Pregunta 1: La línea A pasa por un punto A (1, 2) y forma un ángulo de 60° con el eje x e intercepta la línea x + y = 6 en el punto P. Encuentra AP.
Solución:
Dado: (x1, y1) = A (1, 2) y θ = 60°
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos:
(x – 1) / cos60° = (y – 1) / sen60° = r
(x – 1) / (1/2) = (y – 1) / (√3/2) = r
Donde, r representa la distancia de cualquier punto de la recta desde A (1, 2).
Las coordenadas del punto P en esta línea son
(1 + r/2, 2 + √3r/2)
y, P se encuentra en la línea x + y = 6
1 + r/2 + 2 + √3r/2 = 6
r = 6 / (1 + √3) = 3(√3 – 1)
Por lo tanto, el valor de AP = 3(√3 – 1)
Pregunta 2: Si la línea recta que pasa por el punto P(3, 4) forma un ángulo π /6 con el eje x y se encuentra con la línea 12x + 5y + 10 = 0 en Q, encuentre la longitud PQ.
Solución:
Dado: (x1, y1) = A (3, 4) y θ = π/6 = 30°
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos:
(x – 3) / cos30° = (y – 4) / sen30° = r
(x – 3) / (√3/2) = (y – 4) / (1/2) = r
x – √3 y + 4√3 – 3 = 0
Sea PQ = r
Las coordenadas de Q son:
(x – 3) / cos30° = (y – 4) / sen30° = r
x = 3 + √3r/2, y = 4 + r/2
Dado que la Q se encuentra en 12x + 5y + 10 = 0
Asi que,
12(3 + √3r/2) + 5(4 + r/2) + 10 = 0
66 + (12√3 + 5)r / 2 = 0
r = – 132 / 12√3 + 5
PQ = |r| = 132 / 12√3 + 5
Por tanto, la longitud de PQ = 132 / 12√3 + 5.
Pregunta 3: Una línea recta trazada a través del punto A (2, 1) que forma un ángulo π /4 con eje x positivo se cruza con otra línea x + 2y + 1 = 0 en el punto B. Encuentra la longitud AB.
Solución:
Dado: (x1, y1) = A (2, 1) y θ = π/4 = 45°
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos:
(x – 2) / cos45° = (y – 1) / sen45° = r
(x – 2) / 1/√2 = (y – 1) / 1/√2 = r
x-y-1 = 0
Sea AB = r
Las coordenadas de B son:
(x – 2) / cos45° = (y – 1) / sen45° = r
x = 2 + r/√2, y = 1 + r/√2
Dado que B se encuentra en x + 2y + 1 = 0
Asi que,
(2 + r/√2) + 2(1 + r/√2) + 1 = 0
5 + (3r/√2)r = 0
r = 5√2/3
Por lo tanto, la longitud de AB = 5√2/3
Pregunta 4: Una línea a dibujada a través de A (4, – 1) paralela a la línea 3x – 4y + 1 = 0. Encuentra las coordenadas de los dos puntos en esta línea que están a una distancia de 5 unidades de A.
Solución:
Dado: (x1, y1) = A (4, -1)
También dé la ecuación de la Línea: 3x – 4y + 1 = 0
4y = 3x + 1
y = 3x/4 + 1/4
Pendiente tan θ = 3/4
De este modo,
Sin θ = 3/5
Cos θ = 4/5
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ
Cuando sustituimos los valores, obtenemos:
(x – 4) / (4/5) = (y + 1) / (3/5)
3x – 4y = 16
Sea AP = r
y r = ±5
Las coordenadas de P son:
(x – 4) / (4/5) = (y + 1) / (3/5) = r
x = 4r/5 + 4 y y = 3r/5 + 4
x = 4(±5)/5 + 4 y y = 3(±5)/5 + 4
x = ±4 + 4 y y = ±3 –1
x = 8, 0 y y = 2, – 4
Por lo tanto, las coordenadas son (8, 2) y (0, −4) que están a una distancia de 5 unidades del punto A 4, -1).
Pregunta 5: La línea recta que pasa por P(x1, y1) inclinada en un ángulo θ con el eje x se encuentra con la línea ax + by + c = 0 en Q. Encuentra la longitud de PQ.
Solución:
Dado que la recta pasa por P(x1, y1) y forma un ángulo de θ con el eje x.
La ecuación de la recta está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ
Sea PQ = r
Las coordenadas de Q son:
Ahora, usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
x = x1 + rcosθ , y = y1 + rsenθ
Dado que la Q se encuentra en ax + by + c = 0
Asi que,
a(x1 + rcosθ) + b(y1 + rsenθ) + c = 0
r = PQ = | (ax1 + by1 + c) / (acosθ + bsinθ ) |
Por lo tanto, el valor de PQ = | (ax1 + by1 + c) / (acosθ + bsenθ) |
Pregunta 6: Encuentra la distancia del punto (2, 3) desde la línea 2x – 3y + 9 = 0 medida a lo largo de una línea que forma un ángulo de 45° con el eje x.
Solución:
Dado: (x1, y1) = (2, 3) y θ = 45°
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos:
las coordenadas son:
(x – 2) / cos45° = (y – 3) / sen45° = r
x = 2 + r/√2, y = 3 + r/√2
Dado que el punto se encuentra en 2x – 3y + 9 = 0
Asi que,
2(2 + r/√2) – 3(3 + r/√2) + 9 = 0
2[(2√2 + r)/√2] – 3[(3√2 + r)/√2] + 9 = 0
4√2 + 2r – 9√2 – 3r + 9√2 = 0
r = 4√2
Por lo tanto, la distancia es = 4√2 unidades.
Pregunta 7: Encuentra la distancia del punto (3, 5) desde la línea 2x + 3y = 14 medida paralela a una línea que tiene pendiente 1/2.
Solución:
Dado: (x1, y1) = (3, 5)
También dé la ecuación de la Línea: 2x + 3y = 14
y Pendiente tan θ = 1/2
De este modo,
Sin θ = 1/√5
Cos θ = 2/√5
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos la coordenada de P como:
(x – 3) / (2/√5) = (y – 5) / (1/√5) = r
x = 2r/√5 + 3 y y = r/√5 + 5
Dado que el punto se encuentra en 2x + 3y = 14
Por lo tanto,
2(2r/√5 + 3) + 3(r/√5 + 5) = 14
4r/√5 + 6 + 3r/√5 +15 = 14
7r/√5 + 21 = 14
7r/√5 = 14 – 21
7r/√5 = -7
r = ±√5
Por lo tanto, la distancia es √5 unidades.
Pregunta 8: Halla la distancia del punto (2, 5) a la recta 3x + y + 4 = 0, medida paralela a una recta con pendiente 3/4.
Solución:
Dado: (x1, y1) = (2, 5)
También dé la ecuación de la Línea: 3x + y + 4 = 0
y pendiente tan θ = 3/4
De este modo,
Sin θ = 3/5
Cos θ = 4/5
Usando la fórmula, la ecuación de la línea está dada por:
(x – x1) / cosθ = (y – y1) / senθ = r
Cuando sustituimos los valores, obtenemos la coordenada de P como:
(x – 2) / (4/5) = (y – 5) / (3/5) = r
x = 4r/5 + 2 y y = 3r/5 + 5
Dado que el punto se encuentra en 3x + y + 4 = 0
Por lo tanto,
3(4r/5 + 2) + 3r/5 + 5 + 4 = 0
12r/5 + 6 + 3r/5 +9 = 0
15r/5 + 15 = 0
15r/5 = -15
r = ±5
Por lo tanto, la distancia es de 5 unidades.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA