Pregunta 1. Si 1/a, 1/b, 1/c están en AP Demuestra que:
(i) (b+c)/a, (c+a)/b, (a+b)/c están en AP
(ii) a(b+c), b(a+c), c(a+b) están en AP
Solución:
(i) (b+c)/a, (c+a)/b, (a+b)/c están en AP
Como sabemos que,
si a, b, c están en AP entonces, ba = cb
si 1/a, 1/b, 1/c están en AP entonces, 1/b-1/a = 1/c-1/b
Del mismo modo, (c+a)/b-(b+c)/a = (a+b)/c-(c+a)/b
tomando LCM de ambos lados;
a(c+a)-(b+c)b/ab = b(a+b)-(c+a)c/bc
ac + a 2 – b 2 – bc / ab = ab + b 2 − c 2 –ac / bc
Ahora, consideremos el LHS y multiplicando el numerador y el denominador por ‘c’
obtenemos,
ac 2 + a 2 c – b 2 c – bc 2 / abc
c(ba)(a+b+c)/abc —(i)
Ahora, consideremos el lado derecho y multiplicando el numerador y el denominador por ‘a’
un 2 segundo + segundo 2 un – c 2 un – un 2 c / abc
a(bc)(a+b+c)/abc —(ii)
Al comparar (i) y (ii);
obtenemos, LHS = RHS
es decir c(ba) = a(bc)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
(ii) a(b+c), b(a+c), c(a+b) están en AP
Como sabemos que, si a(b+c), b(a+c), c(a+b) están en AP
entonces, b(a+c) – a(b+c) = c(a+b) – b(a+c)
ahora, consideremos LHS
b(a+c) – a(b+c)
después de la ecuación de simplificación se convierte en;
ba + ac – ab – ac = c(ba) —(i)
Del mismo modo, RHS se convierte en;
ca + bc – ab – bc = a(cb) —(ii)
Al comparar (i) y (ii)
LHS = RHS
es decir c(ba) = a(cb)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
Pregunta 2. Si a 2 , b 2 , c 2 , están en AP Demuestra que a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b) están en AP
Solución:
Como sabemos que, si a 2 , b 2 , c 2 están en AP entonces, b 2 – a 2 = c 2 – b 2
Del mismo modo, b/(c+a) – a/(b+c) = c/(a+b) – b/(c+a)
ahora, tomando LCM de ambos lados, obtenemos;
b(b+c) – a(c+a)/(b+c)(c+a) = c(c+a) – b(a+b)/(a+b)(c+a)
b 2 + bc – ac – a 2 /(a+c)(b+c) = c 2 + ac – ab – b 2 /(a+b)(c+a)
(ba)(a+b+c)/(a+c)(b+c) = (ca)(a+b+c)/(a+b)(c+a)
(ba) = (ca)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
Pregunta 3. Si a, b, c están en AP, demuestre que:
(i) a 2 (b+c), b 2 (c+a), c 2 (a+b) también están en AP
(ii) b+ca, c+ab, a+bc están en AP
(iii) bc-a 2 , ca-b 2 , ab-c 2 están en AP
Solución:
(i) a 2 (b+c), b 2 (c+a), c 2 (a+b) también están en AP
Como sabemos que, b 2 (c+a) – a 2 (b+c) = c 2 (a+b) – b 2 (c+a)
segundo 2 c + segundo 2 un – un 2 segundo – un 2 c = c 2 un + c 2 segundo – segundo 2 c – segundo 2 un
c(b 2 – a 2 ) + ab(b – a) = a(c 2 – b 2 ) + bc(c – b)
(b – a)(ab + bc+ ca) = (c – b)(ab + bc+ ca)
Al cancelar (ab + bc + ca) de ambos lados, obtenemos;
(b – a) = (c – b)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
(ii) b+ca, c+ab, a+bc están en AP
Como sabemos que,
(c + a – b) – (b + c – a) = (a + b – c) – (c + a – b)
2a – 2b = 2b – 2c
tomando 2 comunes de ambos lados;
b-a = c-a
Como a, b, c están en AP
Por lo tanto, los términos dados están en AP
(iii) bc-a 2 , ca-b 2 , ab-c 2 están en AP
Como sabemos que,
(ca – b 2 ) – (bc – a 2 ) = (ab – c 2 ) – (ca – b 2 )
(ca – b 2 – bc + a 2 ) = (ab – c 2 – ca + b 2 )
(a – b)(a + b + c) = (b – c)(a + b + c)
Al cancelar (a+b+c) de ambos lados;
(a – b) = (b – c)
(b – c) = (a – b)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
Pregunta 4. Si (b+c)/a, (c+a)/b, (a+b)/c están en AP Demuestra que:
(i) 1/a, 1/b, 1/c están en AP
(ii) bc, ca, ab están en AP
Solución:
(i) 1/a, 1/b, 1/c están en AP
Como sabemos que,
1/b – 1/a = 1/c – 1/b
consideremos LHS
1/b – 1/a = a – b/ab
multiplicando por ‘c’ tanto en el numerador como en el denominador
obtenemos; c(a-b)/abc
ahora, consideremos RHS
1/c – 1/b = b – c/cb
multiplicando por ‘a’ tanto en el numerador como en el denominador
obtenemos eso, a(b – c)/abc
Ya que, (b+c)/a, (c+a)/b, (a+b)/c están en AP
c + a/b – b + c/a = a + b/c – c + a/b
ac + a 2 – b 2 – bc/ab = ab + b 2 – c 2 – ac/bc
(ab)(a+b+c)/ab = (bc)(a +b +c)/bc
multiplicando con ‘c’ y ‘a’ en el numerador y denominador en LHS y RHS respectivamente;
obtenemos,
c(ab) = a(bc)
LHS = RHS
por lo tanto, los términos dados están en AP
(ii) bc, ca, ab están en AP
Como sabemos que si los términos dados están en AP entonces,
ab-ca = ca-bc
a(bc) = c(ab)
Por lo tanto, los términos dados están en AP
Pregunta 5. Si a, b, c están en AP Demuestra que:
(i) (ac) 2 = 4(ab)(bc)
(ii) a 2 + c 2 + 4ac = 2(ab+bc+ca)
(iii) a 3 + c 3 + 6abc = 8b 3
Solución:
(i) (ac) 2 = 4(ab)(bc)
Expandiendo la ecuación a ambos lados;
a 2 + c 2 – 2ac = 4(ab-ac-b 2 +bc)
a 2 + c 2 – 2ac = 4ab – 4ac – 4b 2 + 4bc
a 2 + c 2 + 4b 2 + 2ac + 4bc – 4ab = 0
(a + c – 2b) 2 = 0 [Usando la identidad: (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc)]
(a+c -2b) = 0
a+c -bb = 0
cb = ba 3
ba = cb
Como a,b,c están en AP
después de resolver el término dado obtenemos;
a+c = 2b
Por lo tanto, (ac) 2 = 4(ab)(bc).
(ii) a 2 + c 2 + 4ac = 2(ab+bc+ca)
Expandiendo la ecuación tanto el lado;
a 2 + c 2 + 4ac = 2ab+2bc+2ca
a 2 + c 2 + 2ac -2ab-2bc = 0
(a+cb) 2 -b 2 = 0 [Usando Identidad:
a + c -b = b
a+c = 2b
b = a+c/2
Por lo tanto, a 2 + c 2 + 4ac = 2(ab+bc+ca)
(iii) a 3 + c 3 + 6abc = 8b 3
a 3 + c 3 + 6abc – (2b) 3 = 0
a 3 + (-2b) 3 + c 3 + 3 × a × (-2b) × c = 0 [Usando la identidad: x 3 +y 3 +z 3 +3xyz = 0, si x+y+z = 0]
(a-2b+c) = 0
a+c = 2b
ab = ac
Como a,b,c están en AP
Por lo tanto probado.
Pregunta 6. Si a(1/b+1/c), b(1/c+1/a), c(1/a+1/b) están en AP Demuestra que a,b,c están en AP
Solución:
(1/b+1/c), b(1/c+1/a), c(1/a+1/b) están en AP
Agregando 1 en los términos dados (no afecta el AP) fuera del paréntesis;
(1/b+1/c) +1, b(1/c+1/a)+1, c(1/a+1/b)+1 están en AP
Ahora, tomando LCM;
obtenemos,
(ac+ab+bc)/bc, (ab+bc+ac)/ac, (bc+ac+ab)/ab están en AP
1/bc, 1/ac, 1/ab están en AP
Multiplicando con ‘abc’ en el numerador,
abc/bc, abc/ac, abc/ab están en AP
Después de resolver obtenemos,
a, b, c están en AP
Por lo tanto probado.
Pregunta 7. Muestre que x 2 +xy+y 2 , z 2 +zx+x 2 e y 2 +yz+z 2 están en términos consecutivos de un AP si x,y y z están en AP
Solución:
Dado que, x , y y z están en AP
Sea d la diferencia común entonces,
y = x+d, z = x+2d
Ahora, (z 2 +zx+x 2 )-(x 2 +xy+y 2 )=(y 2 +yz+z 2 )-(z 2 +zx+x 2 )
tomando LHS
=( z2 + zx+x2 )-(x2 + xy + y2 )
=z 2 +zx-xy-y 2
poniendo el valor de y y z,
=(x+2d) 2 +(x+2d)(x)-(x)(x+d)-(x+d) 2
= x 2 +4d 2 +4xd+x 2 +2dx-x 2 -xd-x 2 -d 2 -2xd
=3xd+3d 2
Ahora, tomando RHS
=(y 2 +yz+z 2 )-(z 2 +zx+x 2 )
=y 2 +yz-zx-x 2
poniendo el valor de y y z,
=(x+d) 2 +(x+d)(x+2d)-(x+2d)(x)-x 2
=x 2 +d 2 +2xd+x 2 +2dx+dx+2d 2 -x 2 -2dx-x 2
=3xd+3d 2
=LHS
RHS=LHS
Por lo tanto, x 2 +xy+y 2 , z 2 +zx+x 2 y y 2 +yz+z 2 están en términos consecutivos de un AP
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Artículo escrito por nishamehra2052 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA