Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas – Ejercicio 23.13

Pregunta 1: Encuentra los ángulos entre cada uno de los siguientes pares de líneas rectas.

(yo) 3x+y+12=0 y x+2y-1=0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son,3x + y + 12 = 0, x + 2y -1 = 0

Sean m 1 ym 2 las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos m 1 =-3 y m 2 =-1/2

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Mediante el uso de la fórmula \tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

\tan\theta=|\frac{(-3+\frac{1}{2})}{1+\frac{3}{2}}|

|\frac{-5/2}{5/2}|

⇒ 1

Por lo tanto,\theta=\tan^{-1}(1)

Los ángulos entre las dos líneas es de 45° .

(ii) 3x-y+5 = 0 y x-3y+1 = 0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son 3x – y + 5 = 0, x – 3y +1 = 0

Sean m 1 y m 2 las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos m 1 =3 y m 2 =1/3

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos,\tan\theta=|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

\tan\theta=|\frac{(3-\frac{1}{3})}{1+1}|

\frac{4}{3}

Por lo tanto,\theta=\tan^{-1}(\frac{4}{3})

El ángulo entre las dos rectas es\tan^{-1}(\frac{4}{3})

(iii) 3x+4y -7 = 0 y 4x-3y+5 = 0

Solución:

Las ecuaciones dadas de las rectas son 3x + 4y – 7 = 0, 4x – 3y+5 = 0

Sean m 1 ym 2 las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y= mx +c, obtenemos m 1\frac{-3}{4} y m 2\frac{4}{3}

Aquí, si observamos cuidadosamente, m 1 m 2 = -1 , lo que significa

A partir de la fórmula \tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| el denominador se convertirá en 0,

Por lo tanto  \tan\theta=\infty ,\theta=\tan^{-1}(\infty)

El ángulo entre las dos líneas es de 90°.

(iv) x-4y = 3 y 6x-y = 11

Solución:

Las ecuaciones dadas de las líneas son x – 4y =3, 6x – y =11

Sean m 1 ym 2 las pendientes de estas rectas respectivamente.

Por y = mx +c, obtenemos , m 1 = 1/4 y m 2 = 6

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos,\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

|\frac{\frac{1}{4}-6}{1+\frac{3}{2}}|

|\frac{\frac{-23}{4}}{\frac{5}{2}}|

\frac{23}{10}

Por lo tanto,\theta=\tan^{-1}(\frac{23}{10})

El ángulo entre las dos rectas es\tan^{-1}(\frac{23}{10})

(v) (m 2 -mn)y = (mn+n 2 )x + n 3 y (mn+m 2 )y = (mn-n 2 )x + m 3

Solución:

Dadas dos rectas, sean m 1 ym 2 las pendientes de estas rectas.

Por y = mx +c, obtenemos m 1\frac{mn+m^2}{m^2-mn} y m 2\frac{mn-n^2}{m^2+mn}

Sea θ el ángulo entre dos rectas,

Lo sabemos\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

⇒ |\frac{\frac{mn+n^2}{m^2-mn}-\frac{mn-n^2}{m^2+mn}}{1+\frac{(mn+n^2)(mn-n^2)}{{(m^2-nm)(m^2+mn)}}}|

|\frac{(m^3n+m^2n^2+m^2n^2+m^3n-mn^3+m^2n^2+m^2n^2-mn^3)}{(m^4-n^4)}|

\frac{4m^2n^2}{m^4-n^4}

Por lo tanto, el ángulo entre dos rectas es \tan^{-1}(\frac{4m^2n^2}{m^4-n^4}) .

Pregunta 2: Encuentra el ángulo agudo entre las líneas 2x-y+3 = 0 y x+y+2 = 0

Solución:

Sean m 1 ym 2 las pendientes de estas dos rectas

Por y = mx +c, obtenemos m 1 =2 y m 2 =-1

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos,\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

⇒ |\frac{2-(-1)}{(1-2)}|

⇒ |\frac{3}{(-1)}|

Aquí necesitamos un ángulo agudo, \tan\theta es positivo si el ángulo es agudo y negativo si es obtuso.

Por lo tanto, \theta=\tan^{-1}(3) .

El ángulo agudo entre las dos rectas es \tan^{-1}(3) .

Pregunta 3: Demuestra que los puntos (2, -1), (0, 2), (2, 3) y (4, 0) son las coordenadas de los vértices de un paralelogramo y encuentra el ángulo entre sus diagonales.

Solución:

Sean los puntos dados A = (2,-1), B = (0, 2), C = (2, 3) y D = (4, 0) son coordenadas de un paralelogramo.

Para que estos puntos formen un paralelogramo, es necesario que cualquier par de dos rectas formadas por estos puntos sean paralelas entre sí .

Entonces, ahora encontremos las pendientes de las líneas AB, BC, CD, DA usando la fórmulam =\frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}

Pendiente de línea AB = \frac{-3}{2}

Pendiente de línea BC =\frac{1}{2}

Pendiente de línea CD = \frac{-3}{2}

Pendiente de línea DA = \frac{1}{2}

Como las líneas AB son paralelas a CD y BC son paralelas a DA , los puntos forman un paralelogramo.

Ahora, Ángulo entre las diagonales del paralelogramo = Ángulo entre las rectas AC y BD.

Sean m 1 ym 2 las pendientes de estas rectas,

De la figura, el ángulo entre las diagonales∅ = \tan^{-1}(\frac{-1}{2})-90°

Lo sabemos\tan^{-1}\theta+\tan^{-1}-\theta=\pi

⇒ ∅=180°-\tan^{-1}(\frac{1}{2})-90°=90°-\tan^{-1}(\frac{1}{2})

Por lo tanto, el ángulo entre las diagonales es \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(\frac{1}{2})

Pregunta 4: Encuentra los ángulos entre la línea que une los puntos (2, 0), (0, 3) y la línea x + y = 1.

Solución:

Sea la pendiente de la recta que une los puntos (2, 0) y (0, 3) m 1 = -3/2

pendiente de la recta m 2 =-1

Sea θ el ángulo entre las dos rectas,

Lo sabemos,\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

|\frac{\frac{-3}{2}+1}{1+\frac{3}{2}}|

\frac{1}{5}

Por tanto, el ángulo agudo entre la recta y la recta que une los puntos es\tan^{-1}(\frac{1}{5})

Pregunta 5: Si θ es el ángulo que subtiende en el origen la recta que une los puntos (x1,y1)y (x2,y2), demostrar que \tan\theta=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1x_2+y_1y_2} y\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^1)(x_2^2+y_2^2)}}

Solución:

Sean los puntos A = (x 1 , y 1 ), B = (x 2 , y 2 ) y origen O = (0, 0)

Las pendientes de las rectas que unen OA y OB son m 1 = y 1 /x 1 y m 2 = y 2 /x 2

Sea θ el ángulo entre las rectas OA y OB.

Lo sabemos,\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

|\frac{(\frac{y_1}{x_1}-\frac{y_2}{x_2})}{(1+\frac{y_1y_2}{x_1x_2}}|

Por lo tanto,\tan\theta=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_1x_2+y_1y_2}

Por la fórmula \sec^2\theta-\tan^2\theta=1 , obtenemos\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}

Sustituyendo Tanθ de la ecuación anterior, obtenemos,

\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^1)(x_2^2+y_2^2)}}

Por lo tanto, por lo tanto probado.

Pregunta 6: Demuestra que las rectas(a+ b)x+(a – b)y=2ab, (a – b)x+(a + b)y=2ab y x + y=0 forman un triángulo isósceles cuyo ángulo vertical es2\tan^{-1}(\frac{a}{b})

Solución:

Sean m1, m2, m3 las pendientes de las rectas dadas respectivamente.

metro 1\frac{-(a+b)}{a-b}, metro 2\frac{-(a-b)}{a+b} y metro 3 = -1

Sean θ 1 , θ 2 , θ 3 los ángulos entre las rectas

Ahora, \tan\theta_1 =|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

|\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{2(a^2-b^2)}|

|\frac{2ab}{a^2-b^2}| |\frac{2\frac{a}{b}}{1-(\frac{a}{b})^2}|

Sabemos que \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}, usando esta ecuación anterior

⇒ \theta_1=2\tan^{-1}(\frac{a}{b})

\tan\theta_2 =|\frac{m_2 - m_3}{1 + m_2m_3}|

\frac{(-a + b +a + b)}{2a}⇒\frac{a}{b}

\theta_2=\tan^{-1}(\frac{b}{a})

\tan\theta_3 =|\frac{m_3 - m_1}{1 + m_3m_1}|

\frac{(-a + b +a + b)}{2a}⇒\frac{a}{b}

\theta_3=\tan^{-1}(\frac{b}{a})

Aquí, el ángulo θ 2 y θ 3 son iguales, y θ 1 es el ángulo vertical

Por lo tanto, las líneas dadas forman un triángulo isósceles con ángulo vertical2\tan^{-1}(\frac{a}{b})

Pregunta 7: Encuentra el ángulo entre las líneas x = a, por + c = 0

Solución:

Las líneas dadas tienen la forma de x = constante y y = constante respectivamente

donde x=c y y= -c/b

x = la línea c es paralela al eje y ya que no hay coeficiente y

y=\frac{-c}{b} es paralelo al eje x ya que no hay coeficiente x

Por lo tanto, el ángulo entre las dos líneas es de 90°

Pregunta 8: Encuentra la tangente del ángulo entre las líneas que tienen intersecciones 3, 4 y 1, 8 en los ejes respectivamente.

Solución:

La ecuación de la línea que tiene intersecciones a, b en los ejes x e y es\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Por lo tanto, la recta con intersecciones 3,4 es\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1

y la línea con intersecciones 1, 8 es\frac{x}{1}+\frac{y}{8}=1

sean 1 y m 2 las pendientes de estas rectas,

m 1\frac{-4}{3} y m 2 = -8

Ahora, sea θ el ángulo entre las rectas,

\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

⇒ |\frac{\frac{-4}{3}+8}{1+\frac{32}{3}}|

⇒  \frac{20}{35} ⇒ \frac{4}{7}

Por lo tanto, la tangente del ángulo entre las rectas es 4/7

Pregunta 9: Muestre que la línea a 2 x+ay+1 = 0 es perpendicular a la línea x-ay = 1

Solución:

Sean m 1 ym 2 las pendientes de las rectas dadas,m 1 =-a ym 2 =1/a

Aquí, si observamos cuidadosamente,m 1 m 2 =-1, lo que significa

De la fórmula \tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| , el denominador se convertirá en 0 ,

Por lo tanto, \tan\theta = \infty \theta = \tan^{-1}(\infty)\ ⇒ 90° .

El ángulo entre las dos líneas es de 90° y son perpendiculares entre sí.

Por lo tanto, Por lo tanto probado.

Pregunta 10: Muestre que la tangente de un ángulo entre las rectas \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 y \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 es \frac{2ab}{a^2-b^2} .

Solución:

Líneas dadas, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 ⇒ bx + ay = ab

\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1 ⇒ bx-ay = ab

Sean las pendientes de estas rectas m 1 ym 2 respectivamente.

m_1=\frac{-b}{a} ym_2=\frac{b}{a}

Ahora, sea θ el ángulo entre las rectas,

\tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|

|\frac{\frac{-b}{a}-\frac{b}{a}}{1 + \frac{b^2}{a^2}}|

| \frac{2ab}{{a^2}-{b^2}}|

Por lo tanto, la tangente del ángulo entre las rectas es\frac{2ab}{a^2-b^2}

Por lo tanto, probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por srinivasteja18 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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