Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 2 Relaciones – Ejercicio 2.3 | Serie 1

Pregunta 1. Si A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, ¿cuáles de las siguientes son relaciones de A a B? Ofrece razones para apoyar tu respuesta.

(i) {(1, 6), (3, 4), (5, 2)}

(ii) {(1, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 6)}

(iii) {(4, 2), (4, 3), (5, 1)}

(iv) A × B

Solución:

Dado:

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}

A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

(i) {(1, 6), (3, 4), (5, 2)}

No, no es una relación de A a B. El conjunto dado no es un subconjunto de A × B 

porque (5, 2) no es parte de la relación de A a B.

(ii) {(1, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 6)}

Sí, es una relación de A a B. Por lo tanto, el conjunto dado es un subconjunto de A × B.

(iii) {(4, 2), (4, 3), (5, 1)}

No, no es una relación de A a B. El conjunto dado no es un subconjunto de A × B 

porque (4, 2), (4, 3), (5, 1) no son parte de la relación de A a B.

(iv) A × B

A × B es una relación de A a B:

{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), ( 3, 6)}

Pregunta 2. Una relación R se define a partir de un conjunto A = {2, 3, 4, 5} a un conjunto B = {3, 6, 7, 10} como sigue: (x, y) R x es primo relativo a y. Exprese R como un conjunto de pares ordenados y determine su dominio y rango.

Solución:

Dado: (x, y) ∈ R = x es primo relativo a y -(Los números primos relativos también se conocen como números coprimos)

Aquí,

2 es coprimo de 3 y 7.

3 es coprimo con 7 y 10.

4 es coprimo de 3 y 7.

5 es coprimo de 3, 6 y 7.

∴ R = {(2, 3), (2, 7), (3, 7), (3, 10), (4, 3), (4, 7), (5, 3), (5, 6 ), (5, 7)}

Entonces, Dominio(R) = {2, 3, 4, 5} y Rango(R) = {3, 6, 7, 10}

Pregunta 3. Sea A el conjunto de los cinco primeros naturales y sea R una relación sobre A definida como sigue: (x, y) R x ≤ y. Exprese R y R ^-1 como conjuntos de pares ordenados. Determina también

(i) El dominio de R ^-1

(ii) El Rango de R.

Solución:

Dado: A= {1, 2, 3, 4, 5} -(A es un conjunto de los primeros cinco números naturales)

(x, y) R x ≤ y

1 es menor que 2, 3, 4 y 5.

2 es menor que 3, 4 y 5.

3 es menor que 4 y 5.

4 es menor que 5.

5 no es menor que ningún número A

Entonces, R =

∴ R- ¹ =

(i) Dominio (R ^-1 ) = {2, 3, 4, 5} 

(ii) Rango (R) = {2, 3, 4, 5}

Nota: Puede ver que el Dominio de R ^-1 es el mismo que el Rango de R. De manera similar, el Dominio de R es el mismo que el Rango de R ^-1

Pregunta 4. Encuentra la relación inversa R ^-1 en cada uno de los siguientes casos:

(i) R= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2), (5, 6)}

(ii) R= {(x, y) : x, y ∈ N; x + 2y = 8}

(iii) R es una relación de {11, 12, 13} a (8, 10, 12} definida por y = x – 3

Solución:

(i) Dado: R= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2), (5, 6)}

Entonces la relación inversa R ^-1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (6, 5)}

(ii) Dado: R= {(x, y) : x, y ∈ N; x + 2y = 8}

Aquí, x + 2y = 8

x = 8 – 2y

Como y ∈ N, pon los valores de y = 1, 2, 3,…… hasta x ∈ N

Al poner y = 1, x = 8 – 2(1) = 8 – 2 = 6

Al poner y = 2, x = 8 – 2(2) = 8 – 4 = 4

Al poner y = 3, x = 8 – 2(3) = 8 – 6 = 2

Al poner y = 4, x = 8 – 2(4) = 8 – 8 = 0

Ahora, y no puede tener el valor 4 porque x = 0 para y = 4, que no es un número natural.

Por lo tanto, R = {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}

R – ¹ = {(3, 2), (2, 4), (1, 6)}

(iii) Dado: R es una relación de {11, 12, 13} a (8, 10, 12} definida por y = x – 3

Entonces, x = {11, 12, 13} y y = (8, 10, 12}

y = x – 3

Al poner x = 11, y = 11 – 3 = 8 ∈ (8, 10, 12}

Al poner x = 12, y = 12 – 3 = 9 ∉ (8, 10, 12}

Al poner x = 13, y = 13 – 3 = 10 ∈ (8, 10, 12}

Por lo tanto, R = {(11, 8), (13, 10)}

R ^-1 = {(8, 11), (10, 13)}

Pregunta 5. Escribe las siguientes relaciones como conjuntos de pares ordenados:

(i) Una relación R del conjunto {2, 3, 4, 5, 6} al conjunto {1, 2, 3} definida por x = 2y.

Solución:

Sean A = {2, 3, 4, 5, 6} y B = {1, 2, 3}

Dado: x = 2y donde x = {2, 3, 4, 5, 6} y y = {1, 2, 3}

Al poner y = 1, x = 2(1) = 2 A

Al poner y = 2, x = 2(2) = 4 A

Al poner y = 3, x = 2(3) = 6 A

∴ R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}

(ii) Una relación R en el conjunto {1,2,3,4,5,6,7} definido por (x, y)∈ R <=>x es primo relativo a y.

Solución:

Dado: (x, y) R x es primo relativo a y                   

Aquí, 2 es coprimo de 3, 5 y 7.

3 es coprimo con 2, 4, 5 y 7.

4 es coprimo de 3, 5 y 7.

5 es coprimo con 2, 3, 4, 6 y 7.

6 es coprimo de 5 y 7.

7 es coprimo de 2, 3, 4, 5 y 6.

∴ R = {(2,3), (2,5), (2,7), (3,2), (3,4), (3,5), (3,7), (4,3 ), (4.5), (4,7), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (5,7), (6,5), (6 ,7), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6)}

(iii) Una relación R sobre el conjunto {0,1,2,…,10} definido por 2x + 3y = 12.

Solución:

Dado: (x, y) R 2x + 3y = 12

Donde x e y {0,1,2,…,10}

2x + 3y = 12

⇒ 2x = 12 – 3y

⇒ x = (12-3 años)/2

Al poner y=0, obtenemos

⇒ x = ( 12 – 3(0) )/2 = 6

Al poner y=2,

⇒ x = ( 12 – 3(2) )/2 = 3

Al poner y=4, obtenemos

⇒ x= ( 12 – 3(4) )/2 = 0

∴ R = {(0, 4), (3, 2), (6, 0)}

(iv) Una relación R forma un conjunto A = {5, 6, 7, 8} al conjunto B = {10, 12, 15, 16, 18} definido por (x, y) R x divide y.

Solución:

Dado: (x, y) R x divide y

Donde x = {5, 6, 7, 8} y y = {10, 12, 15, 16, 18}

Aquí,

5 divide a 10 y 15.

6 divide 12 y 18.

7 no divide nada del valor del conjunto B.

8 divide a 16.

∴ R = {(5, 10), (5, 15), (6, 12), (6, 18), (8, 16)}

Pregunta 6. Sea R una relación en N definida por (x, y) R x + 2y = 8. Exprese R y R ^-1 como conjuntos de pares ordenados.

Solución:

Dado: (x, y) R x + 2y = 8 donde x N y y N

x = 8 – 2y

Como y N, pon los valores de y = 1, 2, 3,…… hasta x N

Al poner y = 1, x = 8 – 2(1) = 8 – 2 = 6

Al poner y = 2, x = 8 – 2(2) = 8 – 4 = 4

Al poner y = 3, x = 8 – 2(3) = 8 – 6 = 2

Al poner y = 4, x = 8 – 2(4) = 8 – 8 = 0

Ahora, y no puede tener el valor 4 porque x = 0 para y = 4, que no es un número natural.

Por lo tanto, R = {(2, 3), (4, 2), (6, 1)}

R – ¹ = {(3, 2), (2, 4), (1, 6)}

Pregunta 7: Sean A = {3, 5} y B = {7, 11}. Sea R = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B, ab es impar}. Demuestre que R es una relación vacía de en B.

Solución:

Dado: A = {3, 5} y B = {7, 11}

R = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B, ab es impar}

Cuando a = 3 y b = 7

a – b = 3 – 7 = -4 que no es impar

Cuando a = 3 y b = 11

⇒ a – b = 3 – 11 = -8 que no es impar

Cuando a = 5 y b = 7

⇒ a – b = 5 – 7 = -2 que no es impar

Cuando a = 5 y b = 11

⇒ a – b = 5 – 11 = -6 que no es impar

∴ R = { } = Φ

⇒ R es una relación vacía de en B

Pregunta 8: Sea A = {1, 2} y B={3, 4}. Encuentre el número total de relaciones de A en B.

Solución:

Dado: A= {1, 2}, B= {3, 4}

n(A) = 2 -(Número de elementos en el conjunto A).

n(B) = 2 -(Número de elementos en el conjunto B).

Sabemos,

n(A × B) = n(A) × n(B) = 2 × 2 = 4

Por lo tanto, el número de relaciones de A a B es 2 ⁴ = 16

Pregunta 9. Determinar el dominio y rango de la relación R definida por

(i) R = {(x, x+5): x  {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Solución:

Dado: R = {(x, x+5): x {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Por lo tanto, R = {(0, 0+5), (1, 1+5), (2, 2+5), (3, 3+5), (4, 4+5), (5, 5+ 5)}

R = {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)}

Asi que,

Dominio (R) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Rango (R) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

(ii) R= {(x, x ³ ): x es un número primo menor que 10}

Solución:

Dado: R = {(x, x ³ ): x es un número primo menor que 10}

Los números primos menores que 10 son 2, 3, 5 y 7

Por lo tanto, R = {(2, 2 ³ ), (3, 3 ³ ), (5, 5 ³ ), (7, 7 ³ )}

R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}

Asi que,

Dominio (R) = {2, 3, 5, 7}

Rango (R) = {8, 27, 125, 343}

Pregunta 10. Determinar el dominio y rango de las siguientes relaciones:

(i) R= {a, b): a  N, a < 5, b = 4}

Solución:

Dado: R= {a, b): a N, a < 5, b = 4}

Los números naturales menores que 5 son 1, 2, 3 y 4

Por lo tanto, a = {1, 2, 3, 4} y b = {4}

R = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)}

Asi que,

Dominio (R) = {1, 2, 3, 4}

Rango (R) = {4}

(ii) S= {a, b): b = |a-1|, a ∈ Z y |a| ≤ 3}

Solución:

Dado: S= {a, b): b = |a-1|, a Z y |a| ≤ 3}

Z denota un número entero que puede ser tanto positivo como negativo

Ahora, |un| ≤ 3 y b = |a-1|

∴ un {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

S = {a, b): b = |a-1|, a Z y |a| ≤ 3}

S = {a, |a-1|): b = |a-1|, a Z y |a| ≤ 3}

S = {(-3, |-3 – 1|), (-2, |-2 – 1|), (-1, |-1 – 1|), (0, |0 – 1|), ( 1, |1 – 1|), (2, |2 – 1|), (3, |3 – 1|)}

S = {(-3, |-4|), (-2, |-3|), (-1, |-2|), (0, |-1|), (1, |0|), (2, |1|), (3, |2|)}

S = {(-3, 4), (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 2)}

Asi que,

Dominio(S) = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Rango (S) = {0, 1, 2, 3, 4}

Pregunta 11. Sea A = {a, b}. Haz una lista de todas las relaciones en A y encuentra su número.

Solución:

Como sabemos que el número total de relaciones que se pueden definir de un conjunto A a un conjunto B es el número de posibles subconjuntos de A × B. Si n(A) = p y n(B) = q, entonces n( A × B) = pq. Entonces, el número total de relaciones es 2 ^pq .

Ahora,

A × A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

El número total de relaciones son todos los subconjuntos posibles de A × A:

{Φ, {(a, a)}, {(a, b)}, {(b, a)}, {(b, b)}, {(a, a), (a, b)}, { (a, a), (b, a)}, {(a, a), (b, b)}, {(a, b), (b, a)}, {(a, b), (b , b)}, {(b, a), (b, b)}, {(a, a), (a, b), (b, a)}, {(a, b), (b, a ), (b, b)}, {(a, a), (b, a), (b, b)}, {(a, a), (a, b), (b, b)}, { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}}

n(A) = 2 ⇒ n(A × A) = 2 × 2 = 4

Por lo tanto, el número total de relaciones = 2 ⁴ = 16