Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Relaciones – Ejercicio 2.1

Pregunta 1(i). Si (a/3 + 1, b – 2/3) = (5/3, 1/3), encuentre los valores de a y b.

Solución:

Según la definición de igualdad de pares ordenados

 (a/3 + 1, b – 2/3) = (5/3, 1/3)

⇒ a/3 + 1 = 5/3 y b – 2/3 = 1/3

⇒ a/3 = (5 – 3)/3 y b = (1/3 + 2/3)

⇒ a/3 = 2/3 y b = 3/3

⇒ a = 2 y b = 1

Pregunta 1(ii). Si (x + 1, 1) = (3, y – 2), encuentra los valores de x e y.

Solución:

Según la definición de igualdad de pares ordenados

(x + 1, 1) = (3, y – 2)

⇒ x + 1 = 3 y 1 = y – 2

⇒ x = 3 – 1 y 1 + 2 = y

⇒ x = 2 y 3 = y

⇒ x = 2 y y = 3

Pregunta 2. Si los pares ordenados (x, -1) y (5, y) pertenecen al conjunto {(a, b) : b = 2a – 3}, encuentra los valores de x e y.

Solución:

Dado:

(x, -1) ∈ {(a, b) : b = 2a – 3}

y, (5, y) ∈ {(a, b) : b = 2a – 3}

⇒ -1 = 2 × x – 3 y y = 2 × 5 – 3 

⇒ -1 = 2x – 3 y y = 10 – 3

⇒ 3 – 1 = 2x e y = 7

⇒ 2 = 2x y y = 7 

⇒ x = 1 y y = 7

Pregunta 3. Si a ∈ {- 1, 2, 3, 4, 5} y b ∈ {0, 3, 6}, escribe el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tal que a + b = 5.

Solución:

Dado: a ∈ {- 1, 2, 3, 4, 5} y b ∈ {0, 3, 6},

Ahora, tenemos que encontrar el par ordenado (a, b) tal que a + b = 5

Entonces, el par ordenado (a, b) tal que a + b = 5 son los siguientes

(a, b) ∈ {(- 1, 6), (2, 3), (5, 0)}

Pregunta 4. Si a ∈ {2, 4, 6, 9} y b ∈ {4, 6, 18, 27}, entonces forma el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tal que a divide a b y a<b .

Solución:

Dado: a ∈ {2, 4, 6, 9} y b ∈ {4, 6, 18, 27}

Aquí,

2 divide a 4, 6, 18 y también es menor que todos ellos

4 divide a 4 y también es menor que ninguno de ellos

6 divide a 6, 18 y es menor que 18 solamente

9 divide a 18, 27 y es menor que todos

∴ Los pares ordenados (a, b) son (2, 4), (2, 6), (2, 18), (6, 18), (9, 18) y (9, 27)

Pregunta 5. Si A = {1, 2} y B = {1, 3}, encuentra A x B y B x A.

Solución:

Dado: A = {1, 2} y B = {1, 3}

Ahora tenemos que encontrar A x B, y B x A

A × B = {1, 2} × {1, 3}

= {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}

B × A = {1, 3} × {1, 2}

= {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}

Pregunta 6. Sean A = {1, 2, 3} y B = {3, 4}. Encuentra A x B y muéstralo gráficamente

Solución:

Dado: A = {1, 2, 3} y B = {3, 4}

Ahora tenemos que encontrar A x B

A x B = {1, 2, 3} × {3, 4}

= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Para dibujar A x B gráficamente siga los siguientes pasos:

Paso 1: Dibuja el eje horizontal y vertical.

Paso 2: El eje horizontal representa el conjunto A y el eje vertical representa el conjunto B.

Paso 3: Ahora, dibuja líneas punteadas perpendiculares a los ejes horizontal y vertical a través de los elementos del conjunto A y B

Paso 4: El punto de intersección de estas perpendiculares representa A × B

Pregunta 7. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4}, ¿cuáles son A x B, B x A, A x A, B x B y (A x B) ∩ (B x A)?

Solución:

Dado:

A = {1, 2, 3} y B = {2, 4}

Ahora tenemos que encontrar A × B, B × A, A × A y (A × B) ∩ (B × A)

UN × B = {1, 2, 3} × {2, 4}

= {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}

B × A = {2, 4} × {1, 2, 3}

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

A × A = {1, 2, 3} × {1, 2, 3}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

segundo × segundo = {2, 4} × {2, 4}

= {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}

La intersección de dos conjuntos representa elementos comunes de ambos conjuntos.

Asi que,

(A × B) ∩ (B × A) = {(2, 2)} 

Pregunta 8. Si A y B son dos conjuntos que tienen 3 elementos en común. Si n(A) = 5, n(B) = 4, encuentre n(A × B) y n[(A × B) ∩ (B × A)]

Solución:

Dado: n(A) = 5 y n(B) = 4

Sabemos que si A y B son dos conjuntos finitos, entonces n(A × B) = n(A) × n(B)

Por lo tanto,

n(A × B) = 5 × 4 = 20

Ahora,

n[(A × B) ∩ (B × A)] = 3 × 3 = 9 -(∵ A y B tienen 3 elementos comunes)

Pregunta 9. Sean A y B dos conjuntos. Demuestre que los conjuntos A × B y B × A tienen elementos en común si los conjuntos A y B tienen un elemento en común.

Solución:

Consideremos (a, b) como elementos arbitrarios de (A × B) ∩ (B × A). Después,

(a, b) ∈ (A × B) ∩ (B × A)

= (a, b) ∈ A × B y (a, b) ∈ B × A

= (a ∈ A y b ∈ B) y (a ∈ B y b ∈ A)

= (a ∈ A y a ∈ B) y (b ∈ A y b ∈ B)

= una ∈ UNA ∩ segundo y segundo ∈ UNA ∩ segundo 

Por lo tanto, los conjuntos A × B y B × A tienen un elemento en 

comunes tienen un elemento en común.

Pregunta 10. Sean A y B dos conjuntos tales que n(A) = 3 y n(B) = 2. Si (x, 1), (y, 2), (z, 1) están en A × B, encuentre A y B donde x, y, z son elementos distintos

Solución:

Como (x, 1), (y, 2), (z, 1) son elementos de A × B. Por lo tanto, x, y, z ∈ A y 1, 2 ∈ B

Dado: n(A) = 3 y n(B) = 2

Por tanto, x, y, z ∈ A y n(A) = 3

⇒ A = (x, y, z)

1, 2 ∈ B y n(B) = 2

⇒ B = (1, 2)

Pregunta 11. Sean A = {1, 2, 3, 4} y R = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A, a divide a b}. Escriba R explícitamente.

Solución: 

Dado: A = (1, 2, 3, 4) y, R = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A, a divide a b}

Ahora, a/b significa ‘a divide b’. 

Entonces, para los elementos de los conjuntos dados, encontramos que 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 2/2, 3/3 y 4/4

Por lo tanto,

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4) }

Pregunta 12. Si A = {-1, 1}, encuentra A × A × A

Solución:

Dado: A = {-1, 1}

Entonces, A × A = {-1, 1} × {-1, 1}

= {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)}

Por lo tanto, A × A × A = {-1, 1} × {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1)(1, 1)}

= {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1 ), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}

Pregunta 13. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si las declaraciones son falsas, vuelva a escribir la declaración dada correctamente:

(i) Si P = {m, n} y Q = {n, m}, entonces P × Q = {(m, n), (n, m)}

(ii) Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces A × B es un conjunto no vacío de pares ordenados (x, y) tales que x ∈ B y y ∈ A.

(iii) Si A = {1, 2} y B = {3, 4}, entonces A ∩ (B ∩ ∅) = ∅ 

Solución:

(yo) Falso,

Si P = {m, n} y Q = {n, m},

Después,

P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}

(ii) Falso,

Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces AB es un conjunto no vacío de pares ordenados (x, y) tal que x ∈ A y y ∈ B

(iii) Verdadero

Pregunta 14. Si A = {1, 2} forman el conjunto A × A × A

Solución:

Dado: A = {1, 2}

Entonces, A × A = {1, 2} × {1, 2}

= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Por lo tanto,

A × A × A = {1, 2} × {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

= {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)}

Pregunta 15 (i). Si A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}, representa gráficamente A × B

Solución:

Dado: A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}

Entonces, A × B = {1, 2, 4} × {1, 2, 3}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

Por lo tanto, representamos A en la línea horizontal y B en la línea vertical.

Entonces, la representación gráfica de A × B es como se muestra a continuación:

Pregunta 15 (ii). Si A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}, representa B × A gráficamente.

Solución:

Dado: A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}

Entonces, B × A = {1, 2, 3} × {1, 2, 4}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4)}

Por lo tanto, representamos B en la línea horizontal y A en la línea vertical.

Entonces, la representación gráfica de B × A:

Pregunta 15 (iii). Si A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}, representa gráficamente A × A.

Solución:

Dado: A = {1, 2, 4}, B = {1, 2, 3}

Entonces, A × A = {1, 2, 4} × {1, 2, 4}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}

Representación gráfica de A × A:

Pregunta 15 (iv). Si A = {1, 2, 4} y B = {1, 2, 3}, representa B × B gráficamente.

Solución:

Dado: A = {1, 2, 4}, B = {1, 2, 3}

Entonces, B × B = {1, 2, 3} × {1, 2, 3}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

Representación gráfica de B × B: