Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Progresiones geométricas – Ejercicio 20.2

Pregunta 1. Encuentra los tres números en GP cuya suma es 65 y cuyo producto es 3375.

Solución:

Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.

Dado que el producto de tres números es 3375.

Por lo tanto, 

a/r * a * ar = 3375

un 3 = 3375            

un 3 = (15) 3

Además, a/r + a + ar = 65  

a(1/r + 1 + r) = 65

Sustituyendo a = 15       

15 (1/r + 1 + r) = 65     

1/r + 1 + r = 65/15     

1/r + 1 + r = 13/3     

3r 2 – 10r + 3 = 0    

3r 2 – 9r – r + 3 = 0

3r(r-3) – (r-3) = 0

(r-3)(3r-1) = 0

r = 3,1/3.

Tomando r = 3 , obtenemos 

a/r = 15 / 3 = 5 , a = 15 , a = 15 * 3 = 45

Al tomar r = 1/3 , obtenemos

a/r = 15 * 3 = 45, a = 15, a = 15 * 1/3 = 5

Por lo tanto, los tres términos son 5, 15, 45 o 45, 15, 5 .

Pregunta 2. Encuentra tres números en GP cuya suma sea 38 y su producto sea 1728.

Solución:

Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.

Dado que el producto de tres números es 1728.

Por lo tanto, 

a/r * a * ar = 1728     

un 3 = 1728

un 3 = (12) 3

Además, a/r + a + ar = 38

a (1 /r + 1 + r) = 38

Sustituyendo a = 12

12 (1/r + 1 + r) = 38

1/r + 1 + r = 38/12

1/r + 1 + r = 19/6

6r 2 – 13r + 6 = 0

6r 2 – 9r – 4r + 6 = 0

3r(2r-3) – 2(2r-3) = 0

(2r-3)(3r-2) = 0

r = 3/2, 2/3.

Tomando r = 3 , obtenemos 

a/r = 12 * 2/3 = 8, a = 12, ar = 12 * 3/2 = 18

Al tomar r = 1/3 , obtenemos

a/r = 12 * 3/2 = 18, a = 12, a = 15 * 2/3 = 8

Por lo tanto, los tres términos son 8, 12, 18 o 18, 12, 8.

Pregunta 3. La suma de los primeros tres términos de un GP es 13/12 y su producto es -1. Encuentra el médico de cabecera

Solución:

Deje los tres números en GP como a/r, a, ar .

Dado que el producto de tres números es -1.

Por lo tanto, a/r * a * ar = -1

un 3 = -1

un 3 = (-1) 3

un = -1

Además, a/r + a + ar = 13/12

 a (1 /r + 1 + r) = 13/12

Sustituyendo a = -1

-1 (1/r + 1 + r) = 13/12

1/r + 1 + r = -13/12

12r 2 + 25r + 12 = 0

12r 2 + 16r + 9r + 12 = 0

4r(3r+4) + 3(3r+4) = 0

(4r+3)(3r+4) = 0

r = -3/4, -4/3.

Tomando r = -3/4 , obtenemos 

a/r = -1 * -4/3 = 4/3, a = -1, ar = -1 * -3/4 = 3/4

Tomando r = -4/3 , obtenemos

a/r = -1 * -3/4 = 3/4, a = -1, ar = -1 * -4/3 = 4/3

Por lo tanto, los tres términos son 4/3, -1, 3/4 o 3/4, -1, 4/3.

Pregunta 4. El producto de tres números en GP es 125 y la suma de sus productos tomados en pares es 175/2. Encuéntralos.

Solución:

Deje los tres números en GP como a/r, a, ar .

Dado que el producto de tres números es 125.

Por lo tanto, a/r * a * ar = 125.             

un 3 = 125

un 3 = (5) 3        

un = 5

También, 

a/r * a + a/r * ar + a*ar = 175/2     

a 2 (1 /r + 1 + r) = 175/2

Sustituyendo a = 5      

25 (1/r + 1 + r) = 175/2       

1/r + 1 + r = 7/2      

2r 2 -5r + 2 = 0

2r 2 -4r – r + 2= 0

2r(r – 2) – (r – 2) = 0

(2r-1)(r-2) = 0     

r = 2, 1/2.

Tomando r = 2 , obtenemos 

a/r = 5/2, a = 2, ar = 5 * 2 = 10

Al tomar r = 1/2 , obtenemos

a/r = 5 * 2 = 10, a = 5, ar = 5 * 1/2 = 5/2

Por tanto, los tres términos son 5/2, 5, 10 o 10, 5, 5/2.

Pregunta 5. La suma de los primeros tres términos de un GP es 39/10 y su producto es 1. Encuentra la razón común y los términos.

Solución:

Suponga que los tres números en GP son a/r, a, ar .

Dado que el producto de tres números es 1.

Por lo tanto, a/r * a * ar = 1  

un 3 = 1      

un 3 = (1) 3

Además, a/r + a + ar = 39/10

a (1 /r + 1 + r) = 39/10

Sustituyendo, a = 1,      

1 (1/r + 1 + r) = 39/10 

1/r + 1 + r = 39/10

10r 2 – 29r + 10 = 0

10r 2 – 25r – 4r + 10 = 0

5r(2r-5) – 2(2r-5) = 0

(5r-2)(2r-5) = 0

r = 2/5, 5/2.

Tomando r = 2/5 , obtenemos 

a/r = 1 * 5/2 = 5/2, a = 1, ar = 1 * 2/5 = 2/5

Al tomar r = 5/2 , obtenemos

a/r = -1 * 2/5 = 2/5, a = 1, ar = 1 * 5/2 = 5/2

Por lo tanto, los tres términos son 5/2, 1, 2/5 o 2/5, 1, 5/2 .

Pregunta 6. La suma de tres números en GP es 14. Si cada uno de los dos primeros términos aumenta en 1 y el tercer término disminuye en 1, los números resultantes están en AP Encuentra los números.

Solución:

Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.

Los dos primeros términos aumentan en 1 y el tercer término disminuye en 1, luego se convierte en AP

a/r + 1, a + 1, ar – 1 es un AP

Por lo tanto, 

ar-1-a-1 = a-1-a/r-1           

ar – a – 2 = a – a/r       

ar + a/r = 2a + 2 —(1)

Ya que, a/r + a + ar = 14

Reemplazando a/r + ar = 14 – a en la ecuación (1)

14 – a = 2a + 2

12 = 3a

un = 4

Sustituyendo a en la ecuación (1)

r + 1/r = 5/2

2r 2 – 5r + 2 = 0

2r 2 – 4r -r + 2 = 0

2r(r-2) -(r-2) = 0

(r-2)(2r-1) = 0

r = 2, 1/2

Al tomar r = 2 ,

a/r = 4/2 = 2, a = 4, a = 4*2 = 8

Al tomar r = 1/2

a/r = 4*2 = 8, a = 4, a = 4/2 = 2

Por lo tanto, los números son 2, 4, 8 u 8, 4, 2.

Pregunta 7. El producto de tres números en GP es 216. Si se les suma 2,8,6, los resultados están en AP Encuentra los números.

Solución:

Sean los tres números a/r, a, ar
 

Dado que el producto de tres números es 216.

Por lo tanto, 

a/r * a * ar = 216        

un 3 = (6) 3      

un = 6

Sumando 2 en a/r, 8 en a y 6 en ar, se convierte en un AP

Por lo tanto,   

ar + 6 – a – 8 = a + 8 – a/r – 2,

Sustituyendo a = 6   

6r 2 – 20r + 6 = 0

6r 2 – 18r -2r + 6 = 0

6r(r-3) -2(r-3) = 0

r = 3, 1/3

Al tomar r = 3      

a/r = 6/3 = 2, a = 6, a = 6*3 = 18

Al tomar r = 1/3    

a/r = 6*3 = 18, a = 6, a = 6* 1/3 = 2

Por lo tanto, los números son 2, 6, 18 o 18, 6, 2.

Pregunta 8. Encuentra tres números en GP cuyo producto sea 729 y la suma de sus productos en pares sea 819.

Solución:

Sea el número tres a/r, a, ar.

Dado que el producto de tres números es 729.

Por lo tanto,  

a/r * a * ar = 729

un 3 = (9) 3

un = 9

Además, la suma de sus productos en pares es 819.             

a/r * a + a/r * ar + a * ar = 819

(a) 2 * (1/r + 1 + r) = 819

Sustituyendo a = 9 

81 * (1/r + 1 + r) = 819

(1/r + 1 + r) = 91/9  

9r 2 – 82r + 9 = 0

9r 2 – 81r – r + 9 = 0

9r(r-9) – (r-9) = 0

(r-9) (9r-1) = 0

r = 9, 1/9

Al tomar r = 9

a/r = 9/9 = 1, a = 9, a = 9 * 9 = 81

Al tomar r = 1/9   

a/r = 9 * 9 = 81, a = 9, a = 9 * 1/9 = 1

Por lo tanto, los números son 1, 9, 81 o 81, 9, 1.

Pregunta 9. La suma de tres números en GP es 21 y la suma de sus cuadrados es 189. Encuentra los números.

Solución:

Sean los tres números a/r, a, ar

Dado que a/r + a + ar = 21 —(1) y,

(a/r) 2 + (a) 2 + (ar) 2 = 189 —(2) 

Lo sabemos,

(A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2 (AB + BC+ CA)

Reemplazando A = a/r, B = a, C = ar,

21*21 = 189 + 2(a/r * a + a* ar + a*a)

126 = a 2 [ 1/r + r + 1 ] —-(3)

De (1) tenemos 21 = a [ 1/r + r + 1] —(4)

Dividiendo (3) por (4), obtenemos

un = 6

Sustituyendo a en la ecuación (4)

1/r + r + 1 = 7/2       

2r 2 – 5r + 2 = 0

2r 2 – 4r – r + 2 = 0

2r(r-2) – (r-2) = 0

r = 2, 1/2

Al tomar r = 2

a/r = 3, a = 6, a = 12

Al tomar r = 1/2

a/r = 12, a = 6, a = 3

Por lo tanto, los números son 3, 6, 12 o 12, 6, 3

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por coder_27 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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