Pregunta 1. Encuentra la suma de las siguientes progresiones aritméticas:
(i) 50, 46, 42, …. a 10 términos
(ii) 1, 3, 5, 7, … a 12 términos
(iii) 3, 9/2, 6, 15/2, … a 25 términos
(iv) 41, 36, 31,… a 12 términos
(v) a+b, ab, a-3b, … a 22 términos
(vi) (x – y) 2 , (x 2 + y 2 ), (x + y) 2 , … a n términos
(vii) (x – y)/(x + y), (3x – 2y)/(x + y), (5x – 3y)/(x + y), … en n términos
Solución:
(i) 50, 46, 42, …. a 10 términos
Del AP dado obtenemos
n(número total de términos) = 10
a(primer término) = a 1 = 50
d(Diferencia común) = a 2 – a 1 = 46 – 50 = -4
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
Obtenemos
S = 10/2 (100 + (9) (-4))
= 5 (100 – 36)
= 5 (64)
= 320
Por lo tanto, la suma de los AP dados = 320.
(ii) 1, 3, 5, 7, … a 12 términos
Del AP dado obtenemos
norte = 12
un = un 1 = 1
re = un 2 – un 1 = 3 – 1 = 2
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
obtenemos
S = 12/2 (2(1) + (12-1) (2))
= 6 (2 + (11) (2))
= 6 (2 + 22)
= 6 (24)
= 144
Por lo tanto, la suma de los AP dados = 144.
(iii) 3, 9/2, 6, 15/2, … a 25 términos
Del AP dado obtenemos
norte = 25
un = un 1 = 3
d = un 2 – un 1 = 9/2 – 3 = 3/2
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
obtenemos
S = 25/2 (2(3) + (25 – 1) (3/2))
= 25/2 (6 + (24) (3/2))
= 25/2 (6 + 36)
= 25/2 (42)
= 25 (21)
= 525
Por lo tanto, la suma de los AP dados = 525.
(iv) 41, 36, 31,… a 12 términos
Del AP dado obtenemos
norte = 12
un = un 1 = 41
d = un 2 – un 1 = 36 – 41 = -5
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
Obtenemos
S = 12/2 (2(41) + (12 – 1) (-5))
= 6 (82 + (11) (-5))
= 6 (82 – 55)
= 6 (27)
= 162
Por lo tanto, la suma de los AP dados = 162.
(v) a+b, ab, a-3b, … a 22 términos
Del AP dado obtenemos
norte = 22
a = a 1 = a+b
d = un 2 – un 1 = (un – b) – (un + b) = -2b
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
Obtenemos
S = 22/2 (2(a + b) + (22-1) (-2b))
= 11 (2a + 2b + (21) (-2b))
= 11 (2a + 2b – 42b)
= 11 (2a – 40b)
= 22a – 440b
Por lo tanto, la suma de los AP dados = 22a – 440b.
(vi) (x – y) 2 , (x 2 + y 2 ), (x + y) 2 , … a n términos
Del AP dado obtenemos
norte = norte
a = a 1 = (x – y) 2
d = un 2 – un 1 = (x 2 + y 2 ) – (x – y) 2 = 2xy
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
Obtenemos
S = n/2 (2(x – y) 2 + (n – 1) (2xy))
= n/2 (2 (x2 + y2 – 2xy) + 2xyn – 2xy)
= n/2 × 2 ((x 2 + y 2 – 2xy) + xyn – xy)
= n (x2 + y2 – 3xy + xyn)
Por lo tanto, la suma de los AP dados = n (x 2 + y 2 – 3xy + xyn).
(vii) (x – y)/(x + y), (3x – 2y)/(x + y), (5x – 3y)/(x + y), … en n términos
Del AP dado obtenemos
norte = norte
a = a 1 = (x – y)/(x + y)
d = un 2 – un 1 = (3x – 2y)/(x + y) – (xy)/(x+y) = (2x – y)/(x+y)
Ahora ponga todos estos valores en la fórmula dada
S = n/2 (2a + (n – 1) d)
Obtenemos
S = n/2 (2((x – y)/(x + y)) + (n – 1) ((2x – y)/(x + y)))
= n/2(x + y) {n (2x – y) – y}
Por lo tanto, la suma de los AP dados = n/2(x + y) {n (2x – y) – y}
Pregunta 2. Encuentra la suma de las siguientes series:
(yo) 2 + 5 + 8 + … + 182
(ii) 101 + 99 + 97 + … + 47
(iii) (a – b) 2 + (a 2 + b) + (a + b) 2 + s…. + [(a + b) 2 + 6ab]
Solución:
(yo) 2 + 5 + 8 + … + 182
Del AP dado obtenemos
a(primer término) = a 1 = 2
d(diferencia común) = a2 – a1 = 5 – 2 = 3
un n = 182
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + (n – 1) re
182 = 2 + (n – 1) 3
182 = 2 + 3n – 3
182 = 3n -1
3n = 182 + 1
n = 183/3
= 61
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 (a + l)
= 61/2 (2 + 182)
= 61/2 (184)
= 61 (92)
= 5612
Por lo tanto, la suma de la serie = 5612
(ii) 101 + 99 + 97 + … + 47
Del AP dado obtenemos
un = un 1 = 101
d = un 2 – un 1 = 99 – 101 = -2
un norte = 47
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + (n-1) re
47 = 101 + (n-1)(-2)
47 = 101 – 2n + 2
2n = 103 – 47
2n = 56
n = 56/2 = 28
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 (a + l)
= 28/2 (101 + 47)
= 28/2 (148)
= 14 (148)
= 2072
Por lo tanto, la suma de la serie = 2072
(iii) (a – b) 2 + (a 2 + b 2 ) + (a + b) 2 + s…. + [(a + b) 2 + 6ab]
Del AP dado obtenemos
a = a 1 = (ab) 2
re = un 2 – un 1 = (un 2 + segundo 2 ) – (un – segundo) 2 = 2ab
un norte = [(a + b) 2 + 6ab ]
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n -1) re
[(a + b) 2 + 6ab] = (ab) 2 + (n -1)2ab
a 2 + b 2 + 2ab + 6ab = a 2 + b 2 – 2ab + 2abn – 2ab
a 2 + b 2 + 8ab – a 2 – b 2 + 2ab + 2ab = 2abn
12ab = 2abn
n = 12ab / 2ab
= 6
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 (a + l)
= 6/2 ((ab) 2 + [(a + b) 2 + 6ab])
= 3 (a 2 + b 2 – 2ab + a 2 + b 2 + 2ab + 6ab)
= 3 (2a 2 + 2b 2 + 6ab)
= 3 × 2 (a 2 + b 2 + 3ab)
= 6 (a 2 + b 2 + 3ab)
Por lo tanto, la suma de la serie = 6 (a 2 + b 2 + 3ab)
Pregunta 3. Encuentra la suma de los primeros n números naturales.
Solución:
Sea AP 1, 2, 3, 4, …, n
Entonces, del AP dado obtenemos
a(primer término) = a 1 = 1
d(diferencia común) = a 2 – a 1 = 2 -1 = 1
l = norte
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 [2a + (n – 1) d]
= n/2 [2(1) + (n – 1) 1]
= n/2 [2 + n – 1]
= n/2 [n – 1]
Por lo tanto, la suma de los primeros n números naturales es n(n – 1)/2
Pregunta 4. Encuentra la suma de todos los números naturales entre 1 y 100, que son divisibles por 2 o 5
Solución:
Según la pregunta los números naturales que son divisibles por 2 o por 5 son
2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + … + 100 = (2 + 4 + 6 +…+ 100) + (5 + 15 + 25 +…+95)
Entonces, el PA = (2 + 4 + 6 +…+ 100) + (5 + 15 + 25 ++…+95)
Ahora tomemos (2 + 4 + 6 +…+ 100)
De esta secuencia obtenemos
a = 2, d = 4 – 2 = 2, a n = 100
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
100 = 2 + (n – 1)2
100 = 2 + 2n – 2
2n = 100
n = 100/2
= 50
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 (2a + (n – 1)d)
= 50/2 (2(2) + (50 – 1)2)
= 25 (4 + 49(2))
= 25 (4 + 98)
= 2550
Ahora tomamos (5 + 15 + 25 +…+95)
De esta secuencia obtenemos
a = 5, d = 15 – 5 = 10, a n = 95
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
95 = 5 + (n – 1)10
95 = 5 + 10n – 10
10n = 95 +10 – 5
10n = 100
n = 100/10
= 10
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 (2a + (n – 1)d)
= 10/2 (2(5) + (10 – 1)10)
= 5 (10 + 9(10))
= 5 (10 + 90)
= 500
Por lo tanto, la suma de todos los números naturales entre 1 y 100, que son divisibles por 2 o 5 = 2550 + 500 = 3050
Pregunta 5. Encuentra la suma de los primeros n números naturales impares.
Solución:
Según la pregunta
AP = 1, 3, 5, 7……n
Entonces, del AP dado obtenemos
un = 1, re = 3 – 1 = 2, norte = norte
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2 [2a + (n – 1)d]
= n/2 [2(1) + (n – 1)2]
= n/2 [2 + 2n – 2]
= n/2 [2n]
= norte 2
Por lo tanto, la suma de los primeros n números naturales impares = n 2 .
Pregunta 6. Encuentra la suma de todos los números impares entre 100 y 200
Solución:
Según la pregunta
AP = 101, 103, 105, …, 199
Entonces, del AP dado obtenemos
a = 101, d = 103 – 101 = 2, a n = 199
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
199 = 101 + (n – 1)2
199 = 101 + 2n – 2
2n = 199 – 101 + 2
2n = 100
n = 100/2
= 50
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
S = n/2[a + l]
= 50/2 [101 + 199]
= 25 [300]
= 7500
Por lo tanto, la suma de todos los números impares entre 100 y 200 = 7500.
Pregunta 7. Demuestre que la suma de todos los números impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 es 83667.
Solución:
Según la pregunta
PA = 3, 9, 15,…,999
Entonces, del AP dado obtenemos
a = 3, d = 9 – 3 = 6, a n = 999
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
999 = 3 + (n – 1)6
999 = 3 + 6n – 6
6n = 999 + 6 – 3
6n = 1002
n = 1002/6
= 167
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
Suma de n términos, S = n/2 [a + l]
= 167/2 [3 + 999]
= 167/2 [1002]
= 167 [501]
= 83667
Por lo tanto, la suma de todos los enteros impares entre 1 y 1000 que son divisibles por 3 = 83667.
Pregunta 8. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5
Solución:
Según la pregunta
Ap = 85, 90, 95, …, 715
Entonces, del AP dado obtenemos
a = 85, d = 90 – 85 = 5, a n = 715
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
715 = 85 + (n – 1)5
715 = 85 + 5n – 5
5n = 715 – 85 + 5
5n = 635
n = 635/5
= 127
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
Suma de n términos, S = n/2 [a + l]
= 127/2 [85 + 715]
= 127/2 [800]
= 127 [400]
= 50800
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 84 y 719, que son múltiplos de 5 = 50800.
Pregunta 9. Encuentra la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7
Solución:
segun pregunta
AP = 56, 63, 70, …, 497
Entonces, del AP dado obtenemos
a = 56, d = 63 – 56 = 7, an = 497
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
497 = 56 + (n – 1)7
497 = 56 + 7n – 7
7n = 497 – 56 + 7
7n = 448
n = 448/7
= 64
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
Suma de n términos, S = n/2 [a + l]
= 64/2 [56 + 497]
= 32 [553]
= 17696
Por lo tanto, la suma de todos los números enteros entre 50 y 500 que son divisibles por 7 = 17696.
Pregunta 10. Encuentra la suma de todos los números pares entre 101 y 999.
Solución:
segun pregunta
AP = 102, 104, 106, …, 998
Entonces, del AP dado obtenemos
a = 102, d = 104 – 102 = 2, a n = 998
Encuentre el valor de n usando la fórmula dada
un norte = un + ( n – 1)d
998 = 102 + (n – 1)(2)
998 = 102 + 2n – 2
2n = 998 – 102 + 2
2n = 898
n = 898/2
= 449
Ahora, encontramos la suma de los AP dados usando la siguiente fórmula
Suma de n términos, S = n/2 [a + l]
= 449/2 [102 + 998]
= 449/2 [1100]
= 449 [550]
= 246950
Por lo tanto, la suma de todos los números pares entre 101 y 999 = 246950.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por manandeep1610 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA