 1632

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar un comité en el que se requieren como máximo 3 niñas es 1632.

Pregunta 31. En un examen, un cuestionario consta de 12 preguntas divididas en dos partes, Parte I y Parte II, que contienen 5 y 7 preguntas respectivamente. Se requiere que un estudiante responda 8 preguntas en total, seleccionando al menos 3 de cada parte. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar las preguntas?

Solución:

Número de preguntas en la Parte I = 5

Número de preguntas en la Parte II = 7

Número de preguntas a intentar = 8

Ahora un estudiante tiene que intentar al menos 3 preguntas de cada parte y 8 en total.

Entonces, número de formas = ( ⁵ C ₃ × ⁷ C ₅ ) + ( ⁵ C ₄ × ⁷ C ₄ ) + ( ⁵ C ₅ × ⁷ C ₃ )

= $(\frac{5!}{3!2!}×\frac{7!}{5!2!})+(\frac{5!}{4!1!}×\frac{7!}{4!3!})+(\frac{5!}{5!0!}×\frac{7!}{3!4!})$

= $(\frac{5×4}{2×1}×\frac{7×6}{2×1})+(\frac{5}{1}×\frac{7×6×5}{3×2×1})+(\frac{1}{1}×\frac{7×6×5}{3×2×1})$

= 210 + 175 + 35

= 420

Por lo tanto, el número de formas en que un estudiante puede seleccionar las preguntas es 420.

Pregunta 32. Un paralelogramo está cortado por dos conjuntos de m líneas paralelas a sus lados. Encuentre el número de paralelogramos así formados.

Solución:

Un paralelogramo tiene 2 conjuntos de líneas paralelas. Ahora m líneas son paralelas a estos conjuntos. Por lo tanto, el número total de líneas para un juego es (m+2) líneas.

Por lo tanto el número total de paralelogramos formados = ^m+2 C ₂ × ^m+2 C ₂

= $\frac{(m+2)!}{m!2!}×\frac{(m+2)!}{m!2!}$

= (m+2) ² (m+1) ² /4

Por tanto, el número de paralelogramos formados es (m+2) ² (m+1) ^2/4 .

Pregunta 33. De 18 puntos en un plano, no hay tres en la misma línea recta excepto cinco puntos que son colineales. Cuanto

(i) ¿Se pueden formar líneas rectas uniéndolas?

Solución:

Dado que hay 18 puntos en un plano donde 5 puntos son colineales.

Ahora sabemos que el número de líneas formadas será la diferencia entre el número total de líneas formadas por los 18 puntos y el número de líneas formadas por puntos colineales sumados con 1.

Aquí, sumamos 1 porque solo se puede formar 1 línea con los 5 puntos colineales dados.

Entonces, número de formas = ¹⁸ C ₂ – ⁵ C ₂ + 1

= $\frac{18!}{16!2!}-\frac{5!}{2!3!}+1$

= $\frac{18×17}{2×1}-\frac{5×4}{2×1}+1$

= 144

Por tanto, el número de rectas que se forman al unir 18 puntos es 144.

(ii) ¿se pueden formar triángulos uniéndolos?

Solución:

Ahora se requieren tres puntos para formar un triángulo.

Número de puntos que se pueden usar para hacer triángulos = 18−5 = 13

Entonces, número de triángulos = ¹³ C ₃

= $\frac{13!}{3!10!}$

= $\frac{13×12×11}{3×2×1}$

= 13×22

= 286

Por lo tanto, el número de triángulos formados al unir 18 puntos es 286.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2 | conjunto 3

Pregunta 23. Deseamos seleccionar 6 personas de 8, pero si se elige a la persona A, entonces se debe elegir a B. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?

Pregunta 24. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 3 niños y 3 niñas de 5 niños y 4 niñas?

Pregunta 25. Encuentra el número de formas de seleccionar 9 bolas de 6 bolas rojas, 5 bolas blancas y 5 bolas azules si cada selección consta de 3 bolas de cada color.

Pregunta 26. Determina el número de combinaciones de 5 cartas de una baraja de 52 cartas si hay exactamente un as en cada combinación.

Pregunta 27. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de cricket de once de 17 jugadores en el que solo 5 personas pueden jugar bolos si cada equipo de cricket de 11 debe incluir exactamente 4 jugadores?

Pregunta 28. Una bolsa contiene 5 bolas negras y 6 rojas. Determine el número de formas en que se pueden seleccionar 2 bolas negras y 3 rojas.

Pregunta 29. ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir un programa de 5 cursos si hay 9 cursos disponibles y 2 cursos específicos son obligatorios para cada estudiante?

Pregunta 30. Se tiene que formar un comité de 7 de 9 niños y 4 niñas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto cuando el comité está formado por

Pregunta 32. Un paralelogramo está cortado por dos conjuntos de m líneas paralelas a sus lados. Encuentre el número de paralelogramos así formados.

Pregunta 33. De 18 puntos en un plano, no hay tres en la misma línea recta excepto cinco puntos que son colineales. Cuanto

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