Pregunta 1: Demuestre que los siguientes conjuntos de tres líneas son concurrentes:
(i) 15x – 18y + 1 = 0, 12x + 10y – 3 = 0 y 6x + 66y – 11 = 0
(ii) 3x – 5y – 11 = 0, 5x + 3y – 7 = 0 y x + 2y = 0
Solución:
(i) 15x – 18y + 1 = 0, 12x + 10y – 3 = 0 y 6x + 66y – 11 = 0
Dado:
15x – 18y + 1 = 0 …… (yo)
12x + 10y – 3 = 0 …… (ii)
6x + 66y – 11 = 0 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
De la ecuación (i) obtenemos,
x = (18 años – 1)/15
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (ii)
12 [(18 años – 1)/15] + 10 años – 3 = 0
216 años – 12 + 150 años – 45 = 0
366y = 57
y = 57/366 = 19/122
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = (18 años – 1)/15
x = (18(19/122) – 1)/15
x = (342 – 122) / (122 × 15)
x = (342 – 122) / 1730
x = 220/1730
x = 22/173
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iii), obtenemos,
6(22/173) + 66(19/122) – 11 = 0
(6 × 22 × 122) + (66 × 19 × 173) – (11 × 173 × 122) = 0
320 – 2052 + 732 = 0
0 = 0
Por lo tanto, las líneas dadas son concurrentes.
(ii) 3x – 5y – 11 = 0, 5x + 3y – 7 = 0 y x + 2y = 0
Dado:
3x − 5y − 11 = 0 …… (yo)
5x + 3y − 7 = 0 …… (ii)
x + 2y = 0 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (ii) y (iii), obtenemos,
De la ecuación (iii) obtenemos,
x = -2y
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (ii)
5(-2y) + 3y – 7 = 0
-10 años + 3 años – 7 = 0
-7y = 7
y = -1
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = -2y
x = -2(-1)
x = 2
Ahora sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (i), obtenemos,
3(2) − 5(-1) − 11 = 0
6 + 5 – 11 = 0
11 – 11 = 0
0 = 0
Por lo tanto, las líneas dadas son concurrentes.
Pregunta 2: ¿Para qué valor de λ son concurrentes las tres líneas 2x – 5y + 3 = 0, 5x – 9y + λ = 0 y x – 2y + 1 = 0?
Solución:
Dado:
2x − 5y + 3 = 0 …… (yo)
5x − 9y + λ = 0 …… (ii)
x − 2y + 1 = 0 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (i) y (iii), obtenemos,
De la ecuación (i) obtenemos,
2x = 5y – 3
x = (5y – 3)/2
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (iii)
[(5y – 3)/2] – 2y + 1 = 0
5 años – 3 – 4 años + 2 = 0
y = 1
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = (5y – 3)/2
x = (5 – 3)/2
x = 2/2
X = 1
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (ii), obtenemos,
5(1) – 9(1) + λ = 0
5 – 9 + λ = 0
λ = 4
Por lo tanto, el valor de λ es 4.
Pregunta 3: Encuentra las condiciones que las rectas y = m 1 x + c 1 , y = m 2 x + c 2 e y = m 3 x + c 3 pueden cumplir en un punto.
Solución:
Dado:
m 1 x – y + c 1 = 0 …… (1)
metro 2 x – y + c 2 = 0 …… (2)
m 3 x – y + c 3 = 0 …… (3)
Resolviendo la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
metro 1 x – y + c 1 = metro 2 x – y + c 2
metro 1 x + do 1 = metro 2 x + do 2
metro 1 x – metro 2 x = do 2 – do 1
x(m 1 – m 2 ) = do 2 – do 1
x = (c 2 – c 1 )/(m 1 – m 2 )
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (i)
y = metro 1 [(do 2 – do 1 )/(metro 1 – metro 2 )] + do 1
y = metro 1 do 2 – metro 1 do 1 + metro 1 do 1 – metro 2 do 1
y = metro 1 do 2 – metro 2 do 1
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iii), obtenemos,
m 3 x – y + c 3 = 0
y = metro 3 x + c 3
metro 1 do 2 – metro 2 do 1 = metro 3 [(do 2 – do 1 )/(metro 1 – metro 2 )] + do 3
metro 1 2 do 2 – metro 1 metro 2 do 1 + metro 1 metro 2 do 2 – metro 2 2 do 1 = metro 3 do 2 – metro 3 do 1 + metro 1 do 3 – metro 2 do 3
metro 1 2 do 2 – metro 1 do 3 – metro 2 2 do 1 + metro 2 do 3 – metro 3 do 2 + metro 3 do 1 = 0
metro 1 (do 2 – do 3 ) + metro 2 (do 3 – do 1 ) + metro 3 (do 1 – do 2 ) = 0
Por lo tanto, la condición requerida es m 1 (c 2 – c 3 ) + m 2 (c 3 – c 1 ) + m 3 (c 1 – c 2 ) = 0
Pregunta 4: Si las líneas p 1 x + q 1 y = 1, p 2 x + q 2 y = 1 y p 3 x + q 3 y = 1 son concurrentes, demuestre que los puntos (p 1 , q 1 ), (p 2 , q 2 ) y (p 3 , q 3 ) son colineales.
Solución:
Dado:
p 1 x + q 1 y = 1 …… (i)
p 2 x + q 2 y = 1 …… (ii)
p 3 x + q 3 y = 1 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
De la ecuación (i) obtenemos,
x = (1 – q 1 y)/p 1
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (ii)
p 2 [(1 – q 1 y)/p 1 ] + q 2 y = 1
pag 2 – pag 2 q 1 y + pag 1 q 2 y = pag 1
y(pag 1 q 2 – pag 2 q 1 ) = pag 1 – pag 2
y = (pag 1 – pag 2 )/(pag 1 q 2 – pag 2 q 1 )
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = (1 – q 1 y)/p 1
x = (1 – q 1 [(p 1 – p 2 )/(p 1 q 2 – p 2 q 1 )])/p 1
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iii), obtenemos,
p 3 [(p 1 q 2 – p 2 q 1 – q 1 (p 1 – p 2 )(p 1 q 2 – p 2 q 1 ))] + q 3 p 1 (p 1 – p 2 ) = 1
(p 1 p 3 q 2 – p 2 p 3 q 1 – p 1 p 3 q 1 + p 2 p 3 q 1 )(p 1 q 1 – p 2 q 1 ) + q 3 p 1 (p 1 – p 2 ) = 1
(pag 1 pag 3 q 2 – pag 1 pag 3 q 1 )(pag 1 q 2 – pag 2 q 1 ) + q 3 pag 1 2 – q 3 pag 1 pag 2 = 1
p 1 2 p 3 q 2 2 – p 1 p 2 p 3 q 1 q 2 – p 1 2 p 3 q 1 q 2 + p 1 p 2 p 3 q 1 2 + q 3 p 1 p 2 = 1 …… (iv)
Además, si asumimos que los puntos (p 1 , q 1 )(p 2 , q 2 )(p 3 , q 3 ) son colineales
Por lo tanto,
p 1 (q 2 – q 3 ) + p 2 (q 3 – q 1 ) + p 3 (q 1 – q 3 ) = 0
Ahora de la ecuación (iv) obtenemos,
p 1 [p 1 p 3 q 2 2 – p 2 p 3 q 1 q 2 – p 1 p 3 q 1 q 2 + p 2 p 3 q 1 2 + q 3 p 2 ] = 1
p 1 [p 3 q 2 (p 1 q 2 – p 2 q 1 ) – p 3 q 1 (p 1 q 2 – p 2 q 1 ) + q 3 (p 1 – p 2 )] = 1
Por lo tanto, los puntos dados, (p 1 , q 1 ), (p 2 , q 2 ) y (p 3 , q 3 ) son colineales.
Pregunta 5: Demostrar que las rectas L 1 = (b + c)x + ay + 1 = 0, L 2 = (c + a)x + by + 1 = 0 y L 3 = (a + b)x + cy + 1 = 0 son concurrentes.
Solución:
Dado:
L1 = (b + c)x + ay + 1 = 0 …… (i)
L 2 = (c + a)x + by + 1 = 0 …… (ii)
L3 = (a + b)x + cy + 1 = 0 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
De la ecuación (i) obtenemos,
y = (-1 – (b + c)x)/a
Ahora sustituyendo el valor de y en la ecuación (ii)
(c + a)x + b[(-1 – (b + c)x)/a] + 1 = 0
(c + a)x + b[(-1 – (bx + cx)/a] + 1 = 0
cx + hacha + b[(-1 – (bx + cx)/a] + 1 = 0
acx + a 2 x – b – b 2 x + bcx + a = 0
x(ac + a 2 – b 2 + bc) = b – a
x(c(a – b) + (a – b)(a + b)) = b – a
x(a – b)(c + a + b) = -(a – b) [Dividiendo ambos lados por (a – b)]
x(c + a + b) = -1
x = -1/(a + b + c)
Ahora sustituyendo el valor de x en y, es decir
y = (-1 – (b + c)x)/a
y = (-1 – (b + c)[-1/(a + b + c)])/a
y = (-(a + b + c) + b + c)/a(a + b + c)
y = (-a – b – c + b + c)/a(a + b + c)
y = (-a)/a(a + b + c)
y = -1/(a + b + c)
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iii), obtenemos,
(a + b)[-1/(a + b + c)] + c[-1/(a + b + c)]+ 1 = 0
-a – b – c + a + b + c = 0
0 = 0
Por lo tanto, las líneas dadas son concurrentes.
Pregunta 6: Si las tres líneas ax + a 2 y + 1 = 0, bx + b 2 y + 1 = 0 y cx + c 2 y + 1= 0 son concurrentes, demuestre que al menos dos de las tres constantes a, b, c son iguales.
Solución:
Dado:
hacha + a 2 y + 1 = 0 …… (i)
bx + b 2 y + 1 = 0 …… (ii)
cx + c 2 y + 1= 0 …… (iii)
Resolviendo la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
De la ecuación (i) obtenemos,
x = (-1 – a 2 y)/a
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (ii)
b[(-1 – a 2 y)/a] + b 2 y + 1 = 0
-b – a 2 por + ab 2 y + a = 0
aby(b – a) = b – a [Dividiendo ambos lados por (b – a)]
aby = 1
y = 1/ab
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = (-1 – a 2 y)/a
x = (-1 -a 2 (1/ab))/a
x = (-b – a)/ba
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iii), obtenemos,
c[(-b – a)/ba] + c 2 (1/ab) + 1 = 0
-bc – ac + c 2 + ab = 0
c(c – b) – a(c – b) = 0
(c – b)(c – a) = 0
c-b = 0
c = segundo
o
c-a = 0
c = un
Por lo tanto, al menos dos de las tres constantes a, b, c son iguales.
Pregunta 7: Si a, b, c están en AP , demuestre que las rectas ax + 2y + 1 = 0, bx + 3y + 1 = 0 y cx + 4y + 1 = 0 son concurrentes.
Solución:
Dado si a, b, c están en AP
Por lo tanto, b – a = c – b
2b = a + c [Diferencia común] …… (i)
También dado:
hacha + 2y + 1 = 0 …… (ii)
bx + 3y + 1 = 0 …… (iii)
cx + 4y + 1 = 0 …… (iv)
Resolviendo la ecuación (ii) y (iii), obtenemos,
De la ecuación (ii) obtenemos,
x = (-1 – 2 años)/a
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación (iii)
b[(-1 – 2y)/a] + 3y + 1 = 0
-b – 2por + 3ay + a = 0
y(3a – 2b) = b – un
y = (b – a)/(3a – 2b)
Ahora reemplazando el valor de y en x ie
x = (-1 – 2 años)/a
x = (-1 – 2[(b – a)/(3a – 2b)])/a
x = (-(3a – 2b) – 2b + 2a)/a(3a – 2b)
x = -1/(3a – 2b)
Ahora, sustituyendo el valor de x e y en la ecuación (iv), obtenemos,
c[-1/(3a – 2b)] + 4[(b – a)/(3a – 2b)] + 1 = 0
-c + 4b – 4a + 3a – 2b = 0
-a + 2b – c = 0
De la ecuación (i) sabemos, 2b = a + c,
Así, -a + a + c – c = 0
0 = 0
Por lo tanto, las líneas dadas son concurrentes.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA