Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 18 Teorema del binomio – Ejercicio 18.1

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Pregunta 1. Usando el teorema del binomio, escriba las expresiones de lo siguiente:

(yo) (2x + 3y) 5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(2x + 3y) 5 = 5 C 0 (2x) 5 (3y) 0 + 5 C 1 (2x) 4 (3y) 1 + 5 C 2 (2x) 3 (3y) 2 + 5 C 3 (2x) 2 (3y) 3 + 5 C 4 (2x) 1 (3y) 4 + 5 C 5 (2x) 0 (3y) 5

= 32x 5 + 5 (16x 4 ) (3y) + 10 (8x 3 ) (9y) 2 + 10 (4x) 2 (27y) 3 + 5 (2x) (81y 4 ) + 243 y 5

= 32x 5 + 240x 4 y + 720x 3 y 2 + 1080x 2 y 3 + 810xy 4 + 243y 5

(ii) (2x – 3y) 4

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(2x – 3y) 4 = 4 C 0 (2x) 4 (3y) 0 – 4 C 1 (2x) 3 (3y) 1 + 4 C 2 (2x) 2 (3y) 2 – 4 C 3 (2x) 1 (3y) 3 + 4 C 4 (2x) 0 (3y) 4

= 16x 4 – 4 (8x 3 ) (3y) + 6 (4x 2 ) (9y 2 ) – 4 (2x) (27y 3 ) + 81y 4

= 16x 4 – 96x 3 y + 216x 2 y 2 – 216xy 3 + 81y 4

(iii) (x – 1/x) 6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(x – 1/x) 6 = 6 C 0 x 6 (1/x) 0 – 6 C 1 x 5 (1/x) 1 + 6 C 2 x 4 (1/x) 2 – 6 C 3 x 3 (1/x) 3 + 6 C 4 x 2 (1/x) 4 – 6 C 5 x 1 (1/x) 5 + 6 C 6 (1/x) 6

= x 6 – 6x 5 (1/x) + 15x 4 (1/x 2 ) – 20 x 3 (1/x 3 ) + 15x 2 (1/x 4 ) – 6x (1/x 5 ) + 1/ x6 _

= x 6 – 6x 4 + 15x 2 – 20 + 15/x 2 – 6/x 4 + 1/x 6

(iv) (1 – 3x) 7

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(1 – 3x) 7 = 7 C 0 (3x) 0 – 7 C 1 (3x) 1 + 7 C 2 (3x) 2 – 7 C 3 (3x) 3 + 7 C 4 (3x) 4 – 7 C 5 (3x) 5 + 7 C 6 (3x) 6 – 7 C 7 (3x) 7

= 1 – 7 (3x) + 21 (9x) 2 – 35 (27x 3 ) + 35 (81x 4 ) – 21 (243x 5 ) + 7 (729x 6 ) – 2187(x 7 )

= 1 – 21x + 189x 2 – 945x 3 + 2835x 4 – 5103x 5 + 5103x 6 – 2187x 7

(v) (hacha – b/x) 6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(hacha – b/x)^6 = ^{6}{}{C}_0 (ax )^6 (\frac{b}{x} )^0 - ^{6}{}{C}_1 (ax )^5 (\frac{b}{x} )^1 + ^{6}{}{C}_2 (ax )^4 (\frac{b}{x} )^2 - ^{6}{}{C}_3 (ax )^3 (\frac{b}{x} )^3 +^{6}{}{C}_4 (ax )^2 (\frac{b}{x} )^4 - ^{6}{}{C}_5 (ax )^1 (\frac{b}{x} )^5 + ^{6}{}{C}_6 (ax )^0 (\frac{b}{x} )^6

= a^6 x^6 - 6 a^5 x^5 \times \frac{b}{x} + 15 a^4 x^4 \times \frac{b^2}{x^2} - 20 a^3 b^3 \times \frac{b^3}{x^3} + 15 a^2 x^2 \times \frac{b^4}{x^4} - 6ax \times \frac{b^5}{x^5} + \frac{b^6}{x^6}

= a^6 x^6 - 6 a^5 x^4 b + 15 a^4 x^2 b^2 - 20 a^3 b^3 + 15\frac{a^2 b^4}{x^2} - 6\frac{a b^5}{x^4} + \frac{b^6}{x^6}

(vi) \left(\frac{\sqrt{x}}{a} - \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

\left( \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^6 = ^{6}{}{C}_0 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^6 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^0 - ^{6}{}{C}_1 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^5 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^1 + ^{6}{}{C}_2 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^4 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^2 - ^{6}{}{C}_3 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^3 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^3 +^{6}{}{C}_4 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^2 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^4 -^{6}{}{C}_5 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^1 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^5 + ^{6}{}{C}_6 \left( \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^0 \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \right)^6

= \frac{x^3}{a^3} - 6\frac{x^2}{a^2} + 15\frac{x}{a} - 20 + 15\frac{a}{x} - 6\frac{a^2}{x^2} + \frac{a^3}{x^3}

(vii) \left( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} \right)^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

\left( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} \right)^6 = ^{6}{}{C}_0 (\sqrt[3]{x} )^6 (\sqrt[3]{a} )^0 -^{6}{}{C}_1 (\sqrt[3]{x} )^5 (\sqrt[3]{a} )^1 +^{6}{}{C}_2 (\sqrt[3]{x} )^4 (\sqrt[3]{a} )^2 -^{6}{}{C}_3 (\sqrt[3]{x} )^3 (\sqrt[3]{a} )^3 +^{6}{}{C}_4 (\sqrt[3]{x} )^2 (\sqrt[3]{a} )^4 -^{6}{}{C}_5 (\sqrt[3]{x} )^1 (\sqrt[3]{a} )^5 + ^{6}{}{C}_6 (\sqrt[3]{x} )^0 (\sqrt[3]{a} )^6

= x^2 - 6 x^{5/3} a^{1/3} + 15 x^{4/3} a^{2/3} - 20xa + 15 x^{2/3} a^{4/3} - 6 x^{1/3} a^{5/3} + a^2

(viii) (1 + 2x – 3x 2 ) 5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(1 + 2x – 3x 2 ) 5 = 5 C 0 (1 + 2x) 5 (3x 2 ) 0 – 5 C 1 (1 + 2x) 4 (3x 2 ) 1 + 5 C 2 (1 + 2x) 3 ( 3x 2 ) 2 – 5 C 3 (1 + 2x) 2 (3x 2 ) 3 + 5 C 4 (1 + 2x) 1 (3x 2 ) 4 –5 C 5 (1 + 2x) 0 (3x 2 ) 5

= (1 + 2x) 5 – 5(1 + 2x) 4 (3x 2 ) + 10 (1 + 2x) 3 (9x 4 ) – 10 (1 + 2x) 2 (27x 6 ) + 5 (1 + 2x) (81×8 ) – 243×10

= 5 C 0 (2x) 0 + 5 C 1 (2x) 1 + 5 C 2 (2x) 2 + 5 C 3 (2x) 3 + 5 C 4 (2x) 4 + 5 C 5 (2x) 5 – 15x 2 [ 4 C 0 (2x) 0 + 4 C 1 (2x) 1 + 4 C 2 (2x) 2 +4 C 3 (2x) 3 + 4 C 4 (2x) 4 ] + 90x 4 [1 + 8x 3 + 6x + 12x 2 ] – 270x 6 (1 + 4x 2 + 4x) + 405x 8 + 810x 9 – 243x 10

= 1 + 10x + 40x 2 + 80x 3 + 80x 4 + 32x 5 – 15x 2 – 120x 3 – 360 4 – 480x 5 – 240x 6 + 90x 4 + 720x 7 + 540x 5 + 1080x 6 – 270x 6 – 1080x 8 – 1080x 7 + 405x 8 + 810x 9 – 243x 10

= 1 + 10x + 25x 2 – 40x 3 – 190x 4 + 92x 5 + 570x 6 – 360x 7 – 675x 8 + 810x 9 – 243x 10

(ix) \left( x + 1 - \frac{1}{x} \right)^3

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(x + 1 – 1/x) 3 = 3 C 0 (x + 1) 3 (1/x) 0 – 3 C 1 (x + 1) 2 (1/x) 1 + 3 C 2 (x + 1 ) 1 (1/x) 2 – 3 C 3 (x + 1) 0 (1/x) 3

= (x + 1 )^3 - 3(x + 1 )^2 \times \frac{1}{x} + 3\frac{x + 1}{x^2} - \frac{1}{x^3}

= x^3 + 1 + 3x + 3 x^2 - \frac{3 x^2 + 3 + 6x}{x} + 3\frac{x + 1}{x^2} - \frac{1}{x^3}

= x^3 + 1 + 3x + 3 x^2 - 3x - \frac{3}{x} - 6 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}

= x^3 + 3 x^2 - 5 + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}

(x) (1 – 2x + 3x 2 ) 3

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(1 – 2x + 3 x 2 ) 3 = 3 C 0 (1 – 2x) 3 + 3 C 1 (1 – 2x) 2 (3x 2 ) + 3 C 2 (1 – 2x)(3x 2 ) 2 + 3 C 3 (3x 2 ) 3

= (1 – 2x) 3 + 9x 2 (1 – 2x) 2 + 27x 4 (1 – 2x) + 27x 6

= 1 – 8x 3 + 12x 2 – 6x + 9x 2 (1 + 4x 2 – 4x) + 27x 4 – 54x 5 + 27x 6 

= 1 – 8x 3 + 12x 2 – 6x + 9x 2 + 36x 4 – 36x 3 + 27x 4 – 54x 5 + 27x 6

= 1 – 6x + 21x 2 – 44x 3 + 63x 4 – 54x 5 + 27x 6 

Pregunta 2. Evalúa lo siguiente:

(i) \left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} \right)^6 + \left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} \right)^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} \right)^6 + \left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} \right)^6  = 2[ ^{6}{}{C}_0 (\sqrt{x + 1} )^6 (\sqrt{x - 1} )^0 + ^{6}{}{C}_2 (\sqrt{x + 1} )^4 (\sqrt{x - 1} )^2 +^{6}{}{C}_4 (\sqrt{x + 1} )^2 (\sqrt{x - 1} )^4 + ^{6}{}{C}_6 (\sqrt{x + 1} )^0 (\sqrt{x - 1} )^6 ]

= 2 [(x + 1) 3 + 15(x + 1) 2 (x – 1) + 15(x + 1)(x – 1 ) 2 + (x – 1 ) 3 ]

= 2 [x 3 + 1 + 3x + 3 x 2 + 15( x 2 + 2x + 1)(x – 1) + 15(x + 1)( x 2 + 1 – 2x) + x 3 – 1 + 3x – 3×2 ]

= 2 [2 x 3 + 6x + 15 x 3 – 15 x 2 + 30 x 2 – 30x + 15x – 15 + 15 x 3 + 15 x 2 – 30 x 2 – 30x + 15x + 15]

= 2 [ 32×3 – 24x]

= 16x [4x 2 – 3]

(ii) \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)^6 + \left( x - \sqrt{x^2 - 1} \right)^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(x + \sqrt{x^2 - 1} )^6 + (x - \sqrt{x^2 - 1} )^6 = 2[ ^ {6}{}{C}_0 x^6 (\sqrt{x^2 - 1} )^0 +^{6}{}{C}_2 x^4 (\sqrt{x^2 - 1} )^2 +^{6}{}{C}_4 x^2 (\sqrt{x^2 - 1} )^4 + ^{6}{}{C}_6 x^0 (\sqrt{x^2 - 1} )^6 ]

= 2 [x 6 + 15 x 4 ( x 2 – 1) + 15 x 2 ( x 2 – 1 ) 2 + ( x 2 – 1 ) 3 ]

= 2 [x 6 + 15 x 6 – 15 x 4 + 15 x 2 ( x 4 – 2 x 2 + 1) + ( x 6 – 1 + 3 x 2 – 3 x 4 )]

= 2 [x 6 + 15 x 6 – 15 x 4 + 15 x 6 – 30 x 4 + 15 x 2 + x 6 – 1 + 3 x 2 – 3 x 4 ]

= 64 x 6 – 96 x 4 + 36 x 2 – 2

(iii) (1+2\sqrt{x})^5+(1-2\sqrt{x})^5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(1+2\sqrt{x})^5+(1-2\sqrt{x})^5 = 2 [ 5 C 0 (2√x) 0 + 5 C 2 (2√x) 2 + 5 C 4 (2√x) 4 ]

= 2 [1 + 10 (4x) + 5 (16x 2 )]

= 2 [1 + 40x + 80x 2 ]

(iv) (\sqrt{2}+1)^6+(\sqrt{2}-1)^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(\sqrt{2}+1)^6+(\sqrt{2}-1)^6 = 2 [ 6 C 0 (√2) 6 + 6 C 2 (√2) 4 + 6 C 4 (√2) 2 + 6 C 6 (√2) 0 ]

= 2 [8 + 15 (4) + 15 (2) + 1]

= 2 [99]

= 198

(v) (3+\sqrt{2})^5+(3-\sqrt{2})^5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(3+\sqrt{2})^5+(3-\sqrt{2})^5  = 2 [ 5 C 1 (3 4 ) (√2) 1 + 5 C 3 (3 2 ) (√2) 3 + 5 C 5 (3 0 ) (√2) 5 ]

= 2 [5 (81) (√2) + 10 (9) (2√2) + 4√2]

= 2√2 (405 + 180 + 4)

= 1178√2

(vi) (2+\sqrt{3})^7+(2-\sqrt{3})^7

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(2+\sqrt{3})^7+(2-\sqrt{3})^7  = 2 [ 7 C 0 (2 7 ) (√3) 0 + 7 C 2 (2 5 ) (√3) 2 + 7 C 4 (2 3 ) (√3) 4 + 7 C 6 (2 1 ) ( √3) 6 ]

= 2 [128 + 21 (32)(3) + 35(8)(9) + 7(2)(27)]

= 2 [128 + 2016 + 2520 + 378]

= 2 [5042]

= 10084

(vii) (\sqrt{3}+1)^5+(\sqrt{3}-1)^5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(\sqrt{3}+1)^5+(\sqrt{3}-1)^5  = 2 [ 5 C 1 (√3) 4 + 5 C 3 (√3) 2 + 5 C 5 (√3) 0 ]

= 2 [5 (9) + 10 (3) + 1]

= 2 [76]

= 152

(viii) (0,99) 5 + (1,01) 5

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(0,99) 5 + (1,01) 5 = (1 – 0,01) 5 + (1 + 0,01) 5

= 2 [ 5 C 0 (0.01) 0 + 5 C 2 (0.01) 2 + 5 C 4 (0.01) 4 ]

= 2 [1 + 10 (0,0001) + 5 (0,00000001)]

= 2 [1.00100005]

= 2.0020001

(ix) (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

(\sqrt{3}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6  = 2 [ 6 C 1 (√3) 5 (√2) 1 + 6 C 3 (√3) 3 (√2) 3 + 6 C 5 (√3) 1 (√2) 5 ]

= 2 [6 (9√3) (√2) + 20 (3√3) (2√2) + 6 (√3) (4√2)]

= 2 [√6 (54 + 120 + 24)]

= 396 √6

(X) \left\{ a^2 + \sqrt{a^2 - 1} \right\}^4 + \left\{ a^2 - \sqrt{a^2 - 1} \right\}^4

Solución:

Usando el teorema del binomio, tenemos,

\left\{ a^2 + \sqrt{a^2 - 1} \right\}^4 + \left\{ a^2 - \sqrt{a^2 - 1} \right\}^4 = 2[ ^{4}{}{C}_0 ( a^2 )^4 (\sqrt{a^2 - 1} )^0 +^{4}{}{C}_2 ( a^2 )^2 (\sqrt{a^2 - 1} )^2 + ^{4}{}{C}_4 ( a^2 )^0 (\sqrt{a^2 - 1} )^4 ]

= 2[ un 8 + 6 un 4 (un 2 – 1) + ( un 2 – 1 ) 2 ]

= 2[un 8 + 6 un 6 – 6 un 4 + un 4 + 1 – 2 un 2 ]

= 2 a 8 + 12 a 6 – 10 a 4 – 4 a 2 + 2

Pregunta 3. Encuentra (a + b) 4 – (a – b) 4 . Por lo tanto, evalúe (√3 + √2) 4 – (√3 – √2) 4 .

Solución:

Se nos da,

(a + b) 4 – (a – b) 4 = 2 [ 4 C 1 un 3 segundo 1 + 4 C 3 un 1 segundo 3 ]

= 2 [4a 3 b + 4ab 3 ]

= 8 (a 3 b + ab 3 )

Ahora,

(√3 + √2) 4 – (√3 – √2) 4 = 8 (a 3 b + ab 3 )

= 8 [(√3) 3 (√2) + (√3) (√2) 3 ]

= 8 [(3√6) + (2√6)]

= 8 (5√6)

= 40√6

Pregunta 4. Encuentra (x + 1) 6 + (x – 1) 6 . Por lo tanto, o de lo contrario evaluar (√2 + 1) 6 + (√2 – 1) 6 .

Solución:

Se nos da,

(x + 1) 6 + (x – 1) 6 = 2 [ 6 C 0 x 6 + 6 C 2 x 4 + 6 C 4 x 2 + 6 C 6 x 0 ]

= 2 [x 6 + 15x 4 + 15x 2 + 1]

Ahora,

(√2 + 1) 6 + (√2 – 1) 6

Así que considera, x = √2 entonces obtenemos,

(√2 + 1) 6 + (√2 – 1) 6 = 2 [x 6 + 15x 4 + 15x 2 + 1]

= 2 [(√2) 6 + 15 (√2) 4 + 15 (√2) 2 + 1]

= 2 [8 + 15 (4) + 15 (2) + 1]

= 2 [8 + 60 + 30 + 1]

= 198

Pregunta 5. Usando el teorema del binomio, evalúe cada uno de los siguientes:

(yo) (96) 3

Solución:

Al expresar la expresión dada como dos entidades distintas y aplicar el teorema del binomio, obtenemos,

(96) 3 = (100 – 4) 3

= 3 C 0 (100) 3 (4) 0 – 3 C 1 (100) 2 (4) 1 + 3 C 2 (100) 1 (4) 2 – 3 C 3 (100) 0 (4) 3

= 1000000 – 120000 + 4800 – 64

= 884736

(ii) (102) 5

Solución:

Al expresar la expresión dada como dos entidades distintas y aplicar el teorema del binomio, obtenemos,

(102) 5 = (100 + 2) 5

= 5 C 0 (100) 5 (2) 0 + 5 C 1 (100) 4 (2) 1 + 5 C 2 (100) 3 (2) 2 + 5 C 3 (100) 2 (2) 3 + 5 C 4 (100) 1 (2) 4 + 5 C 5 (100) 0 (2) 5

= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32

= 11040808032

(iii) (101) 4

Solución:

Al expresar la expresión dada como dos entidades distintas y aplicar el teorema del binomio, obtenemos,

(101) 4 = (100 + 1) 4

= 4 C 0 (100) 4 + 4 C 1 (100) 3 + 4 C 2 (100) 2 + 4 C 3 (100) 1 + 4 C 4 (100) 0

= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1

= 104060401

(iv) (98) 5

Solución:

Al expresar la expresión dada como dos entidades distintas y aplicar el teorema del binomio, obtenemos,

(98) 5 = (100 – 2) 5

= 5 C 0 (100) 5 (2) 0 – 5 C 1 (100) 4 (2) 1 + 5 C 2 (100) 3 (2) 2 – 5 C 3 (100) 2 (2) 3 + 5 C 4 (100) 1 (2) 4 – 5 C 5 (100) 0 (2) 5

= 10000000000 – 1000000000 + 40000000 – 800000 + 8000 – 32

= 9039207968

Pregunta 6. Usando el teorema del binomio, demuestra que 2 3n – 7n – 1 es divisible por 49, donde n ∈ N.

Solución:

Se nos da,

2 3n – 7n – 1 = 8n – 7n – 1

= (1 + 7) n – 7n – 1

= norte C 0 + norte C 1 (7) 1 + norte C 2 (7) 2 + norte C 3 (7) 3 + norte C 4 (7) 2 + norte C 5 (7) 1 + .… + norte C norte (7) norte   – 7n – 1

= 1 + 7n + 7 2 [ norte C 2 + norte C 3 (7 1 ) + norte C 4 (7 2 ) + … + norte C norte (7) n -2 ] – 7n – 1

= 49 [ n C 2 + n C 3 (7 1 ) + n C 4 (7 2 ) + … + n C n (7) n-2 ] , que es divisible por 49.

Por lo tanto, 2 3n – 1 – 7n es divisible por 49.

Por lo tanto probado.

Pregunta 7. Usando el teorema del binomio, demuestra que 3 2n+2 – 8n – 9 es divisible por 64, donde n ∈ N.

Solución:

Se nos da,

3 2n+2 – 8n – 9 = 3 2(n+1) – 8n – 9

= 9 n+1 – 8n – 9

= (1 + 8) n+1 – 8n – 9

= n+1 C 0 + n+1 C 1 (8) 1 + n+1 C 2 (8) 2 + n+1 C 3 (8) 3 + n+1 C 4 (8) 2 + n+1 C 5 (8) 1 + .… + n+1 C n+1 (8) n+1 – 8n – 9

= 1 + 8(n+1) + 8 2 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (8 1 ) + n+1 C 4 (8 2 ) + … + n+1 C n+1 (8 ) n-1 ] – 8n – 9

= 8n + 9 + 64 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (8 1 ) + n+1 C 4 (8 2 ) + … + n+1 C n+1 (8) n-1 ] – 8n-9

= 64 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (8 1 ) + n+1 C 4 (8 2 ) + … + n+1 C n+1 (8) n-1 ], que es divisible por 64.

Por lo tanto, 3 2n+2 – 8n – 9 es divisible por 64.

Por lo tanto probado.

Pregunta 8. Si n es un entero positivo, prueba que 3 3n – 26n – 1 es divisible por 676.

Solución:

Se nos da,

3 3n – 26n – 1 = (3 3 ) n – 26n – 1

= 27n – 26n – 1

= (1 + 26) n – 26n – 1

= norte C 0 + norte C 1 (26) 1 + norte C 2 (26) 2 + norte C 3 (26) 3 + norte C 4 (26) 2 + norte C 5 (26) 1 + .… + norte C norte (26) norte – 26n  – 1

= 1 + 26n + 26 2 [ norte C 2 + norte C 3 (26 1 ) + norte C 4 (26 2 ) + … + norte C norte (26) n -2 ] – 26n – 1

= 676 [ n C 2 + n C 3 (26 1 ) + n C 4 (26 2 ) + … + n C n (26) n-2 ] , que es divisible por 676.

Por lo tanto, 3 3n – 26n – 1 es divisible por 676.

Por lo tanto probado.

Pregunta 9. Usando el teorema del binomio, indica cuál es mayor (1.1) 10000 o 1000.

Solución:

Tenemos,

(1,1) 10000 = (1 + 0,1) 10000

= 10000 C 0 + 10000 C 1 (0.1) 1 + 10000 C 2 (0.1) 2 + .… + 10000 C 10000 (0.1) 10000

= 1 + (10000) (0.1) + otros términos positivos

= 1 + 1000 + otros términos positivos

= 1001 + otros términos positivos

Por lo tanto, (1.1) 10000 es mayor que 1000.

Pregunta 10. Usando el teorema del binomio, determine qué número es mayor, (1.2) 4000 o 800.

Solución:

Tenemos,

(1,2) 4000 = (1 + 0,2) 4000

= 4000 C 0 + 4000 C 1 (0,2) 1 + 4000 C 2 (0,2) 2 + .… + 4000 C 4000 (0,2) 4000

= 1 + (4000) (0.2) + otros términos positivos

= 1 + 800 + otros términos positivos

= 801 + otros términos positivos

Por lo tanto, (1.2) 4000 es mayor que 800.

Pregunta 11. Encuentra el valor de (1.01) 10 + (1−0.01) 10 correcto con 7 decimales.

Solución:

Tenemos, 

(1,01) 10 + (1−0,01) 10 = (1+0,01) 10 + (1−0,01) 10

= \left(^{10}C_1+^{10}C_2(\frac{1}{10})^2+\hspace{0.1cm}^{10}C_3(\frac{1}{10})^3+...+^{10}C_{10}(\frac{1}{10})^{10}\right)+\left(^{10}C_1-^{10}C_2(\frac{1}{10})^2+\hspace{0.1cm}^{10}C_3(\frac{1}{10})^3-^{10}C_4(\frac{1}{10})^4+...-^{10}C_{10}(\frac{1}{10})^{10}\right)

= 2\left(^{10}C_1+^{10}C_3(\frac{1}{10})^3+^{10}C_5(\frac{1}{10})^5+^{10}C_7(\frac{1}{10})^7+^{10}C_9(\frac{1}{10})^9\right)

= 2\left(10+\frac{10!}{3!7!}(\frac{1}{1000})+\frac{10!}{5!5!}(\frac{1}{10^5})+\frac{10!}{7!3!}(\frac{1}{10^7})+\frac{10!}{1!9!}(\frac{1}{10^9})\right)

= 2\left(10+\frac{10×9×8}{3×2×1×1000}+\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1×10^5}+\frac{10×9×8}{3×2×1×10^7}+\frac{1}{10^8}\right)

= 2.0090042

Pregunta 12. Demuestra que 2 4n+4 − 15n − 16, donde n ∈ N es divisible por 225.

Solución:

Tenemos,

2 4n+4 − 15n − 16 = 2 4(n+1) − 15n − 16

= 16 n+1 − 15n − 16

= (1 + 15) n+1 − 15n − 16

= n+1 C 0 + n+1 C 1 (15) 1 + n+1 C 2 (15) 2 + n+1 C 3 (15) 3 + n+1 C 4 (15) 2 + n+1 C 5 (15) 1 + .… + n+1 C n+1 (15) n+1 − 15n − 16

= 1 + 15(n+1) + 15 2 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (15 1 ) + n+1 C 4 (15 2 ) + … + n+1 C n+1 (15 ) n-1 ] – 15n – 16

= 15n + 16 + 225 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (15 1 ) + n+1 C 4 (15 2 ) + … + n+1 C n+1 (15) n-1 ] – 15n – 16

= 225 [ n+1 C 2 + n+1 C 3 (15 1 ) + n+1 C 4 (15 2 ) + … + n+1 C n+1 (15) n-1 ] , que es divisible por 225.

Por lo tanto, 2 4n+4 − 15n − 16 es divisible por 225.

Por lo tanto probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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