Pregunta 1. Demuestre que cada uno de los siguientes progresos es un GP. Además, encuentre la razón común en cada caso:
(yo) 4, -2, 1, -1/2,…….
(ii) -2/3, -6, -54,……….
(iii) a, 3a 2/4 , 9a 3 /16,…….
(iv) 1/2, 1/3, 2/9, 4/27,…….
Solución:
(i) Dado a1 = 4, a2 = -2, a3 = 1
a2/a1 = -2/4 = -1/2
a3/a2 = -1/2
a4/a1 = (-1/2)/1 =-1/2
Ahora, a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = -1/2
Así, a1, a2, a3, a4,… están en GP y la razón común (r) es -1/2.
(ii) Dado a1 = -2/3, a2 = -6, a3 = -54
a2/a1 = -6/(-2/3) = 9
a3/a2 = -54/-6 = 9
Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 9
Por lo tanto, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común (r) es 9.
(iii) Dado a1= a, a2= 3a 2/4 , a3 = 9a 3/16
a2/a1 = (3a 2/4 ) /a = 3a/4
a3/a2 = (9a 3/16 ) /(3a 2/4 ) = 3a/4
Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 9
Así, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común(r) es 3a/4.
(iv) Dado a1=1/2, a2=1/3, a3=2/9
a2/a1 = (1/3)/(1/2) = 2/3
a3/a2 = (2/9)/(1/3) = 2/3
Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 2/3
Por lo tanto, a1, a2, a3,…… están en GP y la razón común (r) es 2/3.
Pregunta 2. Muestre que la sucesión <an>, definida por an = 2/(3 n ), n∈N es un GP.
Solución:
Dado an = 2/(3 n )
Ponemos n=1,2,3,….., n∈N
La secuencia es 2/3, 2/(3 2 ), 2/(3 3 ), ………..
a2/a1 = (2/(3 2 ))/(2/3)=1/3
a3/a2 = (2/(3 3 ))/(2/(3 2 )) = 1/3
Ahora, a2/a1 = a3/a2 = 1/3
Por lo tanto, a1,a2,a3,…… están en GP y la razón común (r) es 1/3.
Por lo tanto, la secuencia dada está en GP.
Pregunta 3. Encuentra:
(i) El término 9 de la GP 1,4,16,64,…….
(ii) El décimo término del GP -3/4, 1/2, -1/3, -2/9, ………….
(iii) El octavo término de GP 0.3, 0.06, 0.012, …………..
(iv) El término 12 de GP 1/(a 3 x 3 ), ax, a5x 5 , ………..
(v) El enésimo término de GP √3,1/√3,1/3√3,…………..
Solución:
(i) Dado a2/a1 = 4/1 = 4
a3/a2 = 16/4 = 4
Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = 4 y a1 = 1,
a9 = a1* r8
a9 = 1*(4) 8
= (4) 8
(ii) Dado a2/a1 = (1/2)/(-3/4) = -2/3
a3/a2 = (-1/3)/(1/2) = -2/3
Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = -2/3 y a1 = -3/4
a10 = a1*r 9
a10 = (-3/4)*(-2/3) 9
= (1/2)(2/3) 8
(iii) Dado a2/a1 = 0,06/0,3 = 0,2
a3/a2 = 0,012/0,06 = 0,2
Por lo tanto, r = a3/a2 = a2/a1 = 0,2 y a1 = 0,3
a8 = a1*r 7
a8 = 0,3*(0,2) 7
(iv) Dado a2/a1 = (ax)/(1/(a 3 x 3 )) = a 4 x 4
a3/a2 = (a 5 x 5 )/(ax) = a 4 x 4
Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= a4x4 y a1 =1/(a 3 x 3 )
a12 = a1* r11
a8 = (1/(a 3 x 3 ))*((a 4 x 4 ) 11 )
= un 41 x 41
(v) Dado a2/a1 = (1/√3)/√3 = 1/3
a3/a2 = (1/3√3)/(1/√3) = 1/3
Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= 1/3 y a1 = √3
an = a1*r (n-1)
= √3*(1/3) (n-1)
Pregunta 4. Encuentra el cuarto término desde el final de GP 2/27, 2/9, 2/3,………,162.
Solución:
Dado a2/a1 = (2/9)/(2/27) = 3
a3/a2 = (2/3)/(2/9) = 3
Por lo tanto r = a3/a2 = a2/a1= 3 y a1 = 2/27
Después de invertir el GP se convierte en 162, ……….,, 2/3, 2/9, 2/27.
a1’=162 y r’= 1/r =1/3
a4’= a1′ * r’3
= 162 * (1/3) 3
= 6.
Pregunta 5. ¿Qué término de la progresión 0.004,0.02,0.1,….es 12.5?
Solución:
Dado a2/a1= 0.02/0.004= 5
a3/a2 = 0,1/0,02 = 5
Por lo tanto, r=a3/a2 = a2/a1= 5 y a1=0.004
El término n de la sucesión está dado por
an = a1*(r) n-1
an=(0.004)*(5) n-1
Sea el n-ésimo término 12,5.
Por lo tanto, (0.004)*(5) n-1 =12.5
(5) n-1 = 12,5/0,004
(5) n-1 = 3125
(5) n-1 = (5) 5
Por lo tanto, n-1=5
n=5+1= 6
Pregunta 6. ¿Qué término del GP:
(i) √2, 1/√2, 1/2√2, 1/4√2,…………….es 1/(512√2)?
(ii) 2, 2√2, 4, …………………..es 128?
(iii) √3, 3, 3√3, …………………..es 729?
(iv) 1/3, 1/9, 1/27, ………….es 1/19683?
Solución:
(i) En la secuencia dada a1=√2, a2= 1/√2
Razón común(r) = a2/a1 = (1/√2)/√2 =1/2 y a1 = √2
Sea el enésimo término 1/(512√2)
a1* rn -1 = 1/(512√2)
√2*(1/2) n-1 = 1/(512√2)
(1/2) n-1 = 1/1024
(1/2) n-1 = (1/2)10
Por lo tanto, n-1= 10
n=10+1 =11.
(ii) En la secuencia dada a1=2 ,a2= 2√2
Razón común(r)=a2/a1= 2√2/2 = √2 y a1=2
Sea el enésimo término 1/(512√2)
a1*rn -1 = 128
2*(√2) n-1 = 128
(√2) n-1 =64
(√2) n-1 = (√2)12
Por lo tanto n-1= 12
n= 12+1 =13.
(iii) En la secuencia dada a1= √3, a2= 3
Razón común(r)=a2/a1 = 3/√3 = √3 y a1 = √3
Sea el enésimo término 729
a1*rn -1 = 729
√3*(√3) n-1 = 729
(√3) n = 729
(√3) norte = (√3) 11
Por lo tanto n-1= 11
n= 11+1 =12.
(iv) En la secuencia dada a1= 1/3, a2= 1/9
Razón común(r)=a2/a1 = 1/3 y a1 = 1/3
Sea el enésimo término 1/19683
a1* rn -1 = 1/19683
1/3*(1/3) n-1 = 1/19683
(1/3) n = 1/19683
(1/3) n = (1/3) 8
Por lo tanto, n = 8.
Pregunta 7. ¿Qué término de progresión 18, -12, 8,…………..es 512/729?
Solución:
En secuencia dada a1=18 ,a2 =-12
Razón común(r)= -12/18 = -2/3 y a1=18
Sea el enésimo término 512/729
a1* rn -1 = 512/729
(18)*(-2/3) n-1 = 512/729
(-2/3 )n-1 = 256/6561
(-2/3) n-1 = (-2/3) 8
Por lo tanto n-1 = 8
n = 8+1 = 9
Pregunta 8. ¿Encuentra el cuarto término desde el final de GP 1/2 1/6, 1/18, 1/54,……………….1/4373?
Solución:
En secuencia dada a1 = 1/2, a2 = 1/6
Razón común(r)= (1/6)/(1/2) =1/3 y a1 = 1/2
Después de invertir el GP se convierte en 1/4374,……..1/54, 1/18, 1/6, 1/2
Razón común(r’)= 3 y a1 = 1/4374
El cuarto término desde el final del GP original se convierte en el 4to desde el comienzo del GP invertido
Por lo tanto, el término requerido está dado por
(a1′)*( r’4-1 ) = (a1′)*(r’) 3
= (1/4374)*(3) 3
= (27/4374)
= 1/162
Pregunta 9. El 4° término de un GP es 27 y el 7° término es 729, encuentra el GP?
Solución:
Sea a el primer término de GP requerido y r sea la razón común.
Dado, a4= 27 y a7 = 729
(a1*r 6 ) / (a1*r 3 ) = 729/27
r3 = 729/27 = 27
r 3 = 3 3
r=3
Ahora, pon r=3 en a1*r 3 =27
a1*(3) 3 = 27
a1 = 1
Así, el GP dado es 1,3, 9, 27,……….
Pregunta 10. El séptimo término de un GP es 8 veces el 4.º término y el 5.º término es 48. ¿Encuentra el GP?
Solución:
Sea a el primer término de GP requerido y r sea la razón común.
Dado, a7 = 8*a4 y a5 = 48
a7/a4 = 8
(a1*r 6 )/(a1*r 3 ) = 8
r 3 = 8
r=2
Ahora pon r = 2 en a5 = 48
a1*r4 = 48
a1* (2) 4 = 48
a1* 16 = 48
a1 = 3
Así, el GP dado es 3, 6, 12, 24,…………..
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Artículo escrito por aman__jaiswal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA