Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas – Ejercicio 23.4

Pregunta 1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, 2) y tiene pendiente -3.

Solución:

Sabemos (y – y ₁ ) = m(x – x ₁ )

Aquí, m = Pendiente de la línea = -3

x ₁ = 6, y ₁ = 2

Entonces, la ecuación de la recta es 

⇒ y – 2 = (-3)(x – 6)

⇒ y – 2 = -3x + 18

⇒ 3x + y – 20 = 0

Pregunta 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por (-2, 3) e inclinada formando un ángulo de 45° con el eje x.

Solución:

Sabemos y – y ₁ = m(x – x ₁ )

Aquí, m = Pendiente de la línea = tan 45° = 1

x1 = -2, _y1 = ₃

Entonces, la ecuación de la recta es

⇒ y – 3 = 1(x – (-2))

⇒ y – 3 = x + 2

⇒ x – y + 5 = 0

Pregunta 3. Encuentra la ecuación de la recta que divide el conjunto de los puntos (2, 3) y (-5, 8) en la razón 3:4 y también es perpendicular a ella.

Solución:

Sea P(x ₁ , y ₁ ) el punto en el que la línea divide la unión de los puntos (2, 3) y (-5, 8) en la razón 3:4

P(x1, y1) = \frac{(4 × 2 – 5 × 3)}{(3 + 4)}, \frac{(4 × 3 + 3 × 8)}{(3+4)}

= (-1, 36/7)

Pendiente de los puntos dados=(8-3)/(-5-2) =-5/7

Ya que, la línea requerida es perpendicular a la línea que une los puntos dados.

Por lo tanto, la pendiente de la línea requerida ‘m’ = 7/5 

Aquí, x ₁ = -1, y ₁ = 36/7 y m = 7/5

Entonces, la ecuación de la recta es

⇒ y – 36/7 = 7/5(x – (-1))

⇒ y-36/7 = 7/5(x + 1)

⇒ 35y – 180 = 49x + 49

⇒ 49x + 35y + 229 = 0 es la ecuación requerida de la línea recta.

Cuestión 4. Demostrar que la perpendicular trazada desde el punto (4, 1) en la unión de (2, -1) y (6, 5) lo divide en razón 5:8.

Solución:

Sea PO la perpendicular trazada desde P(4,1) sobre la recta que une A(2, -1) y B(6, 5)

 Sea la pendiente de PO ‘m’ 

segun pregunta 

m × Pendiente de AB = -1 

⇒ metro × (5 + 1)/(6 – 2) = -1

⇒ metro × 6/4 = -1

⇒ metro = -4/6 = -2/3

Así, la ecuación de la recta PO 

x1 = 4, y1 = 1 y m = -2/3

(y-1) = -2/3(x-4)

⇒ 3y – 3 = -2x + 8

⇒ 2x + 3y – 11 = 0 ——–(1)

Sea O dividiendo la línea AB en la razón de K:1

Entonces las coordenadas de O son \frac{(6k + 2)}{(k + 1)}, \frac{(5k – 1)}{(k + 1)}

Como el punto O está en la línea AB

Por lo tanto, satisface la ecuación (1)

⇒ 12k + 4 + 15k – 3 – 11(k + 1) = 0

⇒ 27k – 11k + 1 – 11 = 0

⇒ 16k = 10

⇒ k = 5/8 

Por lo tanto probado

Pregunta 5. Encuentra la ecuación de las alturas del triángulo cuyos puntos angulares son A(2, -2), B(1, 1) y C(-1, 0). 

Solución:

Sean las altitudes AE, BF y CD

Pendiente de AE ​​× Pendiente de BC = -1 [Dado que ambas rectas son perpendiculares entre sí] 

Pendiente de AE ​​= (-1) / Pendiente de BC

Pendiente de AE ​​= 

= 

= -2

Ecuación de la altitud AE 

y – (-2) = (-2)(x – 2)

⇒ y + 2 = -2x + 4

⇒ 2x + y – 2 = 0

Similarmente,

Pendiente de BF × Pendiente de AC = -1

Pendiente de BF = 

= 

= 3/2

Ecuación de la altitud BF

y – 1 = (3/2)(x – 1)

⇒ 2(y – 1) = 3x – 3

⇒ -3x + 2y – 2 + 3 = 0

⇒ 3x – 2y – 1 = 0

Pendiente de CD × Pendiente de AB = -1

Pendiente de CD= 

= 

= 1/3

Ecuación de la altitud CD

y – 0 = (1/3) (x – (-1))

⇒ 3y = x + 1

⇒ x – 3y + 1 = 0

Pregunta 6. Encuentra la ecuación de la bisectriz derecha del segmento de línea que une los puntos (3, 4) y (-1, 2).

Solución:

Sean los puntos del segmento de recta A(3, 4) y B(-1, 2)

Deje que la bisectriz derecha se encuentre en el punto ‘P’ en el segmento de línea

Coordenadas del punto P = \frac{(3-1)}{2}, \frac{(4+2)}{2} [Usando la fórmula del punto medio]

= (1, 3)

Pendiente de AB = [(2 – 4) / (-1 – 3)]

=-2/-4

= 1/2

Pendiente de la bisectriz derecha = 

= -2

Ecuación de la bisectriz derecha 

⇒ y – 3 = -2(x – 1)

⇒ y – 3 = -2x + 2

⇒ 2x + y – 5 = 0 es la ecuación requerida de la bisectriz derecha

Pregunta 7. Encuentra la ecuación de la línea recta que pasa por el punto (3, -2) y forma un ángulo de 60° con la dirección positiva del eje y.

Solución: 

Como la recta forma un ángulo de 60° con la dirección positiva del eje y i

t forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje x como se muestra en el diagrama.

Pendiente de la recta ‘m’= tan 30° = 1/√3

Ecuación de la recta que pasa por (3, -2)

y – (-2) = 1/√3(x – 3)

⇒ √3(y + 2) = x – 3

⇒ √3y + 2√3 = x – 3

⇒ x – √3y – 3 – 2√3 = 0 es la ecuación requerida de la línea recta.

Pregunta 8. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y forma un ángulo con la dirección positiva del eje x cuyo seno es 3/5.

Solución: 

Dado, sen θ = 3/5

tan θ = 3/√(25 – 9) = 3/4

Pendiente de la línea m = 3/4

Ecuación de la recta que pasa por (1, 2)

y-2 = 3/4(x-1)

⇒ 4(y – 2) = 3x – 3

⇒ 4y – 8 = 3x – 3

⇒ 3x – 4y + 5 = 0 es la ecuación requerida de la línea recta.

Pregunta 9. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 5) y es perpendicular a la recta que une (2, 5) y (-3, 6).

Solución:

Pendiente de la ecuación requerida ‘m’ = (-1) / [Pendiente de la línea que une (2, 5) y (-3, 6)] [Perpendiculares entre sí]

metro =

metro = 

metro = 5                

Ecuación de la recta que pasa por (-3, 5)

y-5 = 5(x-(-3))

⇒ y – 5 = 5x + 15

⇒ 5x – y + 20 = 0 es la ecuación requerida de la línea recta.

Pregunta 10. Halla la ecuación de la bisectriz derecha del segmento de recta que une los puntos A(1, 0) y B(2, 3).

Solución:

Deje que la bisectriz derecha se encuentre en el punto ‘P’ en el segmento de línea

Coordenadas del punto P = [  ] [Usando la fórmula del punto medio]

= (3/2, 3/2)

Pendiente de AB = [(3 – 0)/(2 – 1)]

= 3/1 = 3

Pendiente de la bisectriz derecha = -1/3

Ecuación de la bisectriz derecha  

⇒ y – 3/2 = -1/3(x – 3/2)

⇒ 3(y – 3/2) = -x + 3/2

⇒ x + 3y – 9/2 – 3/2 = 0

⇒ x + 3y – 6 = 0

⇒ x + 3y – 6 = 0 es la ecuación requerida de la bisectriz derecha.

Pregunta 11. Encuentra las rectas que pasan por el punto (0, 2) formando ángulos π/3 y 2π/3 con el eje x. Además, encuentre las líneas paralelas a ellas que cortan el eje y a una distancia de 2 unidades por debajo del origen.

Solución:

Dada la recta que pasa por el punto (0, 2) formando ángulos π/3 y 2π/3 con el eje x

.Pendiente m1= tan π/3 = √3

Pendiente m2 = tan 2π/3 = -√3

Ecuación de las líneas requeridas

⇒ y – 2 = √3(x – 0) y y – 2 = -√3(x – 0) 

⇒ y – √3x – 2 = 0 y y + √3x – 2 = 0

Ahora, la ecuación de la línea paralela a la línea que tiene pendiente m1 y intersección en y c= -2

y = m1x + c 

⇒ y = √3x – 2

De manera similar, la ecuación de la línea paralela a la línea que tiene pendiente m2 y intersección en y c = -2

y= m2x + c

⇒ y = -√3x – 2

Pregunta 12. Encuentra la ecuación de las líneas rectas que cortan una intersección 5 desde el eje y y están igualmente inclinadas a los ejes.  

Solución:

Dado que las líneas rectas cortan una intersección 5 del eje y y están igualmente inclinadas a los ejes.

La pendiente de las dos líneas es m1= tan 45° =1 y m2 = tan 135° = -1

La ecuación de las rectas requeridas es 

y = m1x + c o y = m2 + c

⇒ y = x +5 o y = -x + 5

⇒ y = x +5 o y + x = 5            

Pregunta 13. Encuentra la ecuación de líneas rectas que intercepta una longitud 2 en la dirección positiva del eje x y está inclinada en un ángulo de 135° con la dirección positiva del eje y. 

Solución:   

La línea requerida que está inclinada en un ángulo de 135° con la dirección positiva del eje y forma un ángulo de 45° con el eje x positivo.

Pendiente de la línea requerida m = tan 45° = -1

Ecuación de la línea recta requerida con intersección x c = 2 y m = -1

x = mi + c

⇒x = 1y + 2

⇒ x – y – 2 = 0

Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (0, 0) con pendiente m.

Solución:

La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) con pendiente m es

y-0 = m(x-0)

⇒ y = mx

Pregunta 15. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por (2, 2√3) e inclinada con el eje x en un ángulo de 75°.

Solución:

Pendiente de la línea m = tan 75° 

= bronceado (45° + 30°)

= (tan 45° + tan 30°) /(1 – tan 45° tan 30°)

= (1 + 1/√3)/(1 – 1/√3)

metro = (√3 + 1)/(√3 – 1) = 2 + √3  

Ecuación de la línea requerida que pasa por (2, 2√3) con pendiente de 2 + √3

y – 2√3 = (2 + √3)(x – 2)

⇒ y – 2√3 = (2 + √3)x – 4 – 2√3

⇒ (2 + √3)x – y – 4 = 0

Pregunta 16. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por (1, 2) y forma un ángulo de 30° con el eje y.

Solución:

Consideremos una ecuación de línea que pasa por puntos (x ₁ , y ₁ ) que forman un ángulo θ con el eje x.

(y – y ₁ ) = tanθ(x – x ₁ ) -(1)

Dado: Punto = (1, 2), y ángulo = 30°(con eje y)

Entonces, ángulo con el eje x = 90° – 30° = 60°

Ahora ponga todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos

(y – 2) = tan60°(x – 1) 

(y-2) = √3(x-1) 

y – 2 = √3x – √3 

√3x – √3 – y + 2 = 0

√3x – y – √3 + 2 = 0