Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Progresiones geométricas – Ejercicio 20.5

Pregunta 12. Si (a – b), (b – c), (c – a) están en GP, entonces demuestre que (a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca)

Solución:

Dado: (a – b), (b – c), (c – a) están en GP

(b – c) ² = (a – b)(c – a)

b ² + c ² – 2bc = ac – a ² – bc + ab

b ² + c ² + a ² = ac + bc + ab -(1)

Ahora,

(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2bc + 2ca

= ac + bc + ab + 2ab + 2bc + 2ca

Entonces, usando la ecuación (1), obtenemos

= 3ab + 3bc + 3ca

(a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca)

LHS = RHS

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 13. Si a, b, c están en GP, entonces demuestre que:

$\frac{a^2+ab+b^2}{bc + ca+ab}=\frac{b+a}{c+b}$

Solución:

Dado: a, b, c están en GP

Entonces, a, b = ar, c = ar ²

$\frac{a^2+ab+b^2}{bc + ca+ab}=\frac{b+a}{c+b}\\ \frac{a^2+a(ar)+a^2r^2}{(ar)(ar^2)+(ar^2)a+a(ar)}=\frac{ar+a}{ar^2+ar}\\ \frac{a^2(1+r+r^2)}{a^2(r^3+r^2+r)}=\frac{a(1+r)}{a(r^2+r)}\\ \frac{1+r+r^2}{r(1+r+r^2)}=\frac{1+r}{r(1+r)}$

1/r = 1/r

LHS = RHS

Por lo tanto, demostrado $\frac{a^2+ab+b^2}{bc + ca+ab}=\frac{b+a}{c+b}$

Pregunta 14. Si los términos 4 ^,¹⁰ y 16 de un ^GP son x, y y z respectivamente. Demostrar que x, y, z están en GP

Solución:

Consideremos el 4 ^° término = ar ³

10 ^° término = ar ⁹

16 o término = ^ar¹⁵

Entonces, ar ⁹ = $\sqrt{(ar^3)(ar^{15})}$ = ar ⁹

^{Por lo tanto, los términos} 4 , 10 ^y 16 ^también están en GP

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 15. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, entonces demuestre que a, a – b, d – c están en GP

Solución:

Dado: a, b, c están en AP

2b = a + c -(1)

además,

a, b, d están en GP, entonces

b ² = anuncio -(2)

Ahora,

(a – b) ² = a ² + b ² – 2ab

= a ² + ad – a(a + c)

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

= a ² + ad – a ² – ac

= anuncio – ac

(a – b) ² = a(d – c)

(a – b)/a = (d – c)/(a – b)

Por lo tanto, demostrado a, (a – b), (d – c) están en GP

Pregunta 16. Si los términos p ^th , q ^th , r ^th y s ^th de un AP están en GP, entonces demuestre que p – q, q – r, r – s están en GP

Solución:

Consideremos que R es razón común,

Dado: a _p , a _q , a _r , a _s de AP están en GP

R = $\frac{a_q}{a_p}=\frac{a_r}{a_q}\\ =\frac{a_q-a_r}{a_p-a_q}\ \ \ -(Using \ ratio\ property)\\ =\frac{[a+(q-1)d]-[a+(r-1)d]}{[a+(p-1)d]-[a+(q-1)d]}\\ =\frac{(q-r)d}{(p-q)d}\\ R=\frac{q-r}{p-q}\ \ \ \ -(1)$

Ahora,

$R=\frac{a_r}{a_q}=\frac{a_s}{a_r}\\ =\frac{a_r-a_s}{a_q-a_r}\ \ \ \ -(Using \ ratio\ property)\\ =\frac{[a+(r-1)d]-[a+(s-1)d]}{[a+(q-1)d]-[a+(r-1)d]}\\ =\frac{(r-s)d}{(q-r)d}\\ R=\frac{r-s}{q-r}\ \ \ \ \ -(2)$

Usando la ecuación (1) y (2), obtenemos

$\frac{q-r}{p-q}=\frac{r-s}{p-r}\\$

Por lo tanto, demostrado (p – q), (q – r), (r – s) están en GP

Pregunta 17. Si $\frac{1}{a+b},\frac{1}{2b},\frac{1}{b+c}$ son los tres términos consecutivos de un AP, demuestre que a, b, c son los tres términos consecutivos de un GP

Solución:

Dado: \frac{1}{a+b},\frac{1}{2b},\frac{1}{b+c} están en AP

$\frac{2}{2b}=\frac{1}{(a+b)}+\frac{1}{(b+c)}\\ \frac{1}{b}=\frac{b+c+a+b}{(a+b)(b+c)}\\ \frac{1}{b}=\frac{2b+c+a}{ab+ac+b^2+bc}$

ab + ac + b ² + bc = 2b ² + bc + ba

b ² + ac = 2b ²

b ² = ca

Por lo tanto, se demostró que a, b, c están en GP

Pregunta 18. Si x ^a = x ^b/2 z ^b/2 = z ^c , entonces demuestre que 1/a, 1/b, 1/c están en AP

Solución:

$x^2=x^{\frac{b}{2}}z^{\frac{b}{2}}=z^c=\lambda(say)\\ x=\lambda^{\frac{1}{a}},\ z=\lambda^{\frac{1}{c}}\\ \lambda^{\frac{1}{a}\left(\frac{b}{2}\right)}\times\lambda^{\frac{b}{2}\times\frac{1}{c}}=\lambda\\ \lambda^{\frac{b}{2a}+\frac{b}{2c}}=\lambda^1$

b/2a + b/2c = 1

1/a + 1/c = 2/b

Por lo tanto, 1/a, 1/b, 1/c están en AP

Pregunta 19. Si a, b, c están en AP, b, c, d están en GP y 1/c, 1/d, 1/e están en AP, demuestre que a, c, e están en GP

Solución:

Dado: a, b, c están en AP

2b = a + c -(1)

Además, b, c, d están en GP

c ² = bd -(2)

1/c, 1/d, 1/e están en AP

2/d = 1/c + 1/e -(3)

Necesitamos demostrar que

a, b, c están en GP

c2 ⁼ ae

Ahora,

$c^2=bd=2b\times\frac{d}{2}\\ ⇒ c^2=(a+c)\times\frac{ce}{c+e}\\ ⇒ c^2=\frac{(a+c)ce}{c+e}\ \ \ \ \ \left[\because\frac{2}{d}=\frac{e+c}{ce}\right]$

do ² (do + e) = as + do ² e

do ³ + do ² mi = as + do ² mi

c ³ = as

c2 ⁼ ae

Por lo tanto, probado.

Pregunta 20. Si a, b, c están en AP y a, x, b y b, y, c están en GP, demuestre que x ² , b ² , y ² están en AP

Solución:

Dado: a, b, c están en AP

2b = a + c -(1)

Además, a, x, b están en GP

x = ab-(2)

y b, y, c están en GP

y ² = bc -(3)

Ahora

2b ² = x ² + y ²

= (ab) + (bc) -(Usando la ecuación (2) y (3))

2b ² = b(a + c)

2b ² = b(2b) -(Usando eq(1))

2b ² = 2b ²

LHS = RHS

2b ² = x ² + y ²

Por lo tanto, x ² , b ² , y ² están en AP

Pregunta 21. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, demuestre que a, (a – b), (d – c) están en GP

Solución:

Dado: a, b, c están en AP

2b = a + c -(1)

Además, a, b, d están en GP

b ² = anuncio -(2)

Ahora

(a – b) ² = a(d – c) -(Usando eq(2))

a ² – 2ab = -ac

a ² – 2ab = ab – ac

a(a-b) = a(b-c)

a-b = a-c

2b = a + c

a + c = a + c, -(Usando eq(1))

LHS = RHS

Por lo tanto, a, (a – b), (d – c) están en GP

Pregunta 22. Si a, b, c son tres números reales en GP y a + b + c = xb, entonces demuestre que x < -1 o x > 3.

Solución:

Consideremos que r es la razón común de GP

Entonces, a, b = ar, c = ar ²

a + b + c = xb

a + ar + ar ² = x(ar)

a(1 + r + r ² ) = x(ar)

r2 ⁺ (1 – x)r + 1 = 0

Aquí, r es real, entonces

D ≥ 0

(1 – x) ² – 4(1)(1) ≥ 0

1 + x ² -2x – 4 ≥ 0

x2 – ^2x – 3 ≥ 0

(x – 3)(x + 1) ≥ 0

Por lo tanto, x < -1 o x > 3

Pregunta 23. Si los términos p ^th , q ^th y r ^th de a AP y GP son a, b y c respectivamente, demuestre que a ^b-c b ^c-a c ^a-b = 1.

Solución:

Consideremos que el AP sea A, A + D, A + 2D, …. y GP sea x, xR, xR ² ,

Después

a = A + (p – 1)D, B = A + (q – 1)D, c = A + (r – 1)D

a – b = (p – q)D, b – c = (q – r)D, c – a = (r – p)D

También a = XR ^p-1 , b = xR ^q-1 , c = xR ^r-1

Por lo tanto, a ^b-c .b ^c-a .c ^a-b = (xR ^p-1 ) ^(qr)D .(xR ^q-1 ) ^(rp)D .(xR ^r-1 ) ^(pq)D

= x ^{(q-r+r-p+pq)D} .R ^{[(p-1)(qr)+(q-1)(rp)+(r-1)(pq)]D}

= x ⁰ .R ⁰

= 1,1

= 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 20 Progresiones geométricas – Ejercicio 20.5 | conjunto 2

Pregunta 12. Si (a – b), (b – c), (c – a) están en GP, entonces demuestre que (a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca)

Pregunta 13. Si a, b, c están en GP, entonces demuestre que:

$\frac{a^2+ab+b^2}{bc + ca+ab}=\frac{b+a}{c+b}$

Pregunta 14. Si los términos 4 ^,¹⁰ y 16 de un ^GP son x, y y z respectivamente. Demostrar que x, y, z están en GP

Pregunta 15. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, entonces demuestre que a, a – b, d – c están en GP

Pregunta 16. Si los términos p ^th , q ^th , r ^th y s ^th de un AP están en GP, entonces demuestre que p – q, q – r, r – s están en GP

Pregunta 17. Si $\frac{1}{a+b},\frac{1}{2b},\frac{1}{b+c}$ son los tres términos consecutivos de un AP, demuestre que a, b, c son los tres términos consecutivos de un GP

Pregunta 18. Si x ^a = x ^b/2 z ^b/2 = z ^c , entonces demuestre que 1/a, 1/b, 1/c están en AP

Pregunta 19. Si a, b, c están en AP, b, c, d están en GP y 1/c, 1/d, 1/e están en AP, demuestre que a, c, e están en GP

Pregunta 20. Si a, b, c están en AP y a, x, b y b, y, c están en GP, demuestre que x ² , b ² , y ² están en AP

Pregunta 21. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, demuestre que a, (a – b), (d – c) están en GP

Pregunta 22. Si a, b, c son tres números reales en GP y a + b + c = xb, entonces demuestre que x < -1 o x > 3.

Pregunta 23. Si los términos p ^th , q ^th y r ^th de a AP y GP son a, b y c respectivamente, demuestre que a ^b-c b ^c-a c ^a-b = 1.

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Pregunta 12. Si (a – b), (b – c), (c – a) están en GP, ​​entonces demuestre que (a + b + c) 2 = 3(ab ​​+ bc + ca)

Pregunta 13. Si a, b, c están en GP, ​​entonces demuestre que:

Pregunta 14. Si los términos 4 , 10 y 16 de un GP son x, y y z respectivamente. Demostrar que x, y, z están en GP

Pregunta 15. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, ​​entonces demuestre que a, a – b, d – c están en GP

Pregunta 16. Si los términos p th , q th , r th y s th de un AP están en GP, ​​entonces demuestre que p – q, q – r, r – s están en GP

Pregunta 17. Si son los tres términos consecutivos de un AP, demuestre que a, b, c son los tres términos consecutivos de un GP

Pregunta 18. Si x a = x b/2 z b/2 = z c , entonces demuestre que 1/a, 1/b, 1/c están en AP

Pregunta 19. Si a, b, c están en AP, b, c, d están en GP y 1/c, 1/d, 1/e están en AP, demuestre que a, c, e están en GP

Pregunta 20. Si a, b, c están en AP y a, x, b y b, y, c están en GP, ​​demuestre que x 2 , b 2 , y 2 están en AP

Pregunta 21. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, ​​demuestre que a, (a – b), (d – c) están en GP

Pregunta 22. Si a, b, c son tres números reales en GP y a + b + c = xb, entonces demuestre que x < -1 o x > 3.

Pregunta 23. Si los términos p th , q th y r th de a AP y GP son a, b y c respectivamente, demuestre que a b-c b c-a c a-b = 1.

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Pregunta 12. Si (a – b), (b – c), (c – a) están en GP, entonces demuestre que (a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca)

Pregunta 13. Si a, b, c están en GP, entonces demuestre que:

Pregunta 14. Si los términos 4 ^,¹⁰ y 16 de un ^GP son x, y y z respectivamente. Demostrar que x, y, z están en GP

Pregunta 15. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, entonces demuestre que a, a – b, d – c están en GP

Pregunta 16. Si los términos p ^th , q ^th , r ^th y s ^th de un AP están en GP, entonces demuestre que p – q, q – r, r – s están en GP

Pregunta 17. Si $\frac{1}{a+b},\frac{1}{2b},\frac{1}{b+c}$ son los tres términos consecutivos de un AP, demuestre que a, b, c son los tres términos consecutivos de un GP

Pregunta 18. Si x ^a = x ^b/2 z ^b/2 = z ^c , entonces demuestre que 1/a, 1/b, 1/c están en AP

Pregunta 20. Si a, b, c están en AP y a, x, b y b, y, c están en GP, demuestre que x ² , b ² , y ² están en AP

Pregunta 21. Si a, b, c están en AP y a, b, d están en GP, demuestre que a, (a – b), (d – c) están en GP

Pregunta 23. Si los términos p ^th , q ^th y r ^th de a AP y GP son a, b y c respectivamente, demuestre que a ^b-c b ^c-a c ^a-b = 1.