Pregunta 1: Encuentra AM entre:
(i) 7 y 13 (ii) 12 y -8 (iii) (x – y) y (x + y)
Solución:
(i) 7 y 13
Sea A la media aritmética de 7 y 13.
Entonces,
7, A y 13 están en APAhora,
A – 7 = 13 – A2A = 13 + 7
A = 20/2 = 10
∴ AM = 10
(ii) 12 y -8
Sea A la media aritmética de 12 y -8.
Entonces, 12, A y -8 están en AP
Ahora,
A – 12 = – 8 – A
2A = 12 + 8
un = 2
∴ AM = 2
(iii) (x – y) y (x + y)
Sea A la media aritmética de (x – y) y (x + y).
Entonces, (x – y), A y (x + y) están en AP
Ahora,
UN – (x – y) = (x + y) – UN
2A = x + y + x – y
una = x
∴ AM = x
Pregunta 2: Inserte 4 AM entre 4 y 19
Solución:
Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 las 4 AM entre las 4 y las 19.
Entonces, 4, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , 19 están en AP de 6 términos.
Sabemos,
A n = a + (n – 1).d
un = 4
Después,
a 6 = 19 = 4 + (6 – 1).d
∴ re = 3
Ahora,
UN 1 = un + re = 4 + 3 = 7
UN 2 = UN 1 + re = 7 + 3 = 10
UN 3 = UN 2 + d = 10 + 3 = 13
UN 4 = UN 3 + d = 13 + 3 = 16
∴ Las 4 AM entre 4 y 16 son 7, 10, 13 y 16.
Pregunta 3: Inserte 7 AM entre 2 y 17
Solución:
Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 las 7 AM entre las 2 y las 17.
Entonces, 2, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 , 17 están en AP de 9 términos.
Sabemos,
A n = a + (n – 1).d
un = 2
Después,
9 = 17 = 2 + (9 – 1) .d
17 = 2 + 9d – re
17 = 2 + 8d
8d = 17 – 2
8d = 15
∴ re = 15/8
Ahora,
A 1 = a + d = 2 + 15/8 = 31/8
UN 2 = UN 1 + d = 31/8 + 15/8 = 46/8
UN 3 = UN 2 + d = 46/8 + 15/8 = 61/8
UN 4 = UN 3 + d = 61/8 + 15/8 = 76/8
UN 5 = UN 4 + d = 76/8 + 15/8 = 91/8
UN 6 = UN 5 + d = 91/8 + 15/8 = 106/8
UN 7 = UN 6 + d = 106/8 + 15/8 = 121/8
∴ Las 7 AM entre 2 y 7 son 31/8, 46/8, 61/8, 76/8, 91/8, 106/8 y 121/8.
Pregunta 4: Inserte seis AM entre 15 y – 13
Solución:
Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 las 6 AM entre 15 y –13.
Entonces, 15, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , –13 están en serie AP.
Sabemos,
An = a + (n – 1)d
un = 15
Después,
a 8 = -13 = 15 + (8 – 1)d
-13 = 15 + 7d
7d = -13 – 15
7d = -28
∴ re = -4
Asi que,
A 1 = a + d = 15 – 4 = 11
UN 2 = UN 1 + d = 11 – 4 = 7
UN 3 = UN 2 + d = 7 – 4 = 3
UN 4 = UN 3 + d = 3 – 4 = -1
UN 5 = UN 4 + d = -1 – 4 = -5
UN 6 = UN 5 + d = -5 – 4 = -9
∴ Las 6 AM entre 15 y -13 son 11, 7, 3, -1, -5 y -9.
Pregunta 5: Hay n AM entre 3 y 17. La razón de la última media a la primera media es 3: 1. Encuentra el valor de n.
Solución:
Sea la serie AP 3, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , 17.
Dado,
A n /A 1 = 3/1
Sabemos que los términos totales en AP son n + 2.
Entonces, 17 es el (n + 2) enésimo término.
Sabemos,
Un norte = un + ( n – 1)d
un = 3
Después,
Un n = 17, un = 3
UN norte = 17 = 3 + (n + 2 – 1) d
17 = 3 + (n + 1)d
17 – 3 = (n + 1)d
14 = (n + 1)d
∴ re = 14/(n + 1).
Ahora,
UN n = 3 + 14/(n + 1) = (17n + 3)/(n + 1)
A 1 = 3 + d = (3n + 17)/(n + 1)
Ya que,
A n /A 1 = 3/1
(17n + 3)/(3n + 17) = 3/1
17n + 3 = 3(3n + 17)
17n + 3 = 9n + 51
17n – 9n = 51 – 3
8n = 48
n = 48/8
= 6
∴ Hay 6 términos en la serie AP.
Pregunta 6: Inserte AM entre 7 y 71 de tal manera que la 5 AM sea 27. Halle el número de AM
Solución:
Sea la serie 7, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , 71
Sabemos que los términos totales en la serie AP son n + 2.
Entonces, 71 es el (n + 2) enésimo término
Sabemos,
Un norte = un + ( n – 1)d
un = 7
Después,
5 a. m . = A6 = a + (6 – 1)d
a + 5d = 27
∴ re = 4
Asi que,
71 = (n + 2) ésimo término
71 = a + (n + 2 – 1).d
71 = 7 + n.(4)
n = 15
∴ Hay 15 términos en la serie AP.
Pregunta 7: Si se intercalan n AM entre dos números, demuestre que la suma de las medias equidistantes del principio y del final es constante.
Solución:
Sean a y b el primer y último término.
La serie sea a, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , b.
Sabemos, Media de a y b = (a + b)/2
Media de A 1 y A n = (A 1 + A n )/2
∴ UN 1 = un + re
∴ UN norte = un – re
Entonces, AM = (a + d + b – d) / 2 = (a + b) / 2
AM entre A 2 y A n-1 = (a + 2d + b – 2d) / 2 = (a + b) / 2
De manera similar, (a + b) / 2 es constante para todos esos números.
∴ Por lo tanto, AM = (a + b) / 2
Pregunta 8: Si x, y, z están en AP y A1 es el AM de xey, y A2 es el AM de yyz, entonces demuestre que el AM de A1 y A2 es y.
Solución:
Dado que,
A 1 = AM de x e y
A 2 = AM de y y z
Asi que,
A1 = (x + y)/ 2
A 2 = (y + z)/2
AM de A 1 y A 2 = (A 1 + A 2 )/2
= [(x + y)/2 + (y + z)/2]/2
= (x + y + y + z)/4
= (x + 2y + z)/4 ……(i)
Como x, y, z están en AP,
y = (x + z)/2 ……(ii)
De (i) y (ii),
AM = [{x + z/2} + {(x + 2y + z)/4}]/2
= (y + y)/2
= 2y/2 = y
AM = y [Por lo tanto probado]
Pregunta 9: Inserta cinco números entre 8 y 26 de manera que la secuencia resultante sea un AP
Solución:
Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 los 5 números entre 8 y 26
Entonces, 8, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , 26 están en la serie AP
Sabemos,
Un norte = un + ( n – 1)d
un = 8
Después,
7 = 26 = 8 + (7 – 1) d
26 = 8 + 6d
6d = 26 – 8
6d = 18
∴ re = 18/6 = 3
Asi que,
UN 1 = un + re = 8 + 3 = 11
UN 2 = UN 1 + re = 11 + 3 = 14
UN 3 = UN 2 + d = 14 + 3 = 17
UN 4 = UN 3 + d = 17 + 3 = 20
UN 5 = UN 4 + d = 20 + 3 = 23
∴ Entonces, la serie AP es 8, 11, 14, 17, 20, 23 y 26.