Formula general
Tn = un + (n – 1) * re
dónde,
Tn es el enésimo término
a es el primer termino
d = diferencia común
Fin de la forma del enésimo término
Tn = l – (n – 1) * d
dónde,
Tn es el enésimo término
l es el primer término
d = diferencia común
Pregunta 13. Si (m + 1) el término de un PA es el doble del (n + 1) término, Demuestre que (3m + 1) el término es el doble del (m+ n + 1) término .
Solución:
Nos dan, a m+1 = 2 a n+1
Para probar, a 3m+1 = 2a m+n+1
Supongamos que tenemos el primer término como a y la diferencia común como d, entonces se nos da
a + md = 2(a + nd)
a + md = 2a + 2do
a = md- 2nd —–1
Ahora LHS = a 3m+1
= a + 3md
= md – 2nd +3md valor de venta de un
= 4md – 2do
Ahora RHS = 2a m+n+1
= 2( un + (m+n)d)
= 2( a +md +nd)
= 2 (md-2nd+md+nd) poner valor de a
= 2(2md – nd)
= 4md – 2do
Entonces podemos ver que LHS = RHS.
Pregunta 14. Si el término n de AP 9, 7, 5, … es igual al término n de AP 15, 12, 9, … Halla N.
Solución:
Nos dan dos AP. Para el primer AP
un 1 = 9
re 1 = 7 – 9 = -2
T 1n = un 1 + (n – 1)d 1
= 9 + (n – 1)(-2)
= 11 – 2n
Para el segundo AP,
un 2 = 15
d2 = 12 – 15 = -3
T 2n = un 2 + (n – 1)d 2
= 15 +(n-1)(-3)
= 18 – 3n
Según pregunta,
T 1n = T 2n
11 – 2n = 18 – 3n
n = 7
Por lo tanto, el término 7 es el mismo en ambos AP.
Pregunta 15. i) Halla el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 3, 5, 7, 9,… 201.
Solución:
Nos dan, primer término, a = 3
último término, l = 201
diferencia común, d = 5 – 3 = 2
norte = 12
Entonces, el término 12 desde el último es , = 201 – (12 -1)*2
= 201 – 22
= 179
Por lo tanto, el término 12 desde el final es 179.
ii) Encuentra el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 3, 8, 13,… 253.
Solución:
Nos dan, primer término, a = 3
último término, l = 253
diferencia común, d = 8 – 3 = 5
norte = 12
Entonces, el término 12 desde el último es = 253 – (12 -1)*5
= 253 – 55
= 198
Por lo tanto, el término 12 desde el final es 198.
iii) Encuentra el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 1, 4, 7, 10,… 88.
Solución:
Nos dan, primer término, a = 1
Último término, l = 88
diferencia común, d = 4 – 1 = 3
norte = 12
Entonces, el término 12 desde el último es = 88 – (12 -1)*3
= 88 – 33
= 55
Por lo tanto, el término 12 desde el final es 55.
Pregunta 16. El cuarto término de un AP es tres veces el primero y el séptimo término excede dos veces el tercer término en 1. Encuentra el primer término y la diferencia común.
Solución:
Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d
Nos dan, a 4 = 3a 1
un 7 = 2a 3 +1
Asi que ,
a + 3d = 3a
2a – 3d = 0 —–1
Y a + 6d = 2(a+2d) +1
a + 6d = 2a + 4d +1
a -2d = -1 —–2
Al resolver 1 y 2
2a – 3d = 0
-2a + 4d = 2
re = 2
Poner el valor de d en la ecuación 1
a = (3*d)/2
a = 6/2 = 3
Por lo tanto, el primer término es 3 y la diferencia común es 2.
Pregunta 17. Encuentra el segundo término y el enésimo término de un AP cuyo sexto término es 12 y el octavo término es 22.
Solución:
Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d
Nos dan, un 6 = 12
un 8 = 22
Entonces, a + 5d =12 —–1
a + 7d = 22 —–2
Al resolver 1 y 2
a + 7d – (a + 5d )= 22 – 12
7d – 5d = 10
re = 5
Poner el valor de d en la ecuación 1
un + 25 = 12
a = 12- 25
a = -13
Entonces el segundo término es, a + d = -13 + 5 = -8
Y el término n es T n = -13 + (n-1)* 5
= 5n – 18
Pregunta 18. ¿Cuántos números de dos dígitos son divisibles por 3?
Solución:
El primer número de dos dígitos que es divisible por 3 es 12. Entonces a =3
El siguiente número de dos dígitos que es divisible por 3 es 15. Entonces, la diferencia común es 15 – 12 = 3
El último número de dos dígitos que es divisible por 3 es 99.
Entonces podemos aplicar la fórmula general,
3 + (n-1)*3 = 99
(n-1)*3 = 96
n -1 = 32
norte = 33
Por lo tanto, 33 números de dos dígitos son divisibles por 3.
Pregunta 19. Un AP consta de 60 términos. Si el primero y el último término son 7 y 125 respectivamente, encuentre el término 32.
Solución:
Nos dan, a = 7
l = 125
términos totales = 60
Si tenemos un total de 60 términos, entonces el último término sería 60
a + 59d = 125
Poner valor de a,
7 + 59d = 125
59d = 118
re = 2
Entonces, el término 32 a 32 = a + 31d
= 7 + 31*2
= 7 + 62
= 69
Por lo tanto, el término 32 es 69.
Pregunta 20. La suma de los términos 4 y 8 de un AP es 24 y la suma de los términos 6 y 10 es 34. Encuentra el primer término y la diferencia común del AP
Solución:
Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d. Se nos da,
un 4 + un 8 = 24
un 6 + un 10 = 34
a+ 3d + a +7d = 24
2a + 10d = 24
a + 5d = 12 —–1
a + 5d + a+9d = 34
2a + 14d = 34
a + 7d = 17 ——2
Al resolver 1 y 2 obtenemos,
a + 7d – (a + 5d) = 17 – 12
a + 7d – a – 5d = 5
2 días = 5
re = 5/2
Poner el valor de d en la ecuación 1
a + 5*(5/2) = 12
a = 12 – 25/2
a = (24- 25) /2
a = -1/2
Por lo tanto, el primer término es -1/2 y la diferencia común es 5/2.
Pregunta 21. ¿Cuántos números hay entre 1 y 1000 que al dividirlos por 7 dejan 4 de resto?
Solución:
Hagamos un AP de aquellos números que al dividirlos por 7 dejan 4 de resto.
Primer número que cuando se divide por 7 deja resto 4 es 4. Entonces a 1 = 4
El siguiente número que cuando se divide por 7 deja resto 4 es 11. Entonces a 2 = 11
El mayor número de 3 dígitos que, cuando se divide por 7, deja un resto 4, es 998. Por lo tanto, a n = 998
Entonces nuestro AP es 4, 11,…. 998 y la diferencia común es 11-4 = 7
Asi que,
4 + (n-1)*7 = 998
(n-1)*7 = 994
n-1 = 142
norte = 143
Por lo tanto, 143 números son los que al dividirlos por 7 dejan resto 4.
Pregunta 22. El primer y último término de un AP son a y l respectivamente. Demuestre que la suma del término n desde el principio y el término n desde el final es a + l.
Solución:
Supongamos que la diferencia común es d.
Sabemos que el término n desde el principio es a + (n-1)d
Y el término n desde el final es l – (n – 1)*d
Para probar: n-ésimo término desde el principio + n-ésimo término desde el final = a + l
LHS= n-ésimo término desde el principio + n-ésimo término desde el final
= a + (n-1)d + l – (n – 1)*d
= un +l
= lado derecho
Por lo tanto probado.
Pregunta 23. Si un AP es tal que a 4 /a 7 = 2/3, encuentra a 6 /a 8 .
Solución:
Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d.
Nos dan, (a + 3d)/(a+6d) = 2/3
3(a + 3d) =2(a+6d)
3a + 9d = 2a + 12d
a = 3d
Ahora, tenemos que encontrar un 6 / un 8
= (a + 5d)/ (a+7d)
Poner valor de un
= (3d + 5d)/(3a + 7d)
= 8d/10d
= 4/5
Por lo tanto, un 6 / un 8 es 4/5.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prateekc231 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA