Formula general
Tn = a + (n – 1)*d
dónde,
Tn es el enésimo término
a es el primer termino
d = diferencia común
Pregunta 1. Encuentra
i) 10 ° término de AP 1, 4, 7, 10…..
Solución:
Entonces tenemos un 1 = un = 1
d= 4-1 = 3
n = 10
Entonces podemos calcular el décimo término de AP usando la fórmula general:
T10 = a + ( 10-1 )d
= 1 + 9*3
= 28
Por lo tanto, el décimo término es 28.
ii) 18 ° término de AP √2, 3√2, 5√2…..
Solución:
Entonces tenemos a 1 = a = √2
d= 3√2 – √2 = 2√2
n= 18 (dado en la Pregunta)
Entonces podemos calcular el término 18 de AP usando la fórmula general:
T 18 = a + (18-1)d
= √2 + 17*(2√2 )
= 35√2
Por lo tanto, el término 18 es 35√2 .
iii) término n de AP 13, 8, 3, -2….
Solución:
Entonces tenemos a1 = a = 13
d= un 2 – un 1 = 8 – 13 = -5
Así que el término n es
Tn = 13 + (n-1)(-5 )
= 13 -5n + 5
= 18 – 5n
Por lo tanto, el término n es 18-5n .
Pregunta 2. En un AP demuestre que a m+n + a m-n = 2a m .
Solución:
Podemos probar esto con la ayuda de la fórmula general. Resolvamos LHS.
un m+n = un + (m+n-1)d
a m-n = a + (mn-1)d
y un metro = un + (m-1)d
Y ahora,
IZQ = a + (m+n-1)d + a + (mn-1)d
= 2a + (m+n-1+mn-1)d
= 2a+ (2m-2)d
= 2(a+(m-1)d)
= 2a m = lado derecho
Pregunta 3. i) ¿Qué término del AP es 3, 8, 13,…… es 248?
Solución:
Entonces nos dan a = 3
d= 8 – 3 = 5
T n = 248
a + (n-1)d = 248
3 + (n-1)5 = 248
(n-1)5 = 245
n-1 = 49
norte = 50
Por lo tanto, el término 50 de este AP es 248.
ii) ¿Qué término de AP es 84, 80, 76…… es 0.
Solución:
Entonces nos dan a = 84
d= 80 – 84 = -4
Tn = 0
a + (n -1)d = 0
84 + (n-1)(-4) =0
(n-1)(-4) = -84
n-1 = 21
norte = 22
Por lo tanto, el término 22 de este AP es 248.
iii) ¿Qué término del AP 4, 9, 14….. es 254?
Solución:
Entonces nos dan a = 4
re= 9 – 4 = 5
Tn = 254
a + (n-1)d = 254
4 + (n-1)5 = 254
(n-1)5 = 250
n-1 = 50
norte = 51
Por lo tanto, el término 51 de este AP es 248.
Pregunta 4. i) ¿El 68 es un término del AP 7, 10, 13,……?
Solución:
Nos dan a = 7
d= 10 – 7 = 3
Podemos encontrar si 68 es un término de este PA encontrando la n válida para 68 usando la fórmula general. Si no hay un valor de n entero válido para 68, entonces no será un término de este AP.
T n = 68
a+ (n-1)d = 68
7 + (n-1)3 = 68
(n-1)3= 61
n-1 = 61/3
n = 64/3
Por lo tanto, podemos ver que no hay un valor entero válido de n para 68, por lo que 68 no es el término del AP.
ii) ¿Es 302 un término de AP 3, 8, 13,….?
Solución:
Nos dan a = 3
d= 8 – 3 = 5
Podemos encontrar si 302 es un término de este AP encontrando la n válida para 302 usando la fórmula general. Si no hay un valor n entero válido para 302, entonces no será un término de este AP.
T n = 302
a+ (n-1)d = 302
3 + (n-1)5 = 302
(n-1)5= 299
n-1 = 299/5
n = 304/5
Por lo tanto, podemos ver que no hay un valor entero válido de n para 302, por lo que 302 no es el término de AP.
Pregunta 5. i) ¿Qué término de la sucesión 24, 23¼, 22½, 22¾, …… es el primer número negativo?
Solución:
nos dan a = 24
d= 23¼ – 24 = 93/4- 24 = -3/4
Entonces, para encontrar el primer número negativo, podemos encontrar el valor n de T n < 0
a + (n-1)d < 0
24 + (n-1)(-3/4) < 0
24 -3n/4 +3/4 < 0
99/4 – 3n/4 <0
3n/4 > 99/4
Resolviendo esta desigualdad encontramos
n>33
Entonces podemos decir que el término 34 de AP será el primer número negativo.
ii) ¿Qué término de la secuencia 12 + 8i , 11+ 6i, 10 +4i, …… es (a) puramente real (b) puramente imaginario
Solución:
Nos dan a = 12 + 8i
d= (11 + 6i) -(12 + 8i) = 11 +6i – 12 – 8i =-1 – 2i
Entonces T n para esta sucesión será
Tn = un + ( n -1)d
= 12 + 8i + (n-1)(-1-2i)
= 12 + 8i -n +1 -2in + 2i
= 13 – n + 10i -2in
= 13 – n + (10 – 2n)i
(a) Para que T n sea puramente real, la parte imaginaria debe ser igual a 0.
Entonces sabemos que 10 – 2n debe ser 0
10 – 2n =0
entonces n = 5
Por lo tanto, el quinto término de AP es puramente real.
(b) Para que T n sea puramente imaginario, la parte real debe ser igual a 0.
Entonces sabemos que 13 – n debe ser 0
13 – n = 0
entonces n = 13
Por lo tanto, el término 13 de AP es puramente imaginario.
Pregunta 6. i) ¿Cuántos términos hay en AP 7, 10, 13, ….., 43?
Solución:
nos dan a = 7
d= 10 – 7 = 3
T n = 43
El último término de AP es 43. Entonces, si calculamos la posición de 43, obtendremos los términos en este AP.
a + (n-1)d =43
7 + (n-1)3 = 43
(n-1)3 = 36
n-1 = 12
norte = 13
Así que hay un total de 13 términos en este AP.
ii) ¿Cuántos términos hay en AP -1, -5/6, -2/3, -1/2……, 10/3?
Solución:
Nos dan a= -1
d= -5/6 – (-1) = 1-5/6 = 1/6
Tn = 10/3
El último término de AP es 10/3. Entonces, si calculamos la posición de 10/3, obtendremos los términos en este AP.
a + (n-1)d =10/3
-1 + (n-1)(1/6) = 10/3
(n-1)(1/6) = 13/3
n-1 = 13*6/3
n-1= 26
norte = 27
Así que hay un total de 27 términos en este AP.
Pregunta 7. El primer término de AP es 5. La diferencia común es 3 y el último término es 80. Encuentra el número de términos.
Solución:
Se nos da
primer término a 1 = a= 5
diferencia común d= 3
T n = 80
El último término de AP es 80. Entonces, si calculamos la posición de 80, obtendremos los términos en este AP.
a + (n-1)d =80
5 + (n-1)3 = 80
(n-1)3 = 75
n-1 = 75/3
n = 25+1
norte = 26
Así que hay un total de 26 términos en este AP.
Pregunta 8. Los términos 6 y 17 de un AP son 19 y 41 respectivamente. Encuentra el término 40 .
Solución:
Nos dan T 6 =19 y T 17 =41.
a + 5d = 19 —– 1
a+ 16d = 41 —– 2
Al resolver la ecuación 1 y 2
a + 5d – a – 16d = 19 – 41
-11d = – 22
re = 2
y =19 – 10
un = 9
Entonces T 40 = a + 39d
= 9 + 39*2
= 9 + 78
= 87
Entonces, el término 40 es 87 en este AP.
Pregunta 9. Si el término 9 de un AP es cero, demuestre que su término 29 es el doble del término 19 .
Solución:
Nos dan el noveno término de AP es 0.
a 9 =a+ 8d = 0 ——1
Tenemos que probar, a 29 = 2a 19
Sabemos que a 29 = a+ 28d ——-2
a 19 = a+ 18d ——-3
De la ecuación 1 obtenemos
a+ 8d = 0
a= -8d
Entonces, poner a = -8d en las ecuaciones 2 y 3 nos dará el valor de 29 y 19
29 = -8d +28d = 20d
19 = -8d +18d = 10d
Entonces se demostró que 2a 19 = a 29 .
Pregunta 10. Si 10 veces el término 10 de un AP es igual a 15 veces el término 15 , demuestre que el término 25 de AP es cero.
Solución:
Nos dan 10 veces el término 10 de un AP es igual a 15 veces el término 15 .
10a 10 = 15a 15
10(a + 9d) = 15(a +14d)
10a + 90d = 15a + 210d
5a= -120d
5a + 120d= 0
a + 24d = 0
un 25 = 0
Entonces se demostró que 25 es igual a 0.
Pregunta 11. Los términos 10 y 18 de AP son 41 y 73 respectivamente, encuentra el término 26 .
Solución:
Nos dan 10 = a+ 9d = 41 ——-1
a 18 = a+ 17d = 73 ——-2
Al resolver 1 y 2
a + 9d – a -17d = 41 – 73
-8d = -32
re= 4
Sustituyendo el valor de d en la ecuación 1 obtenemos
= 41-9*4
un = 5
Entonces, el valor del término 26 se puede calcular mediante ,
un 26 = un + 25d
= 5 + 25*4
= 105
Así que el término 26 de AP es 105.
Pregunta 12. En ciertos AP el término 24 es el doble del término 10 . Demuestre que el término 72 es el doble del término 34 .
Solución:
Nos dan que el término 24 de un AP es el doble del término 10 .
un 24 = 2 un 10
Entonces a + 23d = 2(a + 9d)
a + 23d = 2a + 18d
a = 5d
Y sabemos, un 34 = un +33d
= 5d + 33d
= 38d
Del mismo modo, un 72 = un +71d
= 5d + 71d
= 76d
Ahora podemos ver que a 72 = 2a 34 . Por lo tanto, se demostró que el término 72 es el doble del término 34 .
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prateekc231 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA