Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 23 Las Líneas Rectas – Ejercicio 23.7

Pregunta 1: Encuentra la ecuación de una línea para la cual

(i) p = 5, α = 60°

(ii) p = 4, α = 150°

(iii) p = 8, α = 225°

(iv) p = 8, α = 300°

Solución:

(i) p = 5, α = 60°

Dado: p = 5, α = 60°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 60° + y sen 60° = 5

x/2 + √3y/2 = 5

x + √3y = 10

Por lo tanto, la ecuación de la recta es x + √3y = 10.

(ii) p = 4, α = 150°

Dado: p = 4, α = 150°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 150° + y sen 150° = 4

x cos(180° – 30°) + y sen(180° – 30°) = 4 [As, cos (180° – θ) = – cos θ , sen (180° – θ) = sen θ]

– x cos 30° + y sen 30° = 4

–√3x/2 + y/2 = 4

-√3x + y = 8

Por lo tanto, la ecuación de la recta es -√3x + y = 8.

(iii) p = 8, α = 225°

Dado: p = 8, α = 225°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 225° + y sen 225° = 8

– x/√2 – y/√2 = 8

x + y + 8√2 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la recta es x + y + 8√2 = 0

(iv) p = 8, α = 300°

Dado: p = 8, α = 300°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 300° + y sen 300° = 8

x/2 – y√3/2 = 8

x – √3y = 16

Por lo tanto, la ecuación de la recta es x – √3y = 16

Pregunta 2: Encuentra la ecuación de la recta en la que la longitud del segmento perpendicular desde el origen hasta la recta es 4 y la inclinación del segmento perpendicular con la dirección positiva del eje x es 30°.

Solución:

Dado: p = 4, α = 30°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 30° + y sen 30° = 4

x√3/2 + y1/2 = 4

√3x + y = 8

Por lo tanto, la ecuación de la recta es √3x + y = 8.

Pregunta 3: Encuentra la ecuación de la recta cuya distancia perpendicular al origen es de 4 unidades y el ángulo que forma la normal con la dirección positiva del eje x es de 15°.

Solución:

Dado: p = 4, α = 15°

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos 15° + y sen 15° = 4

Ahora como, cos 15° = cos (45° – 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° [Ya que, cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ]

= 1/√2 × √3/2 + 1/√2 × 1/2

= 1/2√2( √3 + 1 )

Y sin 15 = sin (45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30° [Ya que, Sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B ]

= 1/√2 × √3/2 – 1/√2 × 1/2

= 1/2√2(√3 – 1)

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x × [1/2√2(√3 + 1)] + y × [1/2√2(√3 – 1)]

(√3+1)x +(√3-1) y = 8√2

Por lo tanto, la ecuación de la línea es (√3+1)x +(√3-1) y = 8√2.

Pregunta 4: Encuentra la ecuación de la línea recta a una distancia de 3 unidades desde el origen tal que la perpendicular desde el origen a la línea forma un ángulo α dado por tan α = 5/12 con la dirección positiva del eje x.

Solución:

Dado: p = 3, α = tan ^-1 (5/12)

bronceado α = 5/12

Asi que,

sen α = 5/13

cos α = 12/13

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

12x/13 + 5y/13 = 3

12x + 5y = 39

Por lo tanto, la ecuación de la recta es 12x + 5y = 39.

Pregunta 5: Encuentra la ecuación de la línea recta en la que la longitud de la perpendicular desde el origen es 2 y la perpendicular forma un ángulo α con el eje x tal que sen α = 1/3.

Solución:

Dado: p = 2, sen α = 1/3

Como, cos α = √(1 – sen ² α)

= √(1 – 1/9)

= 2√2/3

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x2√2/3 + y/3 = 2

2√2x + y = 6

Por lo tanto, la ecuación de la recta es 2√2x + y = 6.

Pregunta 6: Encuentra la ecuación de la línea recta sobre la cual la longitud de la perpendicular desde el origen es 2 y la pendiente de esta perpendicular es 5/12.

Solución:

Dado: p = ±2

bronceado α = 5/12

Por lo tanto, sen α = 5/13

cos α = 12/13

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

12x/13 + 5y/13 = ±2

12x + 5y = ±26

Por lo tanto, la ecuación de la recta es 12x + 5y = ±26.

Pregunta 7: La longitud de la perpendicular desde el origen hasta una línea es 7 y la línea forma un ángulo de 150° con la dirección positiva del eje y. Encuentra la ecuación de la recta.

Solución:

Dado: p = 7 (distancia perpendicular al origen)

También dado que el ángulo formado con el eje y es de 150°

por lo tanto, el ángulo formado con el eje x es 180° – 150° = 30°

sen 30° = 5/13

cos 30° = 12/13

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x(√3/2) + y(1/2) = 7

√3x + y = 14

Por lo tanto, la ecuación de la recta es √3x + y = 14

Pregunta 8: Encuentra el valor de θ y p si la ecuación xcosθ + ysinθ = p es la normal de la recta √3x + y + 2 = 0

Solución:

Dada la ecuación de la recta = √3x + y + 2 = 0 

Que también se puede escribir como -√3x – y = 2 

(-√3/2)x + (-1/2)y = 1

Esto es lo mismo que la ecuación de la línea, es decir, x cos α + y sin α = p

Por lo tanto, cosθ = -√3/2

senθ = -1/2

p = 1

Por lo tanto, θ = 210° = 7π/6 y p =1

Pregunta 9: Encuentra la ecuación de la línea recta que forma un triángulo de área 96√3 con los ejes y perpendicular desde el origen forma un ángulo de 30° con el eje y.

Solución:

Dado: Perpendicular desde el origen forma un ángulo de 30° con el eje y.

Por lo tanto, hace 60° con el eje x.

También dada el área del triángulo = 96√3

1/2 × 2p × 2p/√3 = 96√3

pag ² = (96√3 × √3) / 2 = 48 × 3 = 144

pag = 12

Usando la fórmula de la ecuación de línea, x cos α + y sin α = p, y sustituyendo los valores, obtenemos

x cos60° + y sen60° = 12

(1/2)x + (√3/2) = 12

x + √3y = 24

Por lo tanto, la ecuación de la recta es x + √3y = 24