Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Progresiones aritméticas – Ejercicio 19.4 | Serie 1

Pregunta 1. Encuentra la suma de las siguientes progresiones aritméticas:

(i) 50, 46, 42, …. a 10 términos

(ii) 1, 3, 5, 7, … a 12 términos

(iii) 3, 9/2, 6, 15/2, … a 25 términos

(iv) 41, 36, 31,… a 12 términos

(v) a+b, ab, a-3b, … a 22 términos

(vi) (x – y) 2 , (x 2 + y 2 ), (x + y) 2 , … a n términos

(vii) (x – y)/(x + y), (3x – 2y)/(x + y), (5x – 3y)/(x + y), … en n términos

Solución:

(i) 50, 46, 42, …. a 10 términos

Del AP dado obtenemos

n(número total de términos) = 10

a(primer término) = a 1 = 50

d(Diferencia común) = a 2 – a 1 = 46 – 50 = -4

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

Obtenemos

S = 10/2 (100 + (9) (-4))

= 5 (100 – 36)

= 5 (64)

= 320

Por lo tanto, la suma de los AP dados = 320.

(ii) 1, 3, 5, 7, … a 12 términos

Del AP dado obtenemos

norte = 12

un = un 1 = 1

re = un 2 – un 1 = 3 – 1 = 2

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

obtenemos

S = 12/2 (2(1) + (12-1) (2))

= 6 (2 + (11) (2))

= 6 (2 + 22)

= 6 (24)

= 144

Por lo tanto, la suma de los AP dados = 144.

(iii) 3, 9/2, 6, 15/2, … a 25 términos

Del AP dado obtenemos

norte = 25

un = un 1 = 3

d = un 2 – un 1 = 9/2 – 3 = 3/2

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

obtenemos

S = 25/2 (2(3) + (25 – 1) (3/2))

= 25/2 (6 + (24) (3/2))

= 25/2 (6 + 36)

= 25/2 (42)

= 25 (21)

= 525

Por lo tanto, la suma de los AP dados = 525.

(iv) 41, 36, 31,… a 12 términos

Del AP dado obtenemos

norte = 12

un = un 1 = 41

d = un 2 – un 1 = 36 – 41 = -5

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

Obtenemos

S = 12/2 (2(41) + (12 – 1) (-5))

= 6 (82 + (11) (-5))

= 6 (82 – 55)

= 6 (27)

= 162

Por lo tanto, la suma de los AP dados = 162.

(v) a+b, ab, a-3b, … a 22 términos

Del AP dado obtenemos

norte = 22

a = a 1 = a+b

d = un 2 – un 1 = (un – b) – (un + b) = -2b

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

Obtenemos

S = 22/2 (2(a + b) + (22-1) (-2b))

= 11 (2a + 2b + (21) (-2b))

= 11 (2a + 2b – 42b)

= 11 (2a – 40b)

= 22a – 440b

Por lo tanto, la suma de los AP dados = 22a – 440b.

(vi) (x – y) 2 , (x 2 + y 2 ), (x + y) 2 , … a n términos

Del AP dado obtenemos

norte = norte

a = a 1 = (x – y) 2

d = un 2 – un 1 = (x 2 + y 2 ) – (x – y) 2 = 2xy

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

Obtenemos

S = n/2 (2(x – y) 2 + (n – 1) (2xy))

= n/2 (2 (x2 + y2 2xy) + 2xyn – 2xy)

= n/2 × 2 ((x 2 + y 2 – 2xy) + xyn – xy)

= n (x2 + y2 – 3xy + xyn)

Por lo tanto, la suma de los AP dados = n (x 2 + y 2 – 3xy + xyn).

(vii) (x – y)/(x + y), (3x – 2y)/(x + y), (5x – 3y)/(x + y), … en n términos

Del AP dado obtenemos

norte = norte

a = a 1 = (x – y)/(x + y)

d = un 2 – un 1 = (3x – 2y)/(x + y) – (xy)/(x+y) = (2x – y)/(x+y)

Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada

S = n/2 (2a + (n – 1) d)

Obtenemos

S = n/2 (2((x – y)/(x + y)) + (n – 1) ((2x – y)/(x + y)))

= n/2(x + y) {n (2x – y) – y}

Por lo tanto, la suma de los AP dados = n/2(x + y) {n (2x – y) – y}

Pregunta 2. Encuentra la suma de las siguientes series:

(yo) 2 + 5 + 8 + … + 182

(ii) 101 + 99 + 97 + … + 47

(iii) (a – b) 2 + (a 2 + b) + (a + b) 2 + s…. + [(a + b) 2 + 6ab]

Solución:

(yo) 2 + 5 + 8 + … + 182

Del AP dado obtenemos

a(primer término) = a 1 = 2

d(diferencia común) = a2 – a1 = 5 – 2 = 3

un n = 182

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + (n – 1) re

182 = 2 + (n – 1) 3

182 = 2 + 3n – 3

182 = 3n -1

3n = 182 + 1

n = 183/3

= 61

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 (a + l)

= 61/2 (2 + 182)

= 61/2 (184)

= 61 (92)

= 5612

Por lo tanto, la suma de la serie = 5612

(ii) 101 + 99 + 97 + … + 47

Del AP dado obtenemos

un = un 1 = 101

d = un 2 – un 1 = 99 – 101 = -2

un norte = 47

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + (n-1) re

47 = 101 + (n-1)(-2)

47 = 101 – 2n + 2

2n = 103 – 47

2n = 56

n = 56/2 = 28

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 (a + l)

= 28/2 (101 + 47)

= 28/2 (148)

= 14 (148)

= 2072

Por lo tanto, la suma de la serie = 2072

(iii) (a – b) 2 + (a 2 + b 2 ) + (a + b) 2 + s…. + [(a + b) 2 + 6ab]

Del AP dado obtenemos

a = a 1 = (ab) 2

re = un 2 – un 1 = (un 2 + segundo 2 ) – (un – segundo) 2 = 2ab

un norte = [(a + b) 2 + 6ab ]

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n -1) re

[(a + b) 2 + 6ab] = (ab) 2 + (n -1)2ab

a 2 + b 2 + 2ab + 6ab = a 2 + b 2 – 2ab + 2abn – 2ab

a 2 + b 2 + 8ab – a 2 – b 2 + 2ab + 2ab = 2abn

12ab = 2abn

n = 12ab / 2ab

= 6

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 (a + l)

= 6/2 ((ab) 2 + [(a + b) 2 + 6ab])

= 3 (a 2 + b 2 – 2ab + a 2 + b 2 + 2ab + 6ab)

= 3 (2a 2 + 2b 2 + 6ab)

= 3 × 2 (a 2 + b 2 + 3ab)

= 6 (a 2 + b 2 + 3ab)

Por lo tanto, la suma de la serie = 6 (a 2 + b 2 + 3ab)

Pregunta 3. Encuentra la suma de los primeros n números naturales.

Solución:

Sea AP 1, 2, 3, 4, …, n

Entonces, del AP dado obtenemos

a(primer término) = a 1 = 1

d(diferencia común) = a 2 – a 1 = 2 -1 = 1

l = norte

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 [2a + (n – 1) d]

= n/2 [2(1) + (n – 1) 1]

= n/2 [2 + n – 1]

= n/2 [n – 1]

Por lo tanto, la suma de los primeros n números naturales es n(n – 1)/2

Pregunta 4. Encuentra la suma de todos los números naturales entre 1 y 100, que son divisibles por 2 o 5

Solución:

Según la pregunta los números naturales que son divisibles por 2 o por 5 son

2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + … + 100 = (2 + 4 + 6 +…+ 100) + (5 + 15 + 25 +…+95)

Entonces, el PA = (2 + 4 + 6 +…+ 100) + (5 + 15 + 25 ++…+95) 

Ahora tomemos (2 + 4 + 6 +…+ 100)

De esta secuencia obtenemos

a = 2, d = 4 – 2 = 2, a n = 100

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

100 = 2 + (n – 1)2

100 = 2 + 2n – 2

2n = 100

n = 100/2

= 50

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 (2a + (n – 1)d)

= 50/2 (2(2) + (50 – 1)2)

= 25 (4 + 49(2))

= 25 (4 + 98)

= 2550

Ahora tomamos (5 + 15 + 25 +…+95)

De esta secuencia obtenemos

a = 5, d = 15 – 5 = 10, a n = 95

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

95 = 5 + (n – 1)10

95 = 5 + 10n – 10

10n = 95 +10 – 5

10n = 100

n = 100/10

= 10

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 (2a + (n – 1)d)

= 10/2 (2(5) + (10 – 1)10)

= 5 (10 + 9(10))

= 5 (10 + 90)

= 500

Por lo tanto, la suma de todos los números naturales entre 1 y 100, que son divisibles por 2 o 5 = 2550 + 500 = 3050

Pregunta 5. Encuentra la suma de los primeros n números naturales impares.

Solución:

Según la pregunta 

AP = 1, 3, 5, 7……n

Entonces, del AP dado obtenemos

un = 1, re = 3 – 1 = 2, norte = norte

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2 [2a + (n – 1)d]

= n/2 [2(1) + (n – 1)2]

= n/2 [2 + 2n – 2]

= n/2 [2n]

= norte 2

Por lo tanto, la suma de los primeros n números naturales impares = n 2 .

Pregunta 6. Encuentra la suma de todos los números impares entre 100 y 200

Solución:

Según la pregunta 

AP = 101, 103, 105, …, 199

Entonces, del AP dado obtenemos

a = 101, d = 103 – 101 = 2, a n = 199

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

199 = 101 + (n – 1)2

199 = 101 + 2n – 2

2n = 199 – 101 + 2

2n = 100

n = 100/2

= 50

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

S = n/2[a + l]

= 50/2 [101 + 199]

= 25 [300]

= 7500

Por lo tanto, la suma de todos los números impares entre 100 y 200 = 7500.

Pregunta 7. Demuestre que la suma de todos los números impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 es 83667.

Solución:

Según la pregunta

PA = 3, 9, 15,…,999

Entonces, del AP dado obtenemos

a = 3, d = 9 – 3 = 6, a n = 999

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

999 = 3 + (n – 1)6

999 = 3 + 6n – 6

6n = 999 + 6 – 3

6n = 1002

n = 1002/6

= 167

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

Suma de n términos, S = n/2 [a + l]

= 167/2 [3 + 999]

= 167/2 [1002]

= 167 [501]

= 83667

Por lo tanto, la suma de todos los enteros impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 = 83667.

Pregunta 8. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5

Solución:

Según la pregunta

Ap = 85, 90, 95, …, 715

Entonces, del AP dado obtenemos

a = 85, d = 90 – 85 = 5, a n = 715

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

715 = 85 + (n – 1)5

715 = 85 + 5n – 5

5n = 715 – 85 + 5

5n = 635

n = 635/5

= 127

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

Suma de n términos, S = n/2 [a + l]

= 127/2 [85 + 715]

= 127/2 [800]

= 127 [400]

= 50800

Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5 = 50800.

Pregunta 9. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7

Solución:

segun pregunta

AP = 56, 63, 70, …, 497

Entonces, del AP dado obtenemos

a = 56, d = 63 – 56 = 7, an = 497

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

497 = 56 + (n – 1)7

497 = 56 + 7n – 7

7n = 497 – 56 + 7

7n = 448

n = 448/7

= 64

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

Suma de n términos, S = n/2 [a + l]

= 64/2 [56 + 497]

= 32 [553]

= 17696

Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7 = 17696.

Pregunta 10. Encuentra la suma de todos los números pares entre 101 y 999.

Solución:

segun pregunta

AP = 102, 104, 106, …, 998

Entonces, del AP dado obtenemos

a = 102, d = 104 – 102 = 2, a n = 998

Encuentre el valor de n usando la fórmula dada

un norte = un + ( n – 1)d

998 = 102 + (n – 1)(2)

998 = 102 + 2n – 2

2n = 998 – 102 + 2

2n = 898

n = 898/2

= 449

Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula

Suma de n términos, S = n/2 [a + l]

= 449/2 [102 + 998]

= 449/2 [1100]

= 449 [550]

= 246950

Por lo tanto, la suma de todos los números pares entre 101 y 999 = 246950.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por manandeep1610 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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