Pregunta 1. Si el enésimo término a n de una sucesión está dado por a n = n 2 – n +1, escribe sus primeros cinco términos.
Solución:
Tenemos, a n = n 2 – n + 1 —(1)
Poniendo el valor n = 1 en la ecuación (1), obtenemos
un 1 = (1) 2 – 1 + 1 = 1
Poniendo el valor n = 2 en la ecuación (1), obtenemos
un 2 = (2) 2 – 2 + 1 = 3
Poniendo el valor n = 3 en la ecuación (1), obtenemos
un 3 = (3) 2 – 3 + 1 = 7
Poniendo el valor n = 4 en la ecuación (1), obtenemos
un 4 = (4) 2 – 4 + 1 = 13
Poniendo el valor n = 5 en la ecuación (1), obtenemos
un 5 = (5) 2 – 5 + 1 = 21
Por lo tanto, los cinco términos del enésimo término dado son 1, 3, 7, 13, 21.
Pregunta 2. Una sucesión se define por a n = n 3 – 6n 2 + 11n – 6, n ∈ N. Demuestra que los primeros tres términos de la sucesión son cero y todos los demás términos son positivos.
Solución:
Dado, a n = n 3 – 6n 2 + 11n – 6 —(1)
Dado que n∈ N , los tres primeros términos son:
1 = (1) 3 – 6*(1) 2 + 11*(1) – 6 = 0
un 2 = (2) 3 – 6*(2) 2 + 11*2 – 6 = 0
a 3 = (3) 3 – 6*(3) 2 +11*3 – 6 = 0
Por lo tanto, los tres primeros términos a1,a2,a3 son cero.
La ecuación 1 se puede reorganizar como:
a n = (n-2) 3 – (n-2) para n >= 4, an > 0
Por lo tanto, todos los términos, excepto primero, segundo y tercero, son positivos.
Pregunta 3. Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por a 1 = 3 y a n = 3a n-1 + 2 para todo n > 1.
Solución:
Tenemos, a n = 3a n-1 + 2 y a 1 = 3
Ahora,
un 2 = 3*un 1 + 2 = 3*3 + 2 = 11
un 3 = 3*un 2 + 2 = 3*11 + 2 = 35
un 4 = 3*un 3 + 2 = 3*35 + 2 = 107
Por lo tanto, los primeros cuatro términos son 3, 11, 35, 107 .
Pregunta 4. Escribe los primeros cinco términos en cada una de las siguientes secuencias:
(i) un 1 = 1, un n = un n-1 + 2, n > 1
Solución:
Tenemos, a 1 = 1 y a n = a n-1 + 2
Ahora,
un 2 = un 1 + 2 = 1 + 2 = 3
un 3 = un 2 + 2 = 3 + 2 = 5
un 4 = un 3 + 2 = 5 + 2 = 7
un 5 = un 4 + 2 = 7 + 2 = 9
Por lo tanto, los primeros cinco términos son 1, 3, 5, 7, 9.
(ii) un 1 = 1 = un 2 , un n = un n-1 + un n-2 , n > 2
Solución:
Tenemos, a 1 = 1 , a 2 = 1 y a n = a n-1 + a n-2
Por lo tanto,
un 3 = un 2 + un 1 = 2
un 4 = un 3 + un 2 = 3
un 5 = un 4 + un 3 = 5
Por lo tanto, los primeros cinco términos son 1, 1, 2, 3, 5.
(iii) un 1 = un 2 = 2, un n = un n-1 – 1 n > 2
Solución:
Tenemos,
un 1 = un 2 = 2 y un n = un n-1 – 1
Ahora,
un 3 = un 2 – 1 = 1
un 4 = un 3 – 1 = 0
un 5 = un 4 – 1 = -1
Por lo tanto, los primeros cinco términos son 2, 2, 1, 0, -1.
Pregunta 5. La sucesión de Fibonacci se define por a 1 = 1 = a 2 , a n = a n-1 + a n-2 para n > 2. Encuentra a n+1 /a n para n = 1, 2, 3 , 4, 5.
Solución:
Tenemos,
a 1 = a 2 = 1 , yun n = un n-1 + un n-2 para n > 2
Ahora,
un 3 = un 2 + un 1 = 1 + 1 = 2
un 4 = un 3 + un 2 = 2 + 1 = 3
un 5 = un 4 + un 3 = 3 + 2 = 5
un 6 = un 5 + un 4 = 5 + 3 = 8
Por lo tanto,
para n = 1, un n+1 /un n = un 2 / un 1 = 1/1 = 1
para n = 2, un n+1 /un n = un 3 / un 2 = 2/1 = 2
para n = 3, un n+1 /un n = un 4 / un 3 = 3/2
para n = 4, a n+1 /a n = a 5 /a 4 = 5/3
para n = 5, a n+1 /a n = a 6 /a 5 = 8/5
Por lo tanto, 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5 son los valores para n = 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente.
Pregunta 6. Demuestra que cada una de las siguientes sucesiones es un AP Además, encuentra la diferencia común y escribe 3 términos más en cada caso.
(yo) 3, -1, -5, -9, …
Solución:
Tenemos,
a 1 = 3 , a 2 = -1 , a 3 = -5 , a 4 = -9Ya que,
un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3 = -4
Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = -4.
Los otros tres términos son los siguientes:
un 5 = -9 + -4 = -13
un 6 = -13 + -4 = -17
un 7 = -17 + -4 = -21
(ii) -1, 1/4, 3/2, 11/4,…
Solución:
Tenemos,
a 1 = -1 , a 2 = 1/4 , a 3 = 3/2 , a 4 = 11/4Ya que,
un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3 = 5/4
Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = 5/4.
Los otros tres términos son los siguientes:
5 = 11/4 + 5/4 = 16/4 = 4
un 6 = 16/4 + 5/4 = 21/4
7 = 21/4 + 5/4 = 26/4 = 13/2
(iii) √2, 3√2, 5√2, 7√2,…
Solución:
Tenemos,
a 1 = √2 , a 2 = 3√2 , a 3 = 5√2 , a 4 = 7√2Ya que,
un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3 = 2√2
Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = 2√2.
Los otros tres términos son los siguientes:
un 5 = 7√2 + 2√2 = 9√2
6 = 9√2 + 2√2 = 11√2
7 = 11√2 + 2√2 = 13√2
(iv) 9, 7, 5, 3, …
Solución:
Tenemos,
a 1 = 9 , a 2 = 7 , a 3 = 5 , a 4 = 3Ya que,
un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3 = -2
Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = -2.
Los otros tres términos son los siguientes:
un 5 = 3 + -2 = 1
un 6 = 1 + -2 = -1
un 7 = -1 + -2 = -3
Pregunta 7. El n -ésimo término de una sucesión está dado por a n = 2n + 7. Demuestra que es un AP Además, encuentra su 7.º término.
Solución:
Tenemos, a n = 2n + 7
Ahora,
un 1 = 2 + 7 = 9
un 2 = 4 + 7 = 11
un 3 = 6 + 7 = 13
Ya que,
un 3 – un 2 = un 2 – un 1 = 2
La diferencia común d = 2, por lo tanto es un AP
Así, el 7º término viene dado por:
un 7 = 2*7 + 7 = 21.
Pregunta 8. El n -ésimo término de una sucesión está dado por n = 2n 2 + n + 1. Demuestra que no es un AP
Solución:
Tenemos, a n = 2n 2 + n + 1
Ahora,
1 = 2*(1) 2 + 1 + 1 = 4
un 2 = 2*(2) 2 + 2 + 1 = 11
un 3 = 2*(3) 2 + 3 + 1 = 22
Ya que,
un 3 – un 2 ≠ un 2 – un 1
Por lo tanto, no es un AP