Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas- Ejercicio 23.10

Pregunta 11. Encuentra el ortocentro del triángulo cuyas ecuaciones son x + y = 1, 2x + 3y = 6 y 4x – y + 4 = 0.

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo, en el que A, B y C son los vértices del triángulo.

Entonces de acuerdo a la pregunta

AB = x + y = 1

BC = 2x + 3y = 6

CA = 4x – y + 4

punto B(-3, 4)

UN(-3/5, 8/5)

Ahora la altura de A a BC es

$y-\frac{8}{5}=\frac{3}{2}(x+\frac{3}{5})$

10y – 16 = 151x + 9

15x – 10y + 25 = 0

3x – 2y + 5 = 0

De manera similar, la altitud de B a AC dada por

y-4 = -1/4(x + 3)

4y – 16 = -x -3

4y – 16 = -x – 3

x + 4 – 13 = 0

Al resolver las ecuaciones (4) y (5) obtenemos

ortocentro del triángulo, es decir, O(3/7, 22/7)

Pregunta 12. Los lados AB, BC y CA de un triángulo ABC son 5x – 3y + 2 = 0, x – 3y – 2 = 0 y x + y – 6 = 0 respectivamente. Encuentra la ecuación de la altura a través del vértice A.

Solución:

Según la pregunta

ABC es un triángulo en el que las ecuaciones de los lados son:

AB = 5x – 3y + 2 = 0

BC = x – 3y – 2 = 0

CA = x + y – 6 = 0

Al resolver las ecuaciones anteriores de AB, BC y CA obtenemos

las coordenadas de los vértices del triángulo ABC

B = (-1, -1)

A = (2, 4)

C = (5, 1)

Ahora la pendiente de BC = 1/3 luego la pendiente de AE = -3

Pendiente de AC = -1 entonces la pendiente de BD = 1

Pendiente de AB = 5/3 luego la pendiente de CF = -3/5

Supongamos que AD, BE, CF son altitudes de ∆ABC

Entonces, la ecuación es

BD = y + 1 = 1(x + 1) ⇒ x – y = 0

AE = y – 4 = -3(x – 2) ⇒ 3x + y = 10

FC = y – 1 = $\frac{-3}{5}(x-5)$ ⇒ 3x + 5y = 20

Por lo tanto, la ecuación de la altura a través del vértice A es 3x + y = 10

Pregunta 13. Encuentra las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son (-1, 3), (2, -1) y (0, 0).

Solución:

Consideremos que ABC es un triángulo cuyos vértices son A(-1, 3), B(2, -1) y D(0, 0).

Aquí, AD ⊥ BC, CF ⊥ AB y BE ⊥ AC

Supongamos que O es el ortocentro del triángulo

Entonces, O(h, k)

Ahora, AO⊥BC

(pendiente de AO) * (pendiente de BC) = -1

$(\frac{k-3}{h+1})(\frac{0+1}{0-2})=-1$

k-3 = 2(h + 1)

k-2h = 5

Y BO ⊥ AC

(pendiente de BO) * (pendiente de AC) = -1

$(\frac{k+1}{h-2})(\frac{0-3}{0+1})=-1$

3(k + 1) = h – 2

3k – h = -5

Ahora de la ecuación (1) y (2), obtenemos que el ortocentro O del triángulo es (-4,-3)

Pregunta 14. Encuentra las coordenadas del incentro y baricentro del triángulo cuyos lados tienen las ecuaciones 3x – 4y = 0, 12y + 5x = 0 y y – 15 = 0.

Solución:

Consideremos ABC el triángulo cuyos lados BC, CA y AB tienen las ecuaciones

BC = y – 15 = 0

CA = 3x – 4y = 0

AB = 5x + 12y = 0

Al resolver las ecuaciones anteriores obtenemos

A(0, 0), B(-36, 15), C(20, 15)

Ahora el centroide $(\frac{-36+20+0}{3},\frac{15+15+0}{3})=(\frac{-16}{3},10)$

Para el centro, tenemos

a = BC = $\sqrt{56^2+0}=56$

b = CA = $\sqrt{20^2+15^2}=25$

c = AB = $\sqrt{36^2+16^2}=39$

Ahora las coordenadas de incentro son

$(\frac{56*0+25*-36+39*20}{36+25+39},\frac{56*0+25*15+39*15}{36+25+39})$

= (-1, 8)

Pregunta 15. Demuestra que las rectas √3x + y = 0, √3y + x = 0, √3x + y = 1 y √3y + x = 1 forman un rombo.

Solución:

Consideremos ABCD como un cuadrilátero de lados AB, BC, CD, BA como

√3x + y = 0, √3y + x = 0, √3x + y = 1 y √3y + x = 1

Entonces, la pendiente de AB = -√3

La pendiente de BC = -1/√3

La pendiente de CD = -√3

La pendiente de DA = -1/√3

De la ecuación (1), (2), (3) y (4) concluimos que los lados opuestos de la pendiente del cuadrilátero son iguales.

Entonces, los lados opuestos son paralelos.

Por lo tanto, ABCD es un paralelogramo.

También concluimos que la distancia entre (AD y BC) y (DC y AB) es igual = 1 unidad

Entonces, lados AD = AB = DC

Por lo tanto, el ABCD es un rombo.

Por lo tanto, demostrado

Pregunta 16. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3x + y = 5 y x + 3y + 8 = 0 y paralela a la recta 3x + 4y = 7.

Solución:

Dado que las ecuaciones de las rectas son:

2x + y = 5

x + 3y + 8 = 0

Al resolver las ecuaciones anteriores obtenemos el

punto de intersección (23/5, -12/5)

Se da que la recta es paralela a 3x + 4y = 7 y pasa por el punto anterior (23/5, -12/5)

Entonces la ecuación de la recta es

$y+\frac{21}{5}=\frac{-3}{4}(x-\frac{23}{5})$

20y + 84 = -15x + 69

15x + 20y + 15 = 0

3x + 4y + 3 = 0

Pregunta 17. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 5x – 6y – 1 = 0 y perpendicular a la recta 3x – 5y + 11 = 0.

Solución:

Dado que las ecuaciones de las rectas son:

5x – 6y – 1 = 0

2 años + 5 = 0

Al resolver las ecuaciones anteriores obtenemos el

punto de intersección (-1, 1)

Se da que la recta es perpendicular a 3x – 5y + 11 = 0 y pasa por el punto anterior (-1, 1)

Entonces, la ecuación de la recta es

(y+1) = -5/3(x+1)

3y + 5x + 8 = 0

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Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas- Ejercicio 23.10 | conjunto 2

Pregunta 11. Encuentra el ortocentro del triángulo cuyas ecuaciones son x + y = 1, 2x + 3y = 6 y 4x – y + 4 = 0.

Pregunta 12. Los lados AB, BC y CA de un triángulo ABC son 5x – 3y + 2 = 0, x – 3y – 2 = 0 y x + y – 6 = 0 respectivamente. Encuentra la ecuación de la altura a través del vértice A.

Pregunta 13. Encuentra las coordenadas del ortocentro del triángulo cuyos vértices son (-1, 3), (2, -1) y (0, 0).

Pregunta 14. Encuentra las coordenadas del incentro y baricentro del triángulo cuyos lados tienen las ecuaciones 3x – 4y = 0, 12y + 5x = 0 y y – 15 = 0.

Pregunta 15. Demuestra que las rectas √3x + y = 0, √3y + x = 0, √3x + y = 1 y √3y + x = 1 forman un rombo.

Pregunta 16. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3x + y = 5 y x + 3y + 8 = 0 y paralela a la recta 3x + 4y = 7.

Pregunta 17. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 5x – 6y – 1 = 0 y perpendicular a la recta 3x – 5y + 11 = 0.

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