Pregunta 23. Si los términos 5 y 12 de un AP son 30 y 65 respectivamente, ¿cuál es la suma de los primeros 20 términos?
Solución:
Según la pregunta tenemos
un 5 = 30
Usando la fórmula
⇒ a + (5 – 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 ……………. (i)
Además, un n = 65
Usando la fórmula
⇒ a + (12 – 1)d = 65
⇒ a + 11d = 65 ……………(ii)
Al resolver las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos
7d = 35
⇒ re = 5
Al poner el valor de d en (i), obtenemos:
a + 4 x 5 = 30
⇒ un = 10
Ahora encontramos la suma de los primeros 20 términos
S 20 = 20/2 [2 x 10 + (20 – 1) x 5]
⇒ S 20 = 10 [20 + 95]
⇒ S 20 = 1150
Pregunta 24. Encuentra la suma de n términos del AP cuyo k-ésimo término es 5k + 1.
Solución:
Según la pregunta tenemos
k = 5k + 1
Para k = 1, a 1 = 5 x 1 + 1 = 6
Para k = 2, a 2 = 5 x 2 + 1 = 11
Para k = n, un n = 5n + 1
Ahora encontramos la suma de n términos
Sn = n/2 [un + un]
⇒ Sn = n/2[6 + 5n + 1] = n/2 (5n + 7)
Pregunta 25. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que, cuando se dividen por 4, dan como resto 1.
Solución:
Según la pregunta tenemos
AP = 13, 17….97
De la AP tenemos
a = 13, d = 4, a n = 97
Ahora usando la formula
⇒ un norte = un ( n – 1)d
⇒ 97 = 13 + (n – 1)4
⇒ 84 = 4n – 4
⇒ 88 = 4n
⇒ 22 = norte …………… (1)
Ahora encontramos la suma de todos los números de dos dígitos usando la fórmula dada
Sn = n /2[2a + (n – 1)d]
S 22 = 22/2 [2 x 13 + (22 – 1) x 4] (De la ecuación (1))
⇒ S 22 = 11[26 + 84]
⇒ S 22 = 11[110] = 1210
Pregunta 26. Si la suma de cierto número de términos del AP 25, 22, 19,… es 116. Halla el último término.
Solución:
segun pregunta
AP = 25, 22, 19
De la AP tenemos
a = 25, d = 22 – 25 = -3
S n = 116
Ahora usando la formula
⇒ n/2 [2a + (n – 1)d] = 116
⇒ norte [2 x 25 + (n – 1)(-3)] = 232
⇒ 50n -3n 2 + 3n = 232
⇒ 3n 2 – 53n + 232 = 0
⇒ 3n 2 – 29n – 24n + 232 = 0
⇒ n(3n – 29) – 8(3n – 29) = 0
⇒(3n – 29)(n – 8) = 0
⇒ n = 29/ 3 u 8
Como n no puede ser una fracción, n = 8.
Ahora encontramos el último término usando la siguiente fórmula
un norte = un + ( n – 1)d
⇒ un 8 = 25 + (8 – 1)(-3)
⇒ un 8 = 4
Pregunta 27. Encuentra la suma de enteros impares del 1 al 2001.
Solución:
segun pregunta
PA = 1, 3, 5… 2001
De la AP tenemos
a = 1 y d = 2
un n = 2001
Ahora usando la formula
⇒ 1 + (n – 1)2 = 2001
⇒ 2n – 2 = 2000
⇒ 2n = 2002
⇒ n = 1001
Ahora encontramos la suma de enteros impares del 1 al 2001
Además, S 1001 = 1001/2 [2 x 1 + (1001 – 1)2]
⇒ S 1001 = 1001/2 [2 + 2000]
⇒ S 1001 = 1001 x 1001 = 1002001
Pregunta 28. ¿Cuántos términos de AP -6, -11/2, -5,… se necesitan para dar la suma -25?
Solución:
segun pregunta
PA = -6, -11/2, -5, …
De la AP tenemos
a = – 6 y d =-11/2 – (-6) = 1/2
S n = -25
Ahora usando la formula
⇒ -25 = n/2 [2 x (-6) + (n -1)(1/2)]
⇒ -25 = n/2 [ -12 + n/2 – 1/2]
⇒ -50 = n [ n/2 – 25/2]
⇒ -100 = norte [ norte – 25]
⇒ n 2 – 25n + 100 = 0
⇒ (n – 20)(n – 5) = 0
⇒ n = 20 o n = 5
Pregunta 29. En un AP el primer término es 2 y la suma de los primeros cinco términos es la cuarta parte de los siguientes cinco términos. Demuestra que el vigésimo término es -112.
Solución:
Según la pregunta tenemos
a = 2, S 5 = 1/4 (S 10 – S 5 )
S 5 = 5/2 [2 x 2 + (5 – 1)d]
⇒ S 5 = 5 [2 + 2d] ………………..(i)
Además, S 10 = 10/2 [2 x 2 + (10 – 1)d]
⇒ S 10 = 5[4 + 9d] ………………..(ii)
Dado que S 5 = 1/4 (S 10 – S 5 )
Entonces, de la ecuación (i) y (ii), tenemos:
⇒ 5[2 + 2d] = 1/4 [5(4 + 9d) – 5(2 + 2d)]
⇒ 8 + 8d = 4 + 9d – 2 – 2d
⇒ re = -6
Ahora encontramos el vigésimo término
un 20 = un + (20 – 1)d
⇒ un 20 = un + 19d
⇒ un 20 = 2 + 19(-6) = -112
Por lo tanto probado
Pregunta 30. Si S 1 es la suma de (2n + 1) términos de un AP y S 2 es la suma de sus términos impares, demuestre que: S 1 : S 2 = (2n + 1) : (n + 1 )
Solución:
Supongamos que AP es a, a + d, a + 2d…
Entonces, S 1 = (2n + 1)/2 [2a + (2n + 1 – 1)d]
Ahora, usando la fórmula, obtenemos
⇒ S 1 = (2n + 1)/2 [2a + (2n)d]
⇒ S 1 = (2n + 1)(a + nd) …………………(i)
Ahora, usando la fórmula, obtenemos
S 2 = (n + 1)/2 [2a + (n + 1 – 1) x 2d]
⇒ S 2 = (n +1)/2 [2a + 2º]
⇒ S 2 = (n + 1)[a + nd] …………………..(ii)
De la ecuación (i) y (ii), obtenemos:
S 1 / S 2 = (2n + 1) / (n + 1)
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 31. Encuentre un AP en el que la suma de cualquier número de términos sea siempre tres veces el número de estos términos al cuadrado.
Solución:
Dado que S n = 3n 2
Entonces, para n = 1, S 1 = 3 x 1 2 = 3
Para n = 2, S 2 = 3 x 2 2 = 12
Para n = 3, S 3 = 3 x 3 2 = 27 y así sucesivamente
Entonces, S 1 = a 1 = 3
un 2 = S 2 – S 1 = 12 – 3 = 9
a3 = S 3 – S 2 = 27 – 12 = 15 y así sucesivamente
Por lo tanto, el AP = 3, 9, 15…
Pregunta 32. Si la suma de n términos de un AP es nP + 1/2 – n (n – 1) Q, donde P y Q son constantes, encuentre la diferencia común.
Solución:
Según la pregunta tenemos
S n = nP + 1/2 n(n – 1)Q
Para n = 1, S 1 = P + 0 = P
Para n = 2, S 2 = 2P + Q
Además, a 1 = S 1 = P,
a 2 = S 2 – S 1 = 2P + Q – P = P + Q
Por lo tanto, la diferencia común d = a 2 – a 1 = P + Q – P = Q
Pregunta 33. Las sumas de n términos de dos progresiones aritméticas están en la razón 5n + 4 : 9n + 6. Encuentra la razón de sus 18 términos.
Solución:
Consideremos que tenemos dos A.P. Entonces, a 1 y a 2 son los primeros términos y d 1 y d 2 es la diferencia común de los A.P.
Según la pregunta tenemos
(5n + 4) / (9n + 6) = (Suma de n términos en el primer AP) / (Suma de n términos en el segundo AP)
⇒ (5n + 4) / (9n + 6) = (2a 1 + [(n — 1)d 1 ]) / (2a 2 + [(n — 1)d 2 ] ………(1)
Ahora pon n = 2 x 18 – 1 = 35 en la ecuación (1), obtenemos
(5 x 35 + 4) / (9 x 35 + 6) = (2a 1 + 34d 1 ) / (2a 2 + 34d 2 )
179 /321 = (a 1 + 17d 1 ) / (a 2 + 17d 2 ) = (término 18 del primer PA) / (término 18 del segundo PA)
Por lo tanto, la razón de los 18 términos = (a 1 + 17d 1 ) / (a 2 + 17d 2 ) = 179/321
Pregunta 34. Las sumas de n términos de dos progresiones aritméticas están en la razón 7n + 2 : n + 4. Encuentra la razón de sus 5tos términos.
Solución:
Consideremos que tenemos dos A.P. Entonces, a 1 y a 2 son los primeros términos y S 1 y S 2 son la suma de los primeros n términos.
Según la pregunta tenemos
S 1 = n/2 [2a 1 + (n – 1)d 1 ]
Y, S 2 = n/2 [2a 2 + (n -1)d 2 ]
Dado:
S 1 / S 2 = (n/2 [2a 1 + (n – 1)d 1 ])/(n/2 [2a 2 + (n – 1)d 2 ]) = (7n + 2) / (n + 4)
Ahora encontramos la razón de sus quintos términos
[2a 1 + (9 – 1)d 1 ] / [2a 2 + (9 – 1)d 2 ] = (7(9) + 2) / (9 + 4)
[2a 1 + (8)d 1 ] / [2a 2 + (8)d 2 ] = 65/13
[a 1 + (4) d 1 ] / [a 2 + (4) d 2 ] = 5/1 = 5 : 1
Por lo tanto, la relación de los términos quintos = 5: 1
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Artículo escrito por manandeep1610 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA