Pregunta 1. Encuentra los tres números en GP cuya suma es 65 y cuyo producto es 3375.
Solución:
Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.
Dado que el producto de tres números es 3375.
Por lo tanto,
a/r * a * ar = 3375
un 3 = 3375
un 3 = (15) 3
Además, a/r + a + ar = 65
a(1/r + 1 + r) = 65
Sustituyendo a = 15
15 (1/r + 1 + r) = 65
1/r + 1 + r = 65/15
1/r + 1 + r = 13/3
3r 2 – 10r + 3 = 0
3r 2 – 9r – r + 3 = 0
3r(r-3) – (r-3) = 0
(r-3)(3r-1) = 0
r = 3,1/3.
Tomando r = 3 , obtenemos
a/r = 15 / 3 = 5 , a = 15 , a = 15 * 3 = 45
Al tomar r = 1/3 , obtenemos
a/r = 15 * 3 = 45, a = 15, a = 15 * 1/3 = 5
Por lo tanto, los tres términos son 5, 15, 45 o 45, 15, 5 .
Pregunta 2. Encuentra tres números en GP cuya suma sea 38 y su producto sea 1728.
Solución:
Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.
Dado que el producto de tres números es 1728.
Por lo tanto,
a/r * a * ar = 1728
un 3 = 1728
un 3 = (12) 3
Además, a/r + a + ar = 38
a (1 /r + 1 + r) = 38
Sustituyendo a = 12
12 (1/r + 1 + r) = 38
1/r + 1 + r = 38/12
1/r + 1 + r = 19/6
6r 2 – 13r + 6 = 0
6r 2 – 9r – 4r + 6 = 0
3r(2r-3) – 2(2r-3) = 0
(2r-3)(3r-2) = 0
r = 3/2, 2/3.
Tomando r = 3 , obtenemos
a/r = 12 * 2/3 = 8, a = 12, ar = 12 * 3/2 = 18
Al tomar r = 1/3 , obtenemos
a/r = 12 * 3/2 = 18, a = 12, a = 15 * 2/3 = 8
Por lo tanto, los tres términos son 8, 12, 18 o 18, 12, 8.
Pregunta 3. La suma de los primeros tres términos de un GP es 13/12 y su producto es -1. Encuentra el médico de cabecera
Solución:
Deje los tres números en GP como a/r, a, ar .
Dado que el producto de tres números es -1.
Por lo tanto, a/r * a * ar = -1
un 3 = -1
un 3 = (-1) 3
un = -1
Además, a/r + a + ar = 13/12
a (1 /r + 1 + r) = 13/12
Sustituyendo a = -1
-1 (1/r + 1 + r) = 13/12
1/r + 1 + r = -13/12
12r 2 + 25r + 12 = 0
12r 2 + 16r + 9r + 12 = 0
4r(3r+4) + 3(3r+4) = 0
(4r+3)(3r+4) = 0
r = -3/4, -4/3.
Tomando r = -3/4 , obtenemos
a/r = -1 * -4/3 = 4/3, a = -1, ar = -1 * -3/4 = 3/4
Tomando r = -4/3 , obtenemos
a/r = -1 * -3/4 = 3/4, a = -1, ar = -1 * -4/3 = 4/3
Por lo tanto, los tres términos son 4/3, -1, 3/4 o 3/4, -1, 4/3.
Pregunta 4. El producto de tres números en GP es 125 y la suma de sus productos tomados en pares es 175/2. Encuéntralos.
Solución:
Deje los tres números en GP como a/r, a, ar .
Dado que el producto de tres números es 125.
Por lo tanto, a/r * a * ar = 125.
un 3 = 125
un 3 = (5) 3
un = 5
También,
a/r * a + a/r * ar + a*ar = 175/2
a 2 (1 /r + 1 + r) = 175/2
Sustituyendo a = 5
25 (1/r + 1 + r) = 175/2
1/r + 1 + r = 7/2
2r 2 -5r + 2 = 0
2r 2 -4r – r + 2= 0
2r(r – 2) – (r – 2) = 0
(2r-1)(r-2) = 0
r = 2, 1/2.
Tomando r = 2 , obtenemos
a/r = 5/2, a = 2, ar = 5 * 2 = 10
Al tomar r = 1/2 , obtenemos
a/r = 5 * 2 = 10, a = 5, ar = 5 * 1/2 = 5/2
Por tanto, los tres términos son 5/2, 5, 10 o 10, 5, 5/2.
Pregunta 5. La suma de los primeros tres términos de un GP es 39/10 y su producto es 1. Encuentra la razón común y los términos.
Solución:
Suponga que los tres números en GP son a/r, a, ar .
Dado que el producto de tres números es 1.
Por lo tanto, a/r * a * ar = 1
un 3 = 1
un 3 = (1) 3
Además, a/r + a + ar = 39/10
a (1 /r + 1 + r) = 39/10
Sustituyendo, a = 1,
1 (1/r + 1 + r) = 39/10
1/r + 1 + r = 39/10
10r 2 – 29r + 10 = 0
10r 2 – 25r – 4r + 10 = 0
5r(2r-5) – 2(2r-5) = 0
(5r-2)(2r-5) = 0
r = 2/5, 5/2.
Tomando r = 2/5 , obtenemos
a/r = 1 * 5/2 = 5/2, a = 1, ar = 1 * 2/5 = 2/5
Al tomar r = 5/2 , obtenemos
a/r = -1 * 2/5 = 2/5, a = 1, ar = 1 * 5/2 = 5/2
Por lo tanto, los tres términos son 5/2, 1, 2/5 o 2/5, 1, 5/2 .
Pregunta 6. La suma de tres números en GP es 14. Si cada uno de los dos primeros términos aumenta en 1 y el tercer término disminuye en 1, los números resultantes están en AP Encuentra los números.
Solución:
Deje los tres números en GP como a/r, a, ar.
Los dos primeros términos aumentan en 1 y el tercer término disminuye en 1, luego se convierte en AP
a/r + 1, a + 1, ar – 1 es un AP
Por lo tanto,
ar-1-a-1 = a-1-a/r-1
ar – a – 2 = a – a/r
ar + a/r = 2a + 2 —(1)
Ya que, a/r + a + ar = 14
Reemplazando a/r + ar = 14 – a en la ecuación (1)
14 – a = 2a + 2
12 = 3a
un = 4
Sustituyendo a en la ecuación (1)
r + 1/r = 5/2
2r 2 – 5r + 2 = 0
2r 2 – 4r -r + 2 = 0
2r(r-2) -(r-2) = 0
(r-2)(2r-1) = 0
r = 2, 1/2
Al tomar r = 2 ,
a/r = 4/2 = 2, a = 4, a = 4*2 = 8
Al tomar r = 1/2
a/r = 4*2 = 8, a = 4, a = 4/2 = 2
Por lo tanto, los números son 2, 4, 8 u 8, 4, 2.
Pregunta 7. El producto de tres números en GP es 216. Si se les suma 2,8,6, los resultados están en AP Encuentra los números.
Solución:
Sean los tres números a/r, a, ar
Dado que el producto de tres números es 216.
Por lo tanto,
a/r * a * ar = 216
un 3 = (6) 3
un = 6
Sumando 2 en a/r, 8 en a y 6 en ar, se convierte en un AP
Por lo tanto,
ar + 6 – a – 8 = a + 8 – a/r – 2,
Sustituyendo a = 6
6r 2 – 20r + 6 = 0
6r 2 – 18r -2r + 6 = 0
6r(r-3) -2(r-3) = 0
r = 3, 1/3
Al tomar r = 3
a/r = 6/3 = 2, a = 6, a = 6*3 = 18
Al tomar r = 1/3
a/r = 6*3 = 18, a = 6, a = 6* 1/3 = 2
Por lo tanto, los números son 2, 6, 18 o 18, 6, 2.
Pregunta 8. Encuentra tres números en GP cuyo producto sea 729 y la suma de sus productos en pares sea 819.
Solución:
Sea el número tres a/r, a, ar.
Dado que el producto de tres números es 729.
Por lo tanto,
a/r * a * ar = 729
un 3 = (9) 3
un = 9
Además, la suma de sus productos en pares es 819.
a/r * a + a/r * ar + a * ar = 819
(a) 2 * (1/r + 1 + r) = 819
Sustituyendo a = 9
81 * (1/r + 1 + r) = 819
(1/r + 1 + r) = 91/9
9r 2 – 82r + 9 = 0
9r 2 – 81r – r + 9 = 0
9r(r-9) – (r-9) = 0
(r-9) (9r-1) = 0
r = 9, 1/9
Al tomar r = 9
a/r = 9/9 = 1, a = 9, a = 9 * 9 = 81
Al tomar r = 1/9
a/r = 9 * 9 = 81, a = 9, a = 9 * 1/9 = 1
Por lo tanto, los números son 1, 9, 81 o 81, 9, 1.
Pregunta 9. La suma de tres números en GP es 21 y la suma de sus cuadrados es 189. Encuentra los números.
Solución:
Sean los tres números a/r, a, ar
Dado que a/r + a + ar = 21 —(1) y,
(a/r) 2 + (a) 2 + (ar) 2 = 189 —(2)
Lo sabemos,
(A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2 (AB + BC+ CA)
Reemplazando A = a/r, B = a, C = ar,
21*21 = 189 + 2(a/r * a + a* ar + a*a)
126 = a 2 [ 1/r + r + 1 ] —-(3)
De (1) tenemos 21 = a [ 1/r + r + 1] —(4)
Dividiendo (3) por (4), obtenemos
un = 6
Sustituyendo a en la ecuación (4)
1/r + r + 1 = 7/2
2r 2 – 5r + 2 = 0
2r 2 – 4r – r + 2 = 0
2r(r-2) – (r-2) = 0
r = 2, 1/2
Al tomar r = 2
a/r = 3, a = 6, a = 12
Al tomar r = 1/2
a/r = 12, a = 6, a = 3
Por lo tanto, los números son 3, 6, 12 o 12, 6, 3