Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas – Ejercicio 23.15

Pregunta 1. Encuentra la distancia del punto (4, 5) de la línea recta 3x – 5y + 7 = 0

Solución:

De la pregunta, tenemos,

La recta: 3x – 5y + 7 = 0

Al comparar ax + by + c = 0 y 3x − 5y + 7 = 0, 

a = 3, b = − 5 y c = 7

Entonces, la distancia del punto (4, 5) a la línea recta 3x − 5y + 7 = 0 es

d = |(3 × 4 – 5 × 5 + 7)/√3 ² + (-5 ² ) |

Por lo tanto, la distancia (d) es 6/√34

Pregunta 2. Encuentra la distancia perpendicular de la línea que une los puntos (cos θ, sen θ) y (cos ϕ, sen ϕ) desde el origen.

Solución:

Según la pregunta

Los puntos son: (cos θ, sen θ) y (cosϕ, sen ϕ).

La ecuación de la recta que une los puntos (cos θ, sen θ) y (cos ϕ, sen ϕ),

y – sen θ = (senϕ – sen θ) / (cosϕ – cos θ) (x – cos θ)

(cosϕ – cos θ)y – sen θ(cosϕ – cos θ) = (senϕ – sen θ)x – (senϕ – sen θ)cos θ

Consideremos D la distancia perpendicular del origen a la recta

(senϕ – sen θ)x – (cosϕ – cos θ)y + senθcosϕ – senϕcos θ = 0

D = |( sen θ – ϕ)/ √ (senϕ – sen θ) ² + (cosϕ – cos θ) ² )|

= |(sen θ – ϕ) / sen ² ϕ + sen ² θ – 2senϕsen θ + cos ² ϕ + cos ² θ – 2cos ϕcos θ|

= |1/√2 (sen (θ – ϕ)) / √1 – (cos (θ – ϕ))|

Al resolver esto obtenemos,

D = coseno (θ – ϕ/2)

Por lo tanto, la distancia es cos (θ – ϕ/2)

Pregunta 3. Halla la longitud de la perpendicular desde el origen hasta la recta que une los dos puntos cuyas coordenadas son (a cos α, a sen α) y (a cos β, a sen β).

Solución:

Según la pregunta

Las coordenadas son (a cos α, a sin α) y (a cos β, a sin β).

Entonces, la recta de ecuación que pasa por (a cos α, a sen α) y (a cos β, a sen β) es,

 y – a sin α = ((a sin β – a sin α) / (a ​​cos β – a cos α)) (x – a cos α)

 y – a sin α = ((sin β – sin α)/(cos β – cos α))(x – a cos α)

 y – a sin α = – cot((α – β)/2)(x – a cos α)

xcot((α – β)/2) + y – a sin α – a cos α cot((α – β)/2) = 0

Entonces, la distancia de la recta al origen es

D = |(- a sin α – a cos α cot((α – β)/2)) / √cot ² ((α – β)/2) +1|

= a|sen((α – β)/2)sen α + cos αcos((α – β)/2)|

= a |cos(((α – β)/2) – α)|

D = acos((α- β)/2)

Por lo tanto, la distancia es acos((α- β)/2)

Cuestión 4. Demostrar que la perpendicular caída desde cualquier punto de la recta 2x + 11y – 5 = 0 sobre las dos rectas 24x + 7y = 20 y 4x – 3y – 2 = 0 son iguales entre sí.

Solución:

Según la pregunta

Las ecuaciones de las rectas son  

24x + 7y = 20 

4x – 3y – 2 = 0

Ahora consideremos que Q(a, b) sea cualquier punto que se encuentre en 2x + 11y − 5 = 0

Asi que,

2a + 11b − 5 = 0

b = (5 – 2a)/11 ….. (1)

Sean D1 y D2 la distancia perpendicular desde el punto P en la línea 24x + 7y = 20 y 4x – 3y – 2 = 0,

Entonces, D1 =| (24a + 7b – 20)/ √24 ² + 7 ² |

D1 = |((24a + 7) × ((5 – 2a)/11) – 20)/25)|

De 1),

D1 = | (50a – 37)/55 |

Similarmente,

D2 = | (4a – 3b – 2)/ √3 ² + (-4) ² |

De (1) obtenemos,

D2 = | (50a – 37)/55 |

D1 = D2

Por lo tanto probado

Pregunta 5. Encuentra la distancia del punto de intersección de las líneas 2x + 3y = 21 y 3x – 4y + 11 = 0 desde la línea 8x + 6y + 5 = 0.

Solución:

Según la pregunta

Las ecuaciones de las rectas son  

 2x + 3y = 21 ……….. (1)   

 3x – 4y + 11 = 0 ………… (2)

Resolviendo la ecuación (1) y (2) obtenemos: –

x/(33 – 84) = y/(-63 – 22) = 1/(-8 – 9)

x = 3, 

y = 5

Por lo tanto, el punto es (3, 5).

Ahora, encontramos que la distancia perpendicular Dof de la línea 8x + 6y + 5 = 0desde el punto (3, 5) es:

re = |(24 + 30 + 5)/√8 ² + 6 ² | = 59/10 = 5,9

Por lo tanto, la distancia es 5.9

Pregunta 6. Encuentra la longitud de la perpendicular desde el punto (4, -7) hasta la línea que une el origen y el punto de intersección de la línea 2x – 3y + 14 y 5x + 4y – 7 = 0.

Solución:

Según la pregunta

Las ecuaciones de las rectas son

2x – 3y + 14 = 0 

5x + 4y – 7 = 0

Al resolver ambas ecuaciones obtenemos

x = -35/23

y = 252/69

Entonces, el punto es (-35/23, 252/69)

y la ecuación de la recta que une el origen y el punto es y = mx,

donde m = (252/69) / (-35/23) = -12/5

Entonces, la ecuación de la línea requerida es y = -12x/5

12x + 5y = 0

Ahora, la distancia perpendicular de (4, -7) a 12x + 5y = 0 es

re = |(12(4) + 5(-7)) / √12 ² + (-5) ² |

re = 13/13

re = 1

Por lo tanto, la distancia es 1

Pregunta 7. ¿Cuáles son los puntos en el eje x cuya distancia perpendicular a la línea recta x/a + y/b = 1 es a?

Solución:

Consideremos que un punto en el eje x es (a, 0)

Entonces, la distancia perpendicular desde una línea bx + ay = ab es,

a = |(ax ₁ + by ₁ + c)√a ² + b ² | 

Dónde,

a = b, b = a, x = -ab, x ₁ = ±a, y ₁ = 0

a = |(b(x) + a(0) – ab)/√a ² + b ² |

un = 0

o

a = (b(x) + a(0) – ab)/√a ² + b ²

a = (b/a)x = ±√a ² + b ²

x = 0

Pregunta 8. Muestre que el producto de las perpendiculares en la línea (x/a)cos θ + (y/b)sen θ – 1 desde los puntos (±√a ² – b ² , 0) es b ² .

Solución:

Según la pregunta

Tenemos que demostrar que la distancia perpendicular de (±√a ² – b ² , 0) a (x/a)cos θ + (y/b)sin θ – 1 es b ²

Entonces, D1 es la distancia perpendicular de (√a ² – b ² , 0) a (x/a)cos θ + (y/b)sen θ – 1 es

D1 = | ((√a ² – b ² /a)cos θ + (0x/b)sen θ – 1) / (cos ² θ/a ² ) + (sen ² θ/b ² ) |

= ((√a ² – b ² /a)cos θ – 1) / (cos ² θ/a ² ) + (sen ² θ/b ² ) ….(1)

Además, D2 es la distancia perpendicular de (-√a ² – b ² , 0) a (x/a)cos θ + (y/b)sen θ – 1 es 

D2 = |((-√a ² – b ² /a)cos θ + (0x/b)sen θ – 1) / (cos ² θ/a ² ) + (sen ² θ/b ² ) | ……(2)

Entonces, de (1) y (2) obtenemos

((√a ² -b ² /a ² )cos ² θ-1) / (cos ² θ/a ² )+(sen ² θ/b ² ) = b ²

Por lo tanto probado

Pregunta 9. Encuentra la distancia perpendicular desde el origen de la perpendicular desde el punto (1, 2) sobre la línea recta x – √3y + 4 = 0.

Solución:

Según la pregunta

Se da que la perpendicular de (1, 2) sobre la recta x – √3y = -4 

Entonces, la ecuación es

y – y ₁ = m'(x – x ₁ )

1 x ₁ = 1, y₁ = 2, metro = 1/√3, metro’ = -√3

y – 2 = -√3 (x – 1)

y + √3x – (2 + √3) = 0…… (1)

Se da que la distancia perpendicular de (0, 0) a la ecuación (1) es

D = |(ax ₁ + por ₁ + c)| / √a ² + b ²

 a = √3, b = 1, c = -(2 + √3)

x1 = 0, _y1 = ₀

re = |√3 (0) + 1 (0) + (−2 − √3) | / (√3) ² + 1 ² 

Por lo tanto, la distancia es (2 + √3)/2

Pregunta 10. Encuentra la distancia del punto (1, 2) a la línea recta con pendiente 5 y que pasa por el punto de intersección de x + 2y = 5 y x – 3y = 7.

