Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2

Pregunta 1. De un grupo de 15 jugadores de críquet, se debe elegir un equipo de 11 jugadores. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Solución:

Se nos da,

Número total de jugadores = 15

Número de jugadores a elegir = 11

Entonces, número de formas = ¹⁵ C ₁₁

= $\frac{15!}{11!4!}$

= $\frac{15×14×13×12}{4×3×2×1}$

= 15 × 7 × 13

= 1365

Por lo tanto, el número total de formas de elegir 11 jugadores de 15 es 1365.

Pregunta 2. ¿Cuántas fiestas en barco diferentes de 8, que constan de 5 niños y 3 niñas, se pueden hacer a partir de 25 niños y 10 niñas?

Solución:

Se nos da,

Número total de niños = 25

Número total de niñas = 10

El boat party de 8 se formará a partir de 25 chicos y 10 chicas, seleccionando 5 chicos y 3 chicas.

Entonces, número de formas = ²⁵ C ₅ × ¹⁰ C ₃

= $\frac{25!}{5!20!}×\frac{10!}{3!7!}$

= 53130 × 120

= 6375600

Por tanto, el número total de fiestas en barco diferentes que se pueden realizar es de 6375600.

Pregunta 3. ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir 5 cursos de 9 cursos si 2 cursos son obligatorios para cada estudiante?

Solución:

Se nos da,

Número total de cursos = 9

Número de cursos que un estudiante puede tener = 5

De 9 cursos, 2 cursos son obligatorios. Por lo tanto, un estudiante puede elegir solo entre 3 (es decir, 5−2) cursos.

Entonces, número de formas = ⁷ C ₃

= $\frac{7!}{3!4!}$

= $\frac{7×6×5}{3×2×1}$

= 7 × 5

= 35

Por lo tanto, el número total de formas en que un alumno puede elegir las materias es de 35.

Pregunta 4. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de fútbol de 11 jugadores de 16 jugadores? ¿Cuántos de estos serán

(i) incluir 2 jugadores en particular?

(ii) excluir a 2 jugadores en particular?

Solución:

Número total de jugadores = 16

Número de jugadores a seleccionar = 11

Entonces, número de formas = ¹⁶ C ₁₁

= $\frac{16!}{11!5!}$

= $\frac{16×15×14×13×12}{5×4×3×2×1}$

= 4×7×13×12

= 4368

(i) incluir 2 jugadores en particular?

Como dos jugadores en particular deben mantenerse en el equipo cada vez, tenemos que elegir 9 jugadores (11−2) de la lista.

14 jugadores (16−2).

Entonces, número de formas = ¹⁴ C ₉

= $\frac{14!}{9!5!}$

= $\frac{14×13×12×11×10}{5×4×3×2×1}$

= 7×13×11×2

= 2002

(ii) excluir a 2 jugadores en particular?

Como ya se eliminaron 2 jugadores en particular, tenemos que seleccionar 11 jugadores de los 14 jugadores restantes (16−2).

Entonces, número de formas = ¹⁴ C ₉

= $\frac{14!}{11!3!}$

= $\frac{14×13×12}{3×2×1}$

= 14×13×2

= 364

Por lo tanto, el número requerido de vías es 4368, 2002, 364 respectivamente.

Pregunta 5. Hay 10 profesores y 20 estudiantes de los cuales se va a formar un comité de 2 profesores y 3 estudiantes. Encuentre el número de formas en que se puede hacer esto. Además, encuentre en cuántos de estos comités:

(i) se incluye un profesor en particular.

(ii) se incluye un estudiante en particular.

(iii) se excluye a un estudiante en particular.

Solución:

Se nos da,

Número total de profesores = 10

Número total de estudiantes = 20

Se da que se tiene que formar un comité eligiendo 2 profesores de 10 y 3 alumnos de 20.

Entonces, número de formas = ¹⁰ C ₂ × ²⁰ C ₃

= $\frac{10!}{2!8!}×\frac{20!}{3!17!}$

= $\frac{10×9}{2×1}×\frac{20×19×18}{3×2×1}$

= 5×9×10×19×6

= 51300 formas

(i) se incluye un profesor en particular.

Como se debe seleccionar un profesor en particular en el comité cada vez, tenemos que elegir 1 profesor (2−1) de los 9 profesores (10−1). El número de formas de elegir estudiantes sigue siendo el mismo.

Entonces, número de formas = ⁹ C ₁ × ²⁰ C ₃

= $\frac{9!}{8!}×\frac{20!}{3!17!}$

= $\frac{9×8!}{8!}×\frac{20×19×18}{3×2×1}$

= 9×10×19×6

= 10260 maneras

(ii) se incluye un estudiante en particular.

Como un estudiante en particular tiene que ser seleccionado en el comité cada vez, tenemos que elegir 2 profesores (3-1) de los 19 profesores (20-1). El número de formas para elegir profesores sigue siendo el mismo.

Entonces, número de formas = ¹⁰ C ₂ × ¹⁹ C ₂

= $\frac{10!}{2!8!}×\frac{19!}{2!17!}$

= $\frac{10×9}{2×1}×\frac{19×18}{2×1}$

= 5×9×19×9

= 7695 maneras

(iii) se excluye a un estudiante en particular.

Como un estudiante en particular ha sido eliminado del panel de selección, tenemos que elegir 3 estudiantes de 19 estudiantes (20−1). El número de formas para elegir profesores sigue siendo el mismo.

Entonces, número de formas = ¹⁰ C ₂ × ¹⁹ C ₃

= $\frac{10!}{2!8!}×\frac{19!}{3!16!}$

= $\frac{10×9}{2×1}×\frac{19×18×17}{3×2×1}$

= 5×9×19×3×17

= 43605 formas

Por lo tanto, el número requerido de vías es 51300, 10260, 7695, 43605 respectivamente.

Pregunta 6. ¿Cuántos productos diferentes se pueden obtener al multiplicar dos o más de los números 3, 5, 7, 11 (sin repetición)?

Solución:

El número total de formas será la suma del número de formas de multiplicar dos números, tres números y cuatro números.

Entonces, número de formas = ⁴ C ₂ + ⁴ C ₃ + ⁴ C ₄

= $\frac{4!}{2!2!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!}$

= $\frac{4×3}{2×1}+\frac{4}{1}+1$

= 6 + 4 + 1

= 11

Por lo tanto, el número total de formas del producto es 11 formas.

Pregunta 7. De una clase de 12 niños y 10 niñas, se elegirán 10 alumnos para la competencia, de los cuales al menos 4 niños y 4 niñas. Se deben incluir las 2 chicas que ganaron los premios el año pasado. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?

Solución:

Se nos da,

Número total de niños = 12

Número total de niñas = 10

Número total de chicas para la competencia = 10 + 2 = 12

Como se deben incluir dos niñas en particular, el total de estudiantes que se pueden seleccionar = 10−2 = 8

Entonces, número de formas = ( ¹² C ₆ × ⁸ C ₂ ) + ( ¹² C ₅ × ⁸ C ₃ ) + ( ¹² C ₄ × ⁸ C ₄ )

= $(\frac{12!}{6!6!}×\frac{8!}{2!6!})+(\frac{12!}{7!5!}×\frac{8!}{5!3!})+(\frac{12!}{8!4!}×\frac{8!}{4!4!})$

= $(\frac{12×11×10×9×8×7}{6×5×4×3×2×1}×\frac{8×7}{2×1})+(\frac{12×11×10×9×8}{5×4×3×2×1}×\frac{8×7×6}{3×2×1})+(\frac{12×11×10×9}{4×3×2×1}×\frac{8×7×6×5}{4×3×2×1})$

= (924 × 28) + (792 × 56) + (495 × 70)

= 25872 + 44352 + 34650

= 104874

Por lo tanto, el número total de formas en que se puede realizar la selección es 104874.

Pregunta 8. ¿Cuántas selecciones diferentes de 4 libros se pueden hacer a partir de 10 libros diferentes, si

(i) no hay restricción

(ii) siempre se seleccionan dos libros en particular

(iii) nunca se seleccionan dos libros en particular

Solución:

Número total de libros = 10

Número de libros a seleccionar = 4

(i) no hay restricción

Número de formas = Elegir 4 libros de 10 libros = ¹⁰ C ₄

= $\frac{10!}{4!6!}$

= $\frac{10×9×8×7}{4×3×2×1}$

= 10×3×7

= 210

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar libros si no hay restricción es 210.

(ii) siempre se seleccionan dos libros en particular

Como tenemos que seleccionar dos libros en particular cada vez, podemos seleccionar 2 libros (4−2) de los 8 libros restantes (10−2).

Entonces, número de formas = ⁸ C ₂

= $\frac{8!}{2!6!}$

= $\frac{8×7}{2×1}$

= 4×7

= 28

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar libros si siempre se seleccionan dos libros en particular es 28.

(iii) nunca se seleccionan dos libros en particular

Como se han eliminado dos libros en particular, tenemos que elegir 4 libros de los 8 libros restantes (10−2).

Entonces, número de formas = ⁸ C ₄

= $\frac{8!}{4!4!}$

= $\frac{8×7×6×5}{4×3×2×1}$

= 7×2×5

= 70

Por lo tanto, el número de formas de seleccionar libros si nunca se seleccionan dos libros en particular es 70.

Pregunta 9. De 4 oficiales y 8 Jawans de cuantas maneras se pueden elegir 6

(i) para incluir exactamente un oficial

(ii) para incluir al menos un oficial?

Solución:

Número total de oficiales = 4

Número total de Jawans = 8

Número total de selecciones a realizar = 6

(i) para incluir exactamente un oficial

De 6 selecciones, solo 1 tiene que ser un oficial. Así que los 5 restantes tienen que ser Jawans.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₁ ) × ( ⁸ C ₅ )

= $\frac{4!}{3!1!}×\frac{8!}{3!5!}$

= $\frac{4}{1}×\frac{8×7×6}{3×2×1}$

= 4×4×7×2

= 224

Por lo tanto, el número de formas de selección si solo se tiene que incluir un oficial es de 224.

(ii) para incluir al menos un oficial?

De 6 selecciones, al menos 1 tiene que ser un oficial. Entonces, podemos elegir de 1 a los 4 oficiales en nuestras selecciones. Y el número de Jawans se ajustaría de acuerdo a eso.

Entonces, número de formas = ( ⁴ C ₁ × ⁸ C ₅ ) + ( ⁴ C ₂ × ⁸ C ₄ ) + ( ⁴ C ₃ × ⁸ C ₃ ) + ( ⁴ C ₄ × ⁸ C ₂ )

= $(\frac{4!}{1!3!}×\frac{8!}{5!3!})+(\frac{4!}{2!2!}×\frac{8!}{4!4!})+(\frac{4!}{3!1!}×\frac{8!}{3!5!})+(\frac{4!}{4!0!}×\frac{8!}{2!6!})$

= $(\frac{4}{1}×\frac{8×7×6}{3×2×1})+(\frac{4×3}{2×1}×\frac{8×7×6×5}{4×3×2×1})+(\frac{4}{1}×\frac{8×7×6}{3×2×1})+(\frac{1}{1}×\frac{8×7}{2×1})$

= (4 × 56) + (6 × 70) + (4 × 56) + (1 × 28)

= 224 + 420 + 224 + 28

= 896

Por lo tanto, el número de formas de selección si se tiene que incluir al menos un oficial es 896.

Pregunta 10. Se debe constituir un equipo deportivo de 11 alumnos, eligiendo al menos 5 de la clase XI y al menos 5 de la clase XII. Si hay 20 alumnos en cada una de estas clases, ¿de cuántas maneras se pueden constituir los equipos?

Solución:

Número total de estudiantes en XI = 20

Número total de estudiantes en XII = 20

Número de estudiantes a seleccionar en un equipo = 11

Ahora, se deben seleccionar al menos 5 de la clase XI y 5 de la clase XII.

Entonces, número de formas = ( ²⁰ C ₆ × ²⁰ C ₅ ) + ( ²⁰ C ₅ × ²⁰ C ₆₎

= 2 ( ²⁰ C ₆ × ²⁰ C ₅ )

= 2 $(\frac{20!}{6!14!}×\frac{20!}{5!15!})$

= $2×\frac{20×19×18×17×16×15}{6×5×4×3×2×1}×\frac{20×19×18×17×16}{5×4×3×2×1}$

= 2×38760×15504

= 1201870080

Por lo tanto, el número de formas en que se pueden constituir los equipos es 1201870080.

Pregunta 11. Un estudiante tiene que responder 10 preguntas, eligiendo al menos 4 de cada parte A y B. Si hay 6 preguntas en la parte A y 7 en la parte B, ¿de cuántas maneras puede el estudiante elegir 10 preguntas?

Solución:

Número total de preguntas = 10

Preguntas en la parte A = 6

Preguntas en la parte B = 7

Número de preguntas que un estudiante puede elegir = 10

Ahora un estudiante puede elegir al menos 4 de cada una de las partes A y B y el número total de preguntas que puede elegir no debe exceder.

Entonces, número de formas = ( ⁶ C ₄ × ⁷ C ₆ ) + ( ⁶ C ₅ × ⁷ C ₅ ) + ( ⁶ C ₆ × ⁷ C ₄ )

= $(\frac{6!}{4!2!}×\frac{7!}{6!1!})+(\frac{6!}{5!1!}×\frac{7!}{5!2!})+(\frac{6!}{6!0!}×\frac{7!}{4!3!})$

= $(\frac{6×5}{2×1}×\frac{7}{1})+(\frac{6}{1}×\frac{7×6}{2×1})+(\frac{1}{1}×\frac{7×6×5}{3×2×1})$

= (15×7) + (6×21) + (1×35)

= 105 + 126 + 35

= 266

Por lo tanto, el número de formas de responder 10 preguntas es 266.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 17 Combinaciones- Ejercicio 17.2 | Serie 1

Pregunta 1. De un grupo de 15 jugadores de críquet, se debe elegir un equipo de 11 jugadores. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Pregunta 2. ¿Cuántas fiestas en barco diferentes de 8, que constan de 5 niños y 3 niñas, se pueden hacer a partir de 25 niños y 10 niñas?

Pregunta 3. ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir 5 cursos de 9 cursos si 2 cursos son obligatorios para cada estudiante?

Pregunta 4. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de fútbol de 11 jugadores de 16 jugadores? ¿Cuántos de estos serán

Pregunta 5. Hay 10 profesores y 20 estudiantes de los cuales se va a formar un comité de 2 profesores y 3 estudiantes. Encuentre el número de formas en que se puede hacer esto. Además, encuentre en cuántos de estos comités:

Pregunta 6. ¿Cuántos productos diferentes se pueden obtener al multiplicar dos o más de los números 3, 5, 7, 11 (sin repetición)?

Pregunta 7. De una clase de 12 niños y 10 niñas, se elegirán 10 alumnos para la competencia, de los cuales al menos 4 niños y 4 niñas. Se deben incluir las 2 chicas que ganaron los premios el año pasado. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?

Pregunta 8. ¿Cuántas selecciones diferentes de 4 libros se pueden hacer a partir de 10 libros diferentes, si

Pregunta 9. De 4 oficiales y 8 Jawans de cuantas maneras se pueden elegir 6

Pregunta 10. Se debe constituir un equipo deportivo de 11 alumnos, eligiendo al menos 5 de la clase XI y al menos 5 de la clase XII. Si hay 20 alumnos en cada una de estas clases, ¿de cuántas maneras se pueden constituir los equipos?

Pregunta 11. Un estudiante tiene que responder 10 preguntas, eligiendo al menos 4 de cada parte A y B. Si hay 6 preguntas en la parte A y 7 en la parte B, ¿de cuántas maneras puede el estudiante elegir 10 preguntas?

Deja una respuesta Cancelar la respuesta