Suma la siguiente serie en n términos:
Pregunta 1. 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [3 + (5 + 9 + 15 + 23 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(3 + 5 + 9 + 15 + 23 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 3 + [(5 – 3) + (9 – 5) + (15 – 9) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 3 + [2 + 4 + 6 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 2+ 4 + 6 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 2 y la diferencia común (d) = 4–2 = 2. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 3 + ( n –1) [2(2)+(n–2)2]/2
= 3+ (n–1) [4+2n–4]/2
= 3 + n(n–1)
= norte 2 – norte + 3
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 2. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [2 + (5 + 10 + 17 + 26 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(2 + 5 + 10 + 17 + 26 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 2 + [(5 – 2) + (10 – 5) + (17 – 10) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 2 + [3 + 5 + 7 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 3 + 5 + 7 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 3 y la diferencia común (d) = 5–3 = 2. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 2 + ( n –1) [2(3)+(n–2)2]/2
= 2+ (n–1) [6+2n–4]/2
= 2 + (n–1)(n+1)
= norte 2 – 1 + 2
= norte 2 + 1
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 3. 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [1 + (3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . + un n–1 + un)] – [(1 + 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 1 + [(3 – 1) + (7 – 3) + (13 – 7) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 1 + [2 + 4 + 6 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 2 + 4 + 6 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 2 y la diferencia común (d) = 4–2 = 2. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 1 + ( n –1) [2(2)+(n–2)2]/2
= 1+ (n–1) [4+2n–4]/2
= 1 + n(n–1)
= n2 – n + 1
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 4. 3 + 7 + 14 + 24 + 37 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 3 + 7 + 14 + 24 + 37 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 3 + 7 + 14 + 24 + 37 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 3 + 7 + 14 + 24 + 37 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [3 + (7 + 14 + 24 + 37 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(3 + 7 + 14 + 24 + 37 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 3 + [(7 – 3) + (14 – 7) + (24 – 14) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 3 + [4 + 7 + 10 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 4 + 7 + 10 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 4 y la diferencia común (d) = 7–4 = 3. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 3 + ( n –1) [2(4)+(n–2)3]/2
= 3+ (n–1) [8+3n–6]/2
= 3 + (n–1)(3n+2)/2
=
=
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 5. 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [1 + (3 + 6 + 10 + 15 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 1 + [(3 – 1) + (6 – 3) + (10 – 6) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 1 + [2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 2 y la diferencia común (d) = 3–2 = 1. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 1 + ( n –1) [2(2)+(n–2)1]/2
= 1+ (n–1) [4+n–2]/2
= 1 + (n–1)(n+2)/2
=
=
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 6. 1 + 4 + 13 + 40 + 121 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 1 + 4 + 13 + 40 + 121 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 1 + 4 + 13 + 40 + 121 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 1 + 4 + 13 + 40 + 121 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [1 + (4 + 13 + 40 + 121 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(1 + 4 + 13 + 40 + 121 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 1 + [(4 – 1) + (13 – 4) + (40 – 13) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 1 + [3 + 9 + 27 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 3 + 9 + 27 + . . . . (n–1) términos es un GP, con el primer término (a) = 3 y la razón común (r) = 9/3 = 3. Entonces, obtenemos,
=> un n = 1 + 3(3 n-1 –1)/(3–1)
= 1+ 3(3 n-1 –1)/2
= 1 + 3 n /2 – 3/2
= 3 n /2 – 1/2
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 7. 4 + 6 + 9 + 13 + 18 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 4 + 6 + 9 + 13 + 18 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 4 + 6 + 9 + 13 + 18 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 4 + 6 + 9 + 13 + 18 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [4 + (6 + 9 + 13 + 18 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(4 + 6 + 9 + 13 + 18 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 4 + [(6 – 4) + (9 – 6) + (13 – 9) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 4 + [2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 2 y la diferencia común (d) = 3–2 = 1. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 4 + ( n –1) [2(2)+(n–2)1]/2
= 4 + (n–1)(n+2)/2
=
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 8. 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + . . . . n términos
Solución:
Nos dan la serie: 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + . . . . n términos.
Tomemos S como la suma de esta serie. Por lo tanto,
S = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + . . . . + un norte–1 + un norte . . . .(1)
S = 2 + 4 + 7 + 11 + 16 + . . . . + un norte–2 + un norte–1 + un norte . . . .(2)
Al restar (2) de (1), obtenemos
=> S – S = [2 + (4 + 7 + 11 + 16 + . . . . + un n–1 + un n )] – [(2 + 4 + 7 + 11 + 16 + . . . . + un n–2 + un n–1 ) + un n ]
=> 0 = 2 + [(4 – 2) + (7 – 4) + (11 – 7) + . . . . + (un norte – un norte–1 )] – un norte
=> un norte = 2 + [2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos]
Como la serie 2 + 3 + 4 + . . . . (n–1) términos es un AP, con el primer término (a) = 2 y la diferencia común (d) = 3–2 = 1. Entonces, obtenemos,
=> un norte = 2 + ( n –1) [2(2)+(n–2)1]/2
= 2 + (n–1)(n+2)/2
=
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 9.
Solución:
El n -ésimo término de la serie dada sería,
un norte =
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Pregunta 10. a n términos.
Solución:
Nos dan el enésimo término de la serie dada,
un norte =
=
Ahora tenemos que sumar nuestro enésimo término para encontrar la suma (S n ) de esta serie.
=
=
=
=
Por tanto, la suma de la serie dada hasta n términos es .
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA