Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Progresiones geométricas – Ejercicio 20.1 | Serie 1

Pregunta 1. Demuestre que cada uno de los siguientes progresos es un GP. Además, encuentre la razón común en cada caso:

(yo) 4, -2, 1, -1/2,…….

(ii) -2/3, -6, -54,……….

(iii) a, 3a 2/4 , 9a 3 /16,…….

(iv) 1/2, 1/3, 2/9, 4/27,…….

Solución:

(i) Dado a1 = 4, a2 = -2, a3 = 1

a2/a1 = -2/4 = -1/2

a3/a2 = -1/2

a4/a1 = (-1/2)/1 =-1/2

Ahora, a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = -1/2

Así, a1, a2, a3, a4,… están en GP y la razón común (r) es -1/2.

(ii) Dado a1 = -2/3, a2 = -6, a3 = -54

a2/a1 = -6/(-2/3) = 9

a3/a2 = -54/-6 = 9

Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 9

Por lo tanto, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común (r) es 9.

(iii) Dado a1= a, a2= 3a 2/4 , a3 = 9a 3/16

a2/a1 = (3a 2/4 ) /a = 3a/4

a3/a2 = (9a 3/16 ) /(3a 2/4 ) = 3a/4

 Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 9

Así, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común(r) es 3a/4.

(iv) Dado a1=1/2, a2=1/3, a3=2/9

a2/a1 = (1/3)/(1/2) = 2/3

a3/a2 = (2/9)/(1/3) = 2/3

Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 2/3

Por lo tanto, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común (r) es 2/3.

Pregunta 2. Muestre que la sucesión <an>, definida por an = 2/(3 n ), n∈N es un GP.

Solución:

Dado an = 2/(3 n )

Ponemos n=1,2,3,….., n∈N 

La secuencia es 2/3, 2/(3 2 ), 2/(3 3 ), ………..

a2/a1 = (2/(3 2 ))/(2/3)=1/3

a3/a2 = (2/(3 3 ))/(2/(3 2 )) = 1/3

Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 1/3

Por lo tanto, a1,a2,a3,…… están en GP y la razón común (r) es 1/3.

Por lo tanto, la secuencia dada está en GP.

Pregunta 3. Encuentra:

(i) El término 9 de la GP 1,4,16,64,…….

(ii) El décimo término del GP -3/4, 1/2, -1/3, -2/9, ………….

(iii) El octavo término de GP 0.3, 0.06, 0.012, …………..

(iv) El término 12 de GP 1/(a 3 x 3 ), ax, a5x 5 , ………..

(v) El enésimo término de GP √3,1/√3,1/3√3,…………..

Solución:

(i) Dado a2/a1 = 4/1 = 4

a3/a2 = 16/4 = 4

Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = 4 y a1 = 1,

a9 = a1* r8

a9 = 1*(4) 8  

= (4) 8

(ii) Dado a2/a1 = (1/2)/(-3/4) = -2/3

a3/a2 = (-1/3)/(1/2) = -2/3

Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = -2/3 y a1 = -3/4

a10 = a1*r 9

a10 = (-3/4)*(-2/3) 9

= (1/2)(2/3) 8

(iii) Dado a2/a1 = 0,06/0,3 = 0,2

a3/a2 = 0,012/0,06 = 0,2

Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = 0,2 y a1 = 0,3

a8 = a1*r 7

a8 = 0,3*(0,2) 7

(iv) Dado a2/a1 = (ax)/(1/(a 3 x 3 )) = a 4 x 4

a3/a2 = (a 5 x 5 )/(ax) = a 4 x 4

Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= a4x4 y a1 =1/(a 3 x 3 )

a12 = a1* r11

a8 = (1/(a 3 x 3 ))*((a 4 x 4 ) 11 )

     = un 41 x 41

(v) Dado a2/a1 = (1/√3)/√3 = 1/3

a3/a2 = (1/3√3)/(1/√3) = 1/3

Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= 1/3 y a1 = √3

an = a1*r (n-1)

     = √3*(1/3) (n-1)   

Pregunta 4. Encuentra el cuarto término desde el final de GP 2/27, 2/9, 2/3,………,162.

Solución:

Dado a2/a1 = (2/9)/(2/27) = 3

a3/a2 = (2/3)/(2/9) = 3

Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= 3 y a1 = 2/27

Después de invertir el GP se convierte en 162, ……….,, 2/3, 2/9, 2/27.

a1’=162 y r’= 1/r =1/3

a4’= a1′ * r’3

     = 162 * (1/3) 3

     = 6.

Pregunta 5. ¿Qué término de la progresión 0.004,0.02,0.1,….es 12.5?

Solución:

Dado a2/a1= 0.02/0.004= 5

a3/a2 = 0,1/0,02 = 5

Por lo tanto, r=a3/a2 = a2/a1= 5 y a1=0.004

El término n de la sucesión está dado por

an = a1*(r) n-1

an=(0.004)*(5) n-1

Sea el n-ésimo término 12,5.

Por lo tanto, (0.004)*(5) n-1 =12.5

(5) n-1 = 12,5/0,004

(5) n-1 = 3125

(5) n-1 = (5) 5

Por lo tanto, n-1=5

n=5+1= 6

Pregunta 6. ¿Qué término del GP:

(i) √2, 1/√2, 1/2√2, 1/4√2,…………….es 1/(512√2)?

(ii) 2, 2√2, 4, …………………..es 128?

(iii) √3, 3, 3√3, …………………..es 729?

(iv) 1/3, 1/9, 1/27, ………….es 1/19683?

Solución:

(i) En la secuencia dada a1=√2, a2= 1/√2

Razón común(r) = a2/a1 = (1/√2)/√2 =1/2 y a1 = √2

Sea el enésimo término 1/(512√2)

a1* rn -1 = 1/(512√2)

√2*(1/2) n-1 = 1/(512√2)

(1/2) n-1 = 1/1024

(1/2) n-1 = (1/2)10

Por lo tanto, n-1= 10

n=10+1 =11.

(ii) En la secuencia dada a1=2 ,a2= 2√2

Razón común(r)=a2/a1= 2√2/2 = √2 y a1=2

Sea el enésimo término 1/(512√2)

a1*rn -1 = 128

2*(√2) n-1 = 128

(√2) n-1 =64

(√2) n-1 = (√2)12

Por lo tanto n-1= 12

n= 12+1 =13.

(iii) En la secuencia dada a1= √3, a2= 3

Razón común(r)=a2/a1 = 3/√3 = √3 y a1 = √3

Sea el enésimo término 729

a1*rn -1 = 729

√3*(√3) n-1 = 729

(√3) n = 729

(√3) norte = (√3) 11

Por lo tanto n-1= 11

n= 11+1 =12.

(iv) En la secuencia dada a1= 1/3, a2= 1/9

Razón común(r)=a2/a1 = 1/3 y a1 = 1/3

Sea el enésimo término 1/19683

a1* rn -1 = 1/19683

1/3*(1/3) n-1 = 1/19683

(1/3) n = 1/19683

(1/3) n = (1/3) 8

Por lo tanto, n = 8.

Pregunta 7. ¿Qué término de progresión 18, -12, 8,…………..es 512/729? 

Solución:

En secuencia dada a1=18 ,a2 =-12

Razón común(r)= -12/18 = -2/3 y a1=18

Sea el enésimo término 512/729 

a1* rn -1 = 512/729

(18)*(-2/3) n-1 = 512/729 

(-2/3 )n-1 = 256/6561

(-2/3) n-1 = (-2/3) 8

Por lo tanto n-1 = 8

n = 8+1 = 9

Pregunta 8. ¿Encuentra el cuarto término desde el final de GP 1/2 1/6, 1/18, 1/54,……………….1/4373? 

Solución:

En secuencia dada a1 = 1/2, a2 ​​= 1/6

Razón común(r)= (1/6)/(1/2) =1/3 y a1 = 1/2

Después de invertir el GP se convierte en 1/4374,……..1/54, 1/18, 1/6, 1/2

Razón común(r’)= 3 y a1 = 1/4374

El cuarto término desde el final del GP original se convierte en el 4to desde el comienzo del GP invertido

Por lo tanto, el término requerido está dado por

(a1′)*( r’4-1 ) = (a1′)*(r’) 3         

                  = (1/4374)*(3) 3

                  = (27/4374)

                  = 1/162

Pregunta 9. El 4° término de un GP es 27 y el 7° término es 729, encuentra el GP?

Solución:

Sea a el primer término de GP requerido y r sea la razón común.

Dado, a4= 27 y a7 = 729

(a1*r 6 ) / (a1*r 3 ) = 729/27 

r3 = 729/27 = 27

r 3 = 3 3

r=3

Ahora, pon r=3 en a1*r 3 =27

a1*(3) 3 = 27 

a1 = 1

Así, el GP dado es 1,3, 9, 27,……….

 Pregunta 10. El séptimo término de un GP es 8 veces el 4.º término y el 5.º término es 48. ¿Encuentra el GP?

Solución:

Sea a el primer término de GP requerido y r sea la razón común.

Dado, a7 = 8*a4 y a5 = 48

a7/a4 = 8

(a1*r 6 )/(a1*r 3 ) = 8

r 3 = 8

r=2

Ahora pon r = 2 en a5 = 48

a1*r4 = 48

a1* (2) 4 = 48

a1* 16 = 48 

a1 = 3

Así, el GP dado es 3, 6, 12, 24,…………..

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por aman__jaiswal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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