Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Progresiones aritméticas – Ejercicio 19.1

Pregunta 1. Si el enésimo término a n  de una sucesión está dado por a = n 2   – n +1, escribe sus primeros cinco términos.

Solución:

Tenemos, a n = n 2 – n + 1   —(1)

Poniendo el valor n = 1 en la ecuación (1), obtenemos

un 1 = (1) 2 – 1 + 1 = 1

Poniendo el valor n = 2 en la ecuación (1), obtenemos

un 2 = (2) 2 – 2 + 1 = 3

Poniendo el valor n = 3 en la ecuación (1), obtenemos

un 3 = (3) 2 – 3 + 1 = 7

Poniendo el valor n = 4 en la ecuación (1), obtenemos

un 4 = (4) 2 – 4 + 1 = 13

Poniendo el valor n = 5 en la ecuación (1), obtenemos

un 5 = (5) 2 – 5 + 1 = 21

Por lo tanto, los cinco términos del enésimo término dado son 1, 3, 7, 13, 21.

Pregunta 2. Una sucesión se define por a n  = n 3  – 6n 2 + 11n – 6, n ∈ N. Demuestra que los primeros tres términos de la sucesión son cero y todos los demás términos son positivos. 

Solución:

Dado, a n = n 3 – 6n 2 + 11n – 6  —(1)

Dado que n∈ N , los tres primeros términos son:

1 = (1) 3 6*(1) 2 + 11*(1) – 6 = 0

un 2 = (2) 3 – 6*(2) 2 + 11*2 – 6 = 0

a 3 = (3) 3 – 6*(3) 2 +11*3 – 6 = 0

Por lo tanto, los tres primeros términos a1,a2,a3 son cero.

La ecuación 1 se puede reorganizar como:

a n = (n-2) 3 – (n-2)     para n >= 4, an > 0

Por lo tanto, todos los términos, excepto primero, segundo y tercero, son positivos.

Pregunta 3. Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por a 1 = 3 y a n = 3a n-1 + 2 para todo n > 1.

Solución:

Tenemos, a n = 3a n-1 + 2 y a 1 = 3

Ahora, 

un 2 = 3*un 1 + 2 = 3*3 + 2 = 11 

un 3 = 3*un 2 + 2 = 3*11 + 2 = 35

un 4 = 3*un 3 + 2 = 3*35 + 2 = 107

Por lo tanto, los primeros cuatro términos son 3, 11, 35, 107 .

Pregunta 4. Escribe los primeros cinco términos en cada una de las siguientes secuencias:

(i) un 1 = 1, un n = un n-1 + 2, n > 1

Solución:

Tenemos, a 1 = 1 y a n = a n-1 + 2

Ahora, 

un 2 = un 1 + 2 = 1 + 2 = 3

un 3 = un 2 + 2 = 3 + 2 = 5

un 4 = un 3 + 2 = 5 + 2 = 7

un 5 = un 4 + 2 = 7 + 2 = 9

Por lo tanto, los primeros cinco términos son 1, 3, 5, 7, 9. 

(ii) un 1 = 1 = un 2 , un n = un n-1 + un n-2 , n > 2

Solución:

Tenemos, a 1 = 1 , a 2 = 1 y a n = a n-1 + a n-2 

Por lo tanto, 

un 3 = un 2 + un 1 = 2

un 4 = un 3 + un 2 = 3

un 5 = un 4 + un 3 = 5

Por lo tanto, los primeros cinco términos son 1, 1, 2, 3, 5.

(iii) un 1 = un 2 = 2, un n = un n-1 – 1 n > 2

Solución:

Tenemos, 

un 1 = un 2 = 2 y un n = un n-1 – 1

Ahora,

un 3 = un 2 – 1 = 1

un 4 = un 3 – 1 = 0

un 5 = un 4 – 1 = -1

Por lo tanto, los primeros cinco términos son 2, 2, 1, 0, -1.

Pregunta 5. La sucesión de Fibonacci se define por a 1 = 1 = a 2 , a n = a n-1 + a n-2 para n > 2. Encuentra a n+1 /a n para n = 1, 2, 3 , 4, 5.

Solución:

Tenemos,
a 1 = a 2 = 1 , y

un n = un n-1 + un n-2   para n > 2

Ahora,

un 3 = un 2 + un 1 = 1 + 1 = 2

un 4 = un 3 + un 2 = 2 + 1 = 3

un 5 = un 4 + un 3 = 3 + 2 = 5

un 6 = un 5 + un 4 = 5 + 3 = 8

Por lo tanto,

para n = 1,     un n+1 /un n = un 2 / un 1 = 1/1 = 1

para n = 2,     un n+1 /un n = un 3 / un 2 = 2/1 = 2

para n = 3,     un n+1 /un n = un 4 / un 3 = 3/2

para n = 4,     a n+1 /a n = a 5 /a 4 = 5/3 

para n = 5,     a n+1 /a n = a 6 /a 5 = 8/5

Por lo tanto, 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5 son los valores para n = 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente.

Pregunta 6. Demuestra que cada una de las siguientes sucesiones es un AP Además, encuentra la diferencia común y escribe 3 términos más en cada caso.

(yo) 3, -1, -5, -9, …

Solución:

Tenemos, 
a 1 = 3 , a 2 = -1 , a 3 = -5 , a 4 = -9 

Ya que,

un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3  = -4

Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = -4.

Los otros tres términos son los siguientes:

un 5 = -9 + -4 = -13

un 6 = -13 + -4 = -17

un 7 = -17 + -4 = -21

(ii) -1, 1/4, 3/2, 11/4,…

Solución:

Tenemos, 
a 1 = -1 , a 2 = 1/4 , a 3 = 3/2 , a 4 = 11/4 

Ya que,

 un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3  = 5/4

Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = 5/4.

Los otros tres términos son los siguientes:

5 = 11/4 + 5/4 = 16/4 = 4

un 6 = 16/4 + 5/4 = 21/4

7 = 21/4 + 5/4 = 26/4 = 13/2

(iii) √2, 3√2, 5√2, 7√2,…

Solución:

Tenemos, 
a 1 = √2 , a 2 = 3√2 , a 3 = 5√2 , a 4 = 7√2 

Ya que,

un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3  = 2√2

Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = 2√2.

Los otros tres términos son los siguientes:

un 5 = 7√2 + 2√2 = 9√2

6 = 9√2 + 2√2 = 11√2

7 = 11√2 + 2√2 = 13√2

(iv) 9, 7, 5, 3, …

Solución:

Tenemos, 
a 1 = 9 , a 2 = 7 , a 3 = 5 , a 4 = 3 

Ya que,  

un 2 – un 1 = un 3 – un 2 = un 4 – un 3  = -2 

Por lo tanto, es un AP con diferencia común d = -2.

Los otros tres términos son los siguientes:

un 5 = 3 + -2 = 1

un 6 = 1 + -2 = -1

un 7 = -1 + -2 = -3

Pregunta 7. El n -ésimo término de una sucesión está dado por a n = 2n + 7. Demuestra que es un AP Además, encuentra su 7.º término.

Solución:

Tenemos, a n = 2n + 7

Ahora, 

un 1 = 2 + 7 = 9

un 2 = 4 + 7 = 11

un 3 = 6 + 7 = 13

Ya que,

un 3 – un 2  = un 2 – un 1 = 2

La diferencia común d = 2, por lo tanto es un AP

Así, el 7º término viene dado por:

 un 7 = 2*7 + 7 = 21.

Pregunta 8. El n -ésimo término de una sucesión está dado por n = 2n 2 + n + 1. Demuestra que no es un AP

Solución:

Tenemos, a n = 2n 2 + n + 1 

Ahora, 

1 = 2*(1) 2 + 1 + 1 = 4

un 2 = 2*(2) 2 + 2 + 1 = 11

un 3 = 2*(3) 2 + 3 + 1 = 22

Ya que,

un 3 – un 2 ≠ un 2 – un 1 

Por lo tanto, no es un AP

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por coder_27 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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