Solución:

Según la pregunta

Las ecuaciones de las rectas son

 x + 2y = 5

x-3y = 7

Al resolver ambas ecuaciones obtenemos un punto A(29/5, -2/5)

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto A(29/5, -2/5) que tiene pendiente 5 es 

y + (2/5) = 5(x – 29/5)

5y + 2 = 25x – 145 

25x – 5y – 147 = 0

Entonces, D es la distancia de (1, 2) de 25x – 5y – 147 = 0 es

re = | (25(1) – 5(2) – 147) / √25 ² + 5 ² |

|-132 √650|

Por lo tanto, la distancia es |132 √650|

Pregunta 11. ¿Cuáles son los puntos en el eje y cuya distancia desde la línea es x/3 + y/4 = 1 es 4 unidades?

Solución:

Supongamos que el punto en el eje y es (0, a)

Se da que la distancia de (0, a) a la recta 4x + 3y – 12 = 0 es de 4 unidades.

Entonces, al usar la fórmula de la distancia, obtenemos

d = |(ax₁ + by + c)/√a ² + b ² |

4 = |(4(0) + 3(a) – 12)/√4 ² + 32 |

4 =|(3a – 12)/5|

4 = (-3a + 12)/5

-3a = 20 – 12

a = -8/3

Y 4 =(3a – 12)/5

3a = 20 + 12

a = 32/3

Por lo tanto, los puntos son (0, 32/3), (0, -8/3)

Pregunta 12. En el triángulo ABC con vértices A(2, 3), B(4, -1) y C(1, 2). Encuentra la ecuación y la longitud de la altura desde el vértice A.

Solución:

Según la pregunta

ABC es un triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(4, -1) y C(1, 2)

Entonces, la ecuación de BC es

y + 1 = ((2 + 1/()1 – 4))(x – 4) 

y + 1 = -x + 4

x + y – 3 = 0

y AL = |(2 + 3 – 3)/√1 + 1 |

AL = √2

Aquí concluimos que la pendiente de la línea BC -1. Entonces, la pendiente de AL es 1.

Y pasa por A(2, 3) entonces, su ecuación es

y-3 = 1(x-2)

x – y + 1 = 0

Pregunta 13. Muestre que la trayectoria de un punto en movimiento tal que sus distancias desde dos líneas 3x – 2y = 5 y 3x + 2y = 5 son iguales es una línea recta.

Solución:

Según la pregunta

Las ecuaciones de las rectas son

3x – 2y = 5

3x + 2y = 5

Supongamos que el punto P(h, k) es el punto en movimiento y equidistante de ambas líneas

Asi que, 

|(3h – 2k – 5)/√9 + 4| = |(3h + 2k – 5)/√9 + 4|

|3h – 2k – 5| = |3h + 2k – 5|

4k = 0 o 6h – 10 = 0

k = 0

3 horas = 5

Entonces, el lugar geométrico de (h, k) es:

y = 0

o

3x = 5, que son rectas.

Pregunta 14. Si la suma de las distancias perpendiculares de un punto variable P(x, y) desde las líneas x + y – 5 = 0 y 3x – 2y = 0 es siempre 10. Demuestra que P debe moverse sobre una línea.

Solución:

Según la pregunta

La suma de las distancias perpendiculares de un punto variable P(x, y) 

de las líneas (x + y – 5) = 0 y 3x – 2y + 7 = 0 es siempre 10

Asi que, 

((x + y – 5)/√2) + ((3x – 2y+7) +√13) = 10 

(3√2 + √13)x + (√13 – 2√2) + (7√2 – 5√13 – 10√26) = 0

Entonces, de aquí concluimos que es una línea recta.

Pregunta 15. Si la longitud de la perpendicular forma el punto (1, 1) a la línea ax – by + c a la unidad. Demuestra que 1/c + 1/a – 1/b = c/2ab.

Solución:

Dado que, la longitud de la perpendicular desde el punto (1, 1) hasta ax – by + c es 1

Entonces, tenemos que demostrar que 1/c + 1/a – 1/b = c/2ab

Usando la fórmula de la distancia, obtenemos

|(a (1) – b (1) + c)/√a ² + b ² | = 1

a – segundo + c = √a ² + ^{segundo 2}

(a – b + c) ² = a ² + b ²

a ² + b ² + c ² + 2ac – 2bc – 2ab = a ² + b ²

c ² + 2ac – 2bc = 2ab

c + 2a – 2b = 2ab/c

(c/2ab) + (2a/2ab) – (2b/2ab) = 1/c

(c/2ab) = 1/c + 1/a – 1/b

Por lo tanto probado