Clase 11 Soluciones RD Sharma- Capítulo 19 Progresiones aritméticas- Ejercicio 19.2 | conjunto 2

Formula general

Tn = un + (n – 1) * re

dónde,

Tn es el enésimo término

a es el primer termino

d = diferencia común

   

Fin de la forma del enésimo término

Tn = l – (n – 1) * d

dónde,

Tn es el enésimo término

l es el primer término

d = diferencia común

Pregunta 13. Si (m + 1) el término de un PA es el doble del (n + 1) término, Demuestre que (3m + 1) el término es el doble del (m+ n + 1) término .

Solución:

Nos dan, a m+1 = 2 a n+1

Para probar, a 3m+1 = 2a m+n+1

Supongamos que tenemos el primer término como a y la diferencia común como d, entonces se nos da

a + md = 2(a + nd)

a + md = 2a + 2do

a = md- 2nd —–1

Ahora LHS = a 3m+1

= a + 3md

= md – 2nd +3md valor de venta de un

= 4md – 2do

Ahora RHS = 2a m+n+1

= 2( un + (m+n)d)

= 2( a +md +nd)

= 2 (md-2nd+md+nd) poner valor de a

= 2(2md – nd)

= 4md – 2do

Entonces podemos ver que LHS = RHS.

Pregunta 14. Si el término n de AP 9, 7, 5, … es igual al término n de AP 15, 12, 9, … Halla N.

Solución:

Nos dan dos AP. Para el primer AP

un 1 = 9

re 1 = 7 – 9 = -2

T 1n = un 1 + (n – 1)d 1

= 9 + (n – 1)(-2)

= 11 – 2n

Para el segundo AP,

un 2 = 15

d2 = 12 – 15 = -3

T 2n = un 2 + (n – 1)d 2

= 15 +(n-1)(-3)

= 18 – 3n

Según pregunta,

T 1n = T 2n

11 – 2n = 18 – 3n

n = 7

Por lo tanto, el término 7 es el mismo en ambos AP.

Pregunta 15. i) Halla el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 3, 5, 7, 9,… 201.

Solución:

Nos dan, primer término, a = 3

último término, l = 201

diferencia común, d = 5 – 3 = 2

norte = 12

Entonces, el término 12 desde el último es , = 201 – (12 -1)*2

= 201 – 22

= 179

Por lo tanto, el término 12 desde el final es 179.

ii) Encuentra el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 3, 8, 13,… 253.

Solución:

Nos dan, primer término, a = 3

último término, l = 253

diferencia común, d = 8 – 3 = 5

norte = 12

Entonces, el término 12 desde el último es = 253 – (12 -1)*5

= 253 – 55

= 198

Por lo tanto, el término 12 desde el final es 198.

iii) Encuentra el término 12 desde el final de la siguiente Progresión Aritmética: 1, 4, 7, 10,… 88.

Solución:

Nos dan, primer término, a = 1

Último término, l = 88

diferencia común, d = 4 – 1 = 3

norte = 12

Entonces, el término 12 desde el último es = 88 – (12 -1)*3

= 88 – 33

= 55

Por lo tanto, el término 12 desde el final es 55.

Pregunta 16. El cuarto término de un AP es tres veces el primero y el séptimo término excede dos veces el tercer término en 1. Encuentra el primer término y la diferencia común.

Solución:

Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d

Nos dan, a 4 = 3a 1

un 7 = 2a 3 +1

Asi que ,

a + 3d = 3a

2a – 3d = 0 —–1

Y a + 6d = 2(a+2d) +1

a + 6d = 2a + 4d +1

a -2d = -1 —–2

Al resolver 1 y 2

2a – 3d = 0

-2a + 4d = 2

re = 2

Poner el valor de d en la ecuación 1

a = (3*d)/2

a = 6/2 = 3

Por lo tanto, el primer término es 3 y la diferencia común es 2.

Pregunta 17. Encuentra el segundo término y el enésimo término de un AP cuyo sexto término es 12 y el octavo término es 22.

Solución:

Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d

Nos dan, un 6 = 12

un 8 = 22

Entonces, a + 5d =12 —–1

a + 7d = 22 —–2

Al resolver 1 y 2

a + 7d – (a + 5d )= 22 – 12

7d – 5d = 10

re = 5

Poner el valor de d en la ecuación 1

un + 25 = 12

a = 12- 25

a = -13

Entonces el segundo término es, a + d = -13 + 5 = -8

Y el término n es T n = -13 + (n-1)* 5

= 5n – 18

Pregunta 18. ¿Cuántos números de dos dígitos son divisibles por 3?

Solución:

El primer número de dos dígitos que es divisible por 3 es 12. Entonces a =3

El siguiente número de dos dígitos que es divisible por 3 es 15. Entonces, la diferencia común es 15 – 12 = 3

El último número de dos dígitos que es divisible por 3 es 99.

Entonces podemos aplicar la fórmula general,

3 + (n-1)*3 = 99

(n-1)*3 = 96

n -1 = 32

norte = 33

Por lo tanto, 33 números de dos dígitos son divisibles por 3.

Pregunta 19. Un AP consta de 60 términos. Si el primero y el último término son 7 y 125 respectivamente, encuentre el término 32.

Solución:

Nos dan, a = 7

l = 125

términos totales = 60

Si tenemos un total de 60 términos, entonces el último término sería 60

a + 59d = 125

Poner valor de a,

7 + 59d = 125

59d = 118

re = 2

Entonces, el término 32 a 32 = a + 31d

= 7 + 31*2

= 7 + 62

= 69

Por lo tanto, el término 32 es 69.

Pregunta 20. La suma de los términos 4 y 8 de un AP es 24 y la suma de los términos 6 y 10 es 34. Encuentra el primer término y la diferencia común del AP

Solución:

Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d. Se nos da,

un 4 + un 8 = 24

un 6 + un 10 = 34

a+ 3d + a +7d = 24

2a + 10d = 24

a + 5d = 12 —–1

a + 5d + a+9d = 34

2a + 14d = 34

a + 7d = 17 ——2

Al resolver 1 y 2 obtenemos,

a + 7d – (a + 5d) = 17 – 12

a + 7d – a – 5d = 5

2 días = 5

re = 5/2

Poner el valor de d en la ecuación 1

a + 5*(5/2) = 12

a = 12 – 25/2

a = (24- 25) /2

a = -1/2

Por lo tanto, el primer término es -1/2 y la diferencia común es 5/2.

Pregunta 21. ¿Cuántos números hay entre 1 y 1000 que al dividirlos por 7 dejan 4 de resto?

Solución:

Hagamos un AP de aquellos números que al dividirlos por 7 dejan 4 de resto.

Primer número que cuando se divide por 7 deja resto 4 es 4. Entonces a 1 = 4

El siguiente número que cuando se divide por 7 deja resto 4 es 11. Entonces a 2 = 11

El mayor número de 3 dígitos que, cuando se divide por 7, deja un resto 4, es 998. Por lo tanto, a n = 998

Entonces nuestro AP es 4, 11,…. 998 y la diferencia común es 11-4 = 7

Asi que,

4 + (n-1)*7 = 998

(n-1)*7 = 994

n-1 = 142

norte = 143

Por lo tanto, 143 números son los que al dividirlos por 7 dejan resto 4.

Pregunta 22. El primer y último término de un AP son a y l respectivamente. Demuestre que la suma del término n desde el principio y el término n desde el final es a + l.

Solución:

Supongamos que la diferencia común es d.

Sabemos que el término n desde el principio es a + (n-1)d

Y el término n desde el final es l – (n – 1)*d

Para probar: n-ésimo término desde el principio + n-ésimo término desde el final = a + l

LHS= n-ésimo término desde el principio + n-ésimo término desde el final

= a + (n-1)d + l – (n – 1)*d

= un +l

= lado derecho

Por lo tanto probado.

Pregunta 23. Si un AP es tal que a 4 /a 7 = 2/3, encuentra a 6 /a 8 .

Solución:

Supongamos que el primer término es a y la diferencia común es d.

Nos dan, (a + 3d)/(a+6d) = 2/3

3(a + 3d) =2(a+6d)

3a + 9d = 2a + 12d

a = 3d

Ahora, tenemos que encontrar un 6 / un 8

= (a + 5d)/ (a+7d)

Poner valor de un

= (3d + 5d)/(3a + 7d)

= 8d/10d

= 4/5

Por lo tanto, un 6 / un 8 es 4/5.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prateekc231 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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