Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 19 Progresiones aritméticas – Ejercicio 19.6

Pregunta 1: Encuentra AM entre:

(i) 7 y 13 (ii) 12 y -8 (iii) (x – y) y (x + y)

Solución: 

(i) 7 y 13

Sea A la media aritmética de 7 y 13.

Entonces,
7, A y 13 están en AP

Ahora,
A – 7 = 13 – A

2A = 13 + 7

A = 20/2 = 10

∴ AM = 10

(ii) 12 y -8

Sea A la media aritmética de 12 y -8.

Entonces, 12, A y -8 están en AP

Ahora,

A – 12 = – 8 – A

2A = 12 + 8

un = 2

∴ AM = 2

(iii) (x – y) y (x + y)

Sea A la media aritmética de (x – y) y (x + y).

Entonces, (x – y), A y (x + y) están en AP

Ahora,

UN – (x – y) = (x + y) – UN

2A = x + y + x – y

una = x

∴ AM = x

Pregunta 2: Inserte 4 AM entre 4 y 19

Solución:

Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 las 4 AM entre las 4 y las 19.

Entonces, 4, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , 19 están en AP de 6 términos.

Sabemos,

A n = a + (n – 1).d

un = 4

Después,

a 6 = 19 = 4 + (6 – 1).d

∴ re = 3

Ahora,

UN 1 = un + re = 4 + 3 = 7

UN 2 = UN 1 + re = 7 + 3 = 10

UN 3 = UN 2 + d = 10 + 3 = 13

UN 4 = UN 3 + d = 13 + 3 = 16

∴ Las 4 AM entre 4 y 16 son 7, 10, 13 y 16.

Pregunta 3: Inserte 7 AM entre 2 y 17

Solución:

Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 las 7 AM entre las 2 y las 17.

Entonces, 2, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 , 17 están en AP de 9 términos.

Sabemos,

A n = a + (n – 1).d

un = 2

Después,

9 = 17 = 2 + (9 – 1) .d

17 = 2 + 9d – re

17 = 2 + 8d

8d = 17 – 2

8d = 15

∴ re = 15/8

Ahora,

A 1 = a + d = 2 + 15/8 = 31/8

UN 2 = UN 1 + d = 31/8 + 15/8 = 46/8

UN 3 = UN 2 + d = 46/8 + 15/8 = 61/8

UN 4 = UN 3 + d = 61/8 + 15/8 = 76/8

UN 5 = UN 4 + d = 76/8 + 15/8 = 91/8

UN 6 = UN 5 + d = 91/8 + 15/8 = 106/8

UN 7 = UN 6 + d = 106/8 + 15/8 = 121/8

∴ Las 7 AM entre 2 y 7 son 31/8, 46/8, 61/8, 76/8, 91/8, 106/8 y 121/8.

Pregunta 4: Inserte seis AM entre 15 y – 13

Solución:

Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 las 6 AM entre 15 y –13.

Entonces, 15, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , –13 están en serie AP.

Sabemos,

An = a + (n – 1)d

un = 15

Después,

a 8 = -13 = 15 + (8 – 1)d

-13 = 15 + 7d

7d = -13 – 15

7d = -28

∴ re = -4

Asi que,

A 1 = a + d = 15 – 4 = 11

UN 2 = UN 1 + d = 11 – 4 = 7

UN 3 = UN 2 + d = 7 – 4 = 3

UN 4 = UN 3 + d = 3 – 4 = -1

UN 5 = UN 4 + d = -1 – 4 = -5

UN 6 = UN 5 + d = -5 – 4 = -9

∴ Las 6 AM entre 15 y -13 son 11, 7, 3, -1, -5 y -9.

Pregunta 5: Hay n AM entre 3 y 17. La razón de la última media a la primera media es 3: 1. Encuentra el valor de n.

Solución:

Sea la serie AP 3, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , 17.

Dado,

A n /A 1 = 3/1

Sabemos que los términos totales en AP son n + 2.

Entonces, 17 es el (n + 2) enésimo término.

Sabemos,

Un norte = un + ( n – 1)d

un = 3

Después,

Un n = 17, un = 3

UN norte = 17 = 3 + (n + 2 – 1) d

17 = 3 + (n + 1)d

17 – 3 = (n + 1)d

14 = (n + 1)d

∴ re = 14/(n + 1).

Ahora,

UN n = 3 + 14/(n + 1) = (17n + 3)/(n + 1)

A 1 = 3 + d = (3n + 17)/(n + 1)

Ya que,

A n /A 1 = 3/1

(17n + 3)/(3n + 17) = 3/1

17n + 3 = 3(3n + 17)

17n + 3 = 9n + 51

17n – 9n = 51 – 3

8n = 48

n = 48/8

= 6

∴ Hay 6 términos en la serie AP.

Pregunta 6: Inserte AM entre 7 y 71 de tal manera que la 5 AM sea 27. Halle el número de AM

Solución:

Sea la serie 7, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , 71

Sabemos que los términos totales en la serie AP son n + 2.

Entonces, 71 es el (n + 2) enésimo término

Sabemos,

Un norte = un + ( n – 1)d

un = 7

Después,

5 a. m . = A6 = a + (6 – 1)d

a + 5d = 27

∴ re = 4

Asi que,

71 = (n + 2) ésimo término

71 = a + (n + 2 – 1).d

71 = 7 + n.(4)

n = 15

∴ Hay 15 términos en la serie AP.

Pregunta 7: Si se intercalan n AM entre dos números, demuestre que la suma de las medias equidistantes del principio y del final es constante.

Solución:

Sean a y b el primer y último término.

La serie sea a, A 1 , A 2 , A 3 , …….., A n , b.

Sabemos, Media de a y b = (a + b)/2

Media de A 1 y A n = (A 1 + A n )/2

∴ UN 1 = un + re

∴ UN norte = un – re

Entonces, AM = (a + d + b – d) / 2 = (a + b) / 2

AM entre A 2 y A n-1 = (a + 2d + b – 2d) / 2 = (a + b) / 2

De manera similar, (a + b) / 2 es constante para todos esos números.

∴ Por lo tanto, AM = (a + b) / 2

Pregunta 8: Si x, y, z están en AP y A1 es el AM de xey, y A2 es el AM de yyz, entonces demuestre que el AM de A1 y A2 es y.

Solución:

Dado que,

A 1 = AM de x e y

A 2 = AM de y y z

Asi que, 

A1 = (x + y)/ 2

A 2 = (y + z)/2

AM de A 1 y A 2 = (A 1 + A 2 )/2

= [(x + y)/2 + (y + z)/2]/2

= (x + y + y + z)/4

= (x + 2y + z)/4 ……(i)

Como x, y, z están en AP,

y = (x + z)/2 ……(ii)

De (i) y (ii),

AM = [{x + z/2} + {(x + 2y + z)/4}]/2

= (y + y)/2

= 2y/2 = y

AM = y [Por lo tanto probado]

Pregunta 9: Inserta cinco números entre 8 y 26 de manera que la secuencia resultante sea un AP

Solución:

Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 los 5 números entre 8 y 26

Entonces, 8, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , 26 están en la serie AP

Sabemos,

Un norte = un + ( n – 1)d

un = 8

Después,

7 = 26 = 8 + (7 – 1) d

26 = 8 + 6d

6d = 26 – 8

6d = 18

∴ re = 18/6 = 3

Asi que,

UN 1 = un + re = 8 + 3 = 11

UN 2 = UN 1 + re = 11 + 3 = 14

UN 3 = UN 2 + d = 14 + 3 = 17

UN 4 = UN 3 + d = 17 + 3 = 20

UN 5 = UN 4 + d = 20 + 3 = 23

∴ Entonces, la serie AP es 8, 11, 14, 17, 20, 23 y 26.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por debrc y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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