Pregunta 1. Encuentra la pendiente de las líneas que forman los siguientes ángulos con la dirección positiva del eje x:
(yo) -π/4
Solución:
Tenemos
θ = -π/4
Sea la pendiente de la recta ‘m’
Conocemos la pendiente m = tan θ
m = bronceado (-π/4)
= -1
Por lo tanto, Pendiente = -1
(ii) 2π/3
Solución:
Tenemos
θ = 2π/3
Sea la pendiente de la recta ‘m’
Conocemos la pendiente m = tan θ
m = bronceado (2π/3)
= bronceado (π – π/3)
= -tan π/3
= √3
Por lo tanto, Pendiente = √3
(iii) 3π/4
Solución:
Tenemos
θ = 3π/4
Sea la pendiente de la recta ‘m’
Conocemos la pendiente m = tan θ
m = bronceado (3π/4)
= bronceado (π – π/4)
= -tan π/4
= -1
Por lo tanto, Pendiente = -1
(iv) π/3
Solución:
Tenemos
θ = π/3
Sea la pendiente de la recta ‘m’
Conocemos la pendiente m = tan θ
m = bronceado (π/3)
= tan π/3
= √3
Por lo tanto, Pendiente = √3
Pregunta 2. Encuentra la pendiente de una línea que pasa por los siguientes puntos:
(i) (-3, 2) y (1, 4)
Solución:
Sea ‘m’ la pendiente de la recta
Entonces, la pendiente de la línea m = [4 – 2] / [1 – (-3)] [Usando: m = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
= 2/4
= 1/2
(ii) (en 2 1 , 2 en 1 ) y (en 2 2 , 2 en 2 )
Solución:
Pendiente de la línea ‘m’ = [ 2 en 2 – 2 en 1 ] / [en 2 2 – en 2 1 ]
= [ 2 en 2 – t 1 ] / [en 2 2 – t 2 1 ]
= 2a(t 2 – t 1 )/a(t 2 – t 1 )(t 2 + t 1 )
= 2/(t 2 + t 1 )
(iii) (3, -5) y (1, 2)
Solución:
Pendiente de la línea m = [2 – (-5)] / [1 – 3] [Usando: m = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
= 7/-2
= -7/2
Pregunta 3. Indique si las dos líneas en cada uno de los siguientes son paralelas, perpendiculares o ninguna.
(i) A través de (5, 6) y (2, 3); a través de (9, -2) y (6, -5)
Solución:
Sean A(5, 6), B(2, 3), C(9, -2) y D(6, -5) los puntos dados. Después
m1 = Pendiente de la recta AB
= [3 – 6] / [2 – 5]
= -3/-3
= 1
m2 = Pendiente de la línea CD
= [-5 – (-2)] / [6 – 9]
= -3/3
= -1
Claramente, m1 m2 = -1
Esto demuestra que AB es perpendicular a CD
(ii) A través de (9, 5) y (-1, 1); a través de (3, -5) y (8, -3)
Solución:
Sean A(9, 5), B(-1, 1), C(3, -5) y D(8, -3) los puntos dados. Después
m1 = Pendiente de la recta AB
= [1 – 5] / [-1 – 9]
= -4/-10
= 2/5
m2 = Pendiente de la línea CD
= [-3 – (-5)] / [8 – 3]
= 2/5
Claramente, m1 = m2
Esto demuestra que AB es paralelo a CD
(iii) a través de (6, 3) y (1, 1); a través de (-2, 5) y (2, -5)
Solución:
Sean A(6, 3), B(1, 1), C(-2, 5) y D(2, -5) los puntos dados. Después
m1 = Pendiente de la recta AB
= [1 – 3] / [1 – 6]
= -2/-5 = 2/5
m2 = Pendiente de la línea CD
= [-5 – 5] / [2 – (-2)]
= 10/4 = -5/2
Claramente, m1 m2 = -1
Esto demuestra que AB es perpendicular a CD
(iv) a través de (3, 15) y (16, 6); a través de (-5, 3) y (8, 2)
Solución:
Sean A(3, 15), B(16, 6), C(-5, 3) y D(8, 2) los puntos dados. Después
m1 = Pendiente de la recta AB
= [6 – 15] / [16 – 3]
= -9/13
m2 = Pendiente de la línea CD
= [2 – 3] / [8 – (-5)]
= -1/13
Claramente no vemos ninguna relación entre m1 y m2
Entonces, ni paralela ni perpendicular.
Pregunta 4. Encuentra las pendientes de una recta
(i) Que biseca el ángulo del primer cuadrante
Solución:
Tenemos Línea biseca el primer cuadrante
Sabemos que si la recta se biseca en el primer cuadrante, entonces
el ángulo debe estar entre la línea y la dirección positiva del eje x.
Dado que, ángulo = 90°/2 = 45°
Usando la fórmula,
Pendiente de la línea, m = tan θ
La pendiente de la recta para un ángulo dado es m = tan 45°
Entonces m = 1
∴ La pendiente de la recta es 1.
(ii) Que forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje y medido en sentido antihorario.
Solución:
Tenemos, La recta forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje y.
Sabemos que el ángulo entre la línea y el lado positivo del eje es 90° + 30° = 120°
Usando fórmula,
Pendiente de la línea, m = tan θ
La pendiente de la recta para el ángulo dado es m = 120°
Entonces, m =- √3
∴ La pendiente de la recta es – √3.
Pregunta 5. Usando el método de la pendiente, muestra que los siguientes puntos son colineales
(i) A (4, 8), B (5, 12), C (9, 28)
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la recta AB = [12 – 8] / [5 – 4]
= 4/1 = 4
Pendiente de la recta BC = [28 – 12] / [9 – 5]
= 16/4 = 4
Pendiente de la línea CA = [8 – 28] / [4 – 9]
= -20/-5 = 4
Claramente, AB = BC = CA
∴ Los puntos dados son colineales.
(ii) A (16, -18), B (3, -6), C (-10, 6)
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la recta AB = [-6 – (-18)] / [3 – 16]
= 12/-13 = -12/13
Pendiente de la recta BC = [6 – (-6)] / [-10 – 3]
= 12/-13 = -12/13
Pendiente de la recta CA = [6 – (-18)] / [-10 – 16]
= 12/-13 = -12/13
Claramente, AB = BC = CA
∴ Los puntos dados son colineales.
Pregunta 6. ¿Cuál es el valor de y para que la recta que pasa por (3, y) y (2, 7) sea paralela a la recta que pasa por (-1, 4) y (0, 6)?
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
La pendiente de la recta que une los puntos (-1, 4) y (0, 6) es
m1 =[ 6 – 4] / [0 – (-1)]
= 2
La pendiente de la línea que une los puntos (3, y) y (2, 7) es
m2 = [7 – y] / [2 – 3]
= y – 7
Como las dos rectas son paralelas m 1 = m 2
⇒ 2 = y – 7
⇒ y = 9
Pregunta 7. ¿Qué se puede decir de una recta si su pendiente es
(yo) cero
Solución:
Si pendiente = tanθ = 0
⇒ tanθ = tan0
⇒ θ = 0
Cuando la pendiente de una recta es cero, entonces la recta es paralela al eje x.
(ii) Positivo
Solución:
Cuando la pendiente es positiva, tanθ es positivo y θ es un ángulo agudo
por lo tanto, la línea forma un ángulo agudo (0<θ<π/2) con el eje x positivo.
(iii) Negativo
Solución:
Cuando la pendiente es negativa, tanθ es negativo y θ es un ángulo obtuso
por tanto, la recta forma un ángulo obtuso (θ>π/2) con el eje x positivo.
Pregunta 8. Muestre que la línea que une (2, -3) y (-5, 1) es paralela a la línea que une (7, -1) y (0, 3).
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
La pendiente de la recta que une los puntos (2, -3) y (-5, 1) es
metro1 = [ 1 – (-3)] / [(-5) – 2]
= 4/(-7) = -(4/7)
La pendiente de la recta que une los puntos (7, -1) y (0, 3) es
m2 = [3 – (-1)] / [0 – 7 ]
= 4/(-7) = -(4/7)
Como m 1 = m 2 , las dos rectas son paralelas
Pregunta 9. Demuestre que la línea que une (2, -5) y (-2, 5) es perpendicular a la línea que une (6, 3) y (1, 1).
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
La pendiente de la recta que une los puntos (2, -5) y (-2, 5) es
metro1 = [ 5 – (-5)] / [-2 – 2]
= -5/2
La pendiente de la recta que une los puntos (6, 3) y (1, 1) es
m2 = [1 – 3] / [1 – 6 ]
= 2/5
metro 1 × metro 2 = [-5/2] × [2/5]
= -1
∴ Las dos rectas dadas son perpendiculares entre sí.
Pregunta 10. Sin usar el teorema de Pitágoras, demuestre que los puntos A (0, 4), B (1, 2) y C (3, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo.
Solución:
Usando la fórmula,
Pendiente de la recta = [y 2 – y 1 ] / [x 2 – x 1 ]
Pendiente de la recta AB = [2 – 4] / [1 – 0]
= -2
Pendiente de la recta BC = [3 – 2] / [3 – 1]
= 1/2
Pendiente de AB pendiente de BC = (-2) × (1/2) = -1
∴ Ángulo entre AB y BC = π/2
∴ ABC son los vértices de un triángulo rectángulo.
Pregunta 11. Demuestra que los puntos (-4, -1), (-2, -4), (4, 0) y (2, 3) son los vértices de un rectángulo.
Solución:
Sean A(-4, -1), B(-2, -4), C(4, 0) y D(2, 3) los vértices del rectángulo
Pendiente de la recta AB = [-4 + 1] / [-2 + 4]
m1 = -3/2
Pendiente de la línea BC = [0 + 4] / [4 + 2]
m2 = 2/3
Pendiente de la línea CD = [3 – 0] / [2 – 4]
m3 = -3/2
Pendiente de la recta AD = [3 + 1] / [2 + 4]
m4 = 2/3
Vemos m1 = m3 y m2 = m4
∴ AB || CD y BC || ANUNCIO
Además, m1 × m2 = -1, m2 × m3 = -1 y m3 × m4 = -1
∴AB⊥BC, BC⊥CD y CD⊥AD
Así dado conjunto de puntos son los vértices de un rectángulo.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA