Pregunta 11. Si los GP’s 5, 10, 20,…….. y 1280, 640, 320,……..tienen sus n-ésimos términos iguales, encuentre el valor de n.
Solución:
Para GP 5, 10, 20,…………..
a1 = 5,
r = a2/a1 =10/5 = 2
Para GP 1280, 640, 320,…………..
a1′ = 1280,
r’ = a2’/a1′ =640/1280 = 1/2
Dados los n-ésimos términos son iguales
Por lo tanto, a1*r n-1 = a1’*r’ n-1
5*2 n-1 = 1280*(1/2) n-1
2 n-1 * 2 n-1 = 1280/5
2 2n-2 = 256
2 2n-2 = (2) 8
2n-2 = 8
2n = 10
norte = 5
Pregunta 12. Si los términos 5, 8 y 11 de un GP son p, q y s respectivamente. Demuestre que q 2 = ps.
Solución:
Sea a1 el primer término y la razón común sea r de GP dado
Dado a5 = p, a8 = q, a11 = s
a8/a5 = q/p
(a1*r 7 )/(a1*r 4 ) = q/p
r 3 = q/p –Ecuación I
a11/a8 = s/q
(a1*r 10 )/(a1*r 7 ) = s/q
r 3 = s/q — Ecuación II
De la Ecuación, I y la Ecuación II
q/p = s/q
q 2 = pd
Por lo tanto, demostró que q 2 = ps.
Pregunta 13. El cuarto término de un GP es el cuadrado de su segundo término y el primer término es -3. Encuentre su séptimo término.
Solución:
Sea a1 el primer término y la razón común sea r de GP dado
Dado a4 = (a2) 2 , a1 = -3
a1*r3 = (a1*r) 2
-3*r3 = (-3*r) 2
-3*r3 = 9 *r2
r = -3
El séptimo término de GP dado está dado por
a7 = a1*r6
= -3*(-3) 6
= (-3) 7
= -2187
Pregunta 14. En GP, el tercer término es 24 y el sexto término es 192. Encuentra el décimo término.
Solución:
Sea a1 el primer término y la razón común sea r de GP dado
Dado a3 = 24, a6 = 192
a6/a3 = 8
(a1*r 5 )/(a1*r 2 ) = 8
r 3 = 8
r = 2
tenemos a3=24
a1*r2 = 24
a1*2 2 = 24
a1*4 = 24
a1 = 6
El décimo término de GP dado está dado por
a10 = a1*r 9
= 6*2 9
= 3072.
Pregunta 15. Si a, b, c, d y p son números reales diferentes tales que:
(a 2 +b 2 +c 2 )p 2 – 2(ab+bc+cd)p + (b 2 +c 2 +d 2 ) ≤ 0, luego demuestre que a, b, c y d están en GP.
Solución:
Dado, (a 2 +b 2 +c 2 )p 2 – 2(ab+bc+cd)p + (b 2 +c 2 +d 2 ) ≤ 0
(a 2 pag 2 +b 2 pag 2 +c 2 pag 2 ) – 2(abp+bcp+cdp) + (b 2 +c 2 +d 2 ) ≤ 0
(a 2 p 2 +b 2 -2abp) + (b 2 p 2 +c 2 -2bcp) + (c 2 p 2 +d 2 -2cdp) ≤ 0
(ap-b) 2 + (bp-c) 2 + (cp-d) 2 ≤ 0
La suma de los cuadrados no puede ser menor que 0.
Por lo tanto, (ap-b) 2 + (bp-c) 2 + (cp-d) 2 = 0
(ap-b) 2 = 0
pag = b/a
(pb-c) 2 = 0
pag = c/b
(cp-d) 2 =0
pag = d/c
b/a = c/b = d/c
Por lo tanto, a, b, c y d están en GP.
Pregunta 16. Si (a+bx)/(a-bx) = (b+cx)/(b-cx) = (c+dx)/(c-dx) (x≠0), entonces demuestre que a, b, cyd están en GP.
Solución:
Dado (a+bx)/(a-bx) = (b+cx)/(b-cx)
Aplicando componendo y dividendo
(a+bx)+(a-bx) / (a+bx)-(a-bx) = (b+cx)+(b-cx) / (b+cx)-(b-cx)
2a/2bx = 2b/2cx
a/b =b/c –Ecuación I
Del mismo modo, (b+cx)/(b-cx) = (c+dx)/(c-dx)
Aplicando componendo y dividendo
(b+cx)+(b-cx) / (b+cx)-(b-cx) = (c+dx)+(c-dx) / (c+dx)-(c-dx)
2b/2cx = 2c/2dx
b/c =c/d –Ecuación II
De la Ecuación, I y la Ecuación II
a/b = b/c = c/d
b/a = c/b = d/c
Por lo tanto, a, b, c y d están en GP.
Pregunta 17. Si los términos p-ésimo y q-ésimo de un GP son q y p respectivamente. Muestre que (p+q)-ésimo término es (qp/pq)1/pq.
Solución:
Sea a1 el primer término de GP dado y sea r la razón común.
Dado, ap = q y aq = p
aq/ap = p/q
(a1*r q-1 )/(a1*r p-1 ) = p/q
r (qp) = p/q
r = (p/q) 1/(qp)
ap = q
a1*r p-1 = q
a1*(p/q) (p-1)/(qp) = q
a1 = ((q/p) (p-1)/(qp) )* q
El término (p+q)ésimo de GP dado viene dado por
a(p+q) = a1*r (p+q-1)
= [((q/p) (p-1)/(qp) )* q]*[(p/q) 1/(qp) ] (p+q-1)
= [((q/p) (p-1)/(qp) )* q]*[(p/q) (p+q-1)/(qp) ]
= q*[(q/p) (p-1)/(qp) ]*[(p/q) (p+q-1)/(qp) ]
= q*[(p/q) ((1-p)+(p+q-1))/(qp) ]
= q*[(p/q) q/(qp) ]
= q*[(q/p) q/(pq) ]
= [q p /p q ] 1/(pq)
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por aman__jaiswal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA