Pregunta 1: Reducir la ecuación √3x + y + 2 = 0 a:
(i) la forma pendiente-intersección y encontrar la pendiente y la intersección en y
(ii) Interceptar la forma y encontrar el intercepto en los ejes.
(iii) La forma normal y encuentre p y α.
Solución:
(i) la forma pendiente-intersección y encontrar la pendiente y la intersección en y
Ecuación dada:√3x + y + 2 = 0
Por lo tanto, y = – √3x – 2
Así, m = -√3, c = -2
Por lo tanto, la pendiente = – √3 y el intercepto en y = -2
(ii) Interceptar la forma y encontrar el intercepto en los ejes .
Ecuación dada: √3x + y + 2 = 0
√3x + y = -2 [ Divide ambos lados entre -2 ]
√3x/-2 + y/-2 = 1
Por lo tanto, intersección x = -2/√3 e intersección y = -2
(iii) La forma normal y encontrar p y α
Ecuación dada: √3x + y + 2 = 0
-√3x – y = 2 [ Divide ambos lados por 2 ]
(-√3/2)x – y/2 = 1
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
cos α = -√3/2 = cos 210°
sen α = -1/2 = sen 210°
Por lo tanto, p = 1 y α = 210°
Pregunta 2: Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma normal y encuentre p y α en cada caso:
(yo) x + √3y – 4 = 0
(ii) x + y + √2 = 0
(iii) x – y + 2√2 = 0
(iv) x – 3 = 0
(v) y – 2 = 0
Solución:
(yo) x + √3y – 4 = 0
Ecuación dada: x + √3y – 4 = 0
x + √3y = 4 [ Divide ambos lados entre 2 ]
(1/2)x + (√3/2)y = 2
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
cos α = 1/2 = cos 60°
sen α = √3/2 = sen 60°
Por lo tanto, p = 2 y α = 60°
(ii) x + y + √2 = 0
Ecuación dada: x + y + √2 = 0
-x – y = √2 [ Divide ambos lados por √2 ]
(-1/√2)x – (1/√2)y = 1
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
cos α = -1/√2
senα = -1/√2
Como ambos son negativos,
Por lo tanto, α está en el cuadrante III,
α = π(π/4) = 5π/4 = 225°
Por lo tanto, p = 1 y α = 225°
(iii) x – y + 2√2 = 0
Ecuación dada: x – y + 2√2 = 0
-x + y = 2√2 [ Divide ambos lados por √2 ]
(-1/√2)x – (-1/√2)y = 2
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
cos α = -1/√2
senα = -1/√2
α está en el cuadrante II,
α = (π/4) + (π/2) = 3π/4 = 135°
Por lo tanto, p = 2 y α = 135°
(iv) x – 3 = 0
Ecuación dada: x – 3 = 0
x = 3
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
cos α = 1 = cos 0°
Por lo tanto, p = 3 y α = 0°
(v) y – 2 = 0
Ecuación dada: y – 2 = 0
y = 2
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
De este modo,
sen α = 1 = sen π/2°
Por tanto, p = 2 y α = π/2°
Pregunta 3: Ponga la ecuación x/a + y/b = 1 en la forma de pendiente-intersección y encuentre su pendiente y su intersección con y.
Solución:
Ecuación dada: x/a + y/b = 1
Ya que, la ecuación general de línea se representa como y = mx + c.
De este modo,
bx + ay = ab
ay = – bx + ab
y = -bx/a + b
Por lo tanto, m = -b/a, c = b
Por lo tanto, la pendiente = -b/a y el intercepto en y = b
Pregunta 4: Reducir las líneas 3x – 4y + 4 = 0 y 2x + 4y – 5 = 0 a la forma normal y, por lo tanto, encontrar qué línea está más cerca del origen.
Solución:
Ecuaciones dadas:
3x − 4y + 4 = 0 …… (yo)
2x + 4y − 5 = 0 …… (ii)
Para la ecuación (i),
-3x + 4y = 4 [ Divide ambos lados entre 5, es decir, √(-3) 2 + (4) 2 ]
(-3/5)x + (4/5)y = 4/5
Por lo tanto, p = 4/5
Ahora para la ecuación (ii),
2x + 4y = – 5
-2x – 4y = 5 [ Divide ambos lados por √20 es decir √(-2) 2 + (-4) 2 ]
(-2/√20)x – (4/√20)y = 5/√20
Por tanto, p = 5/√20 = 5/4,47
Comparando el valor de p para las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
4/5 < 5/4,47
Por lo tanto, la recta 3x − 4y + 4 = 0 es la más cercana al origen.
Pregunta 5: Demuestre que el origen es equidistante de las líneas 4x + 3y + 10 = 0; 5x – 12y + 26 = 0 y 7x + 24y = 50?
Solución:
Ecuaciones dadas:
4x + 3y + 10 = 0 …… (yo)
5x – 12y + 26 = 0 …… (ii)
7x + 24y = 50 …… (iii)
Para la ecuación (i),
4x + 3y + 10 = 0
-4x – 3y = 10 [Divida ambos lados por 5, es decir, √(-4) 2 + (-3) 2 ]
(-4/5)x – 3/5)y = 10/5
(-4/5)x – 3/5)y = 2
Por lo tanto, p = 2
Para la ecuación (ii),
5x − 12y + 26 = 0
-5x + 12y = 26 [ Divide ambos lados entre 13, es decir, √(-5) 2 + (12) 2 ]
(-5/13)x + (12/13)y = 26/13
(-5/13)x + (12/13)y = 2
Por lo tanto, p = 2
Para la ecuación (iii),
7x + 24y = 50 [ Divide ambos lados entre 25, es decir, √(7) 2 + (24) 2 ]
(7/25)x + (24/25)y = 50/25
(7/25)x + (24/25)y = 2
Por lo tanto, p = 2
Por lo tanto, el origen es equidistante de las líneas dadas.
Pregunta 6: ¿Encuentra el valor de θ y p, si la ecuación x cos θ + y sen θ = p es la forma normal de la recta √3x + y + 2 = 0?
Solución:
Ecuación dada: √3x + y + 2 = 0
√3x + y = 2
-√3x – y = 2
La forma normal se representa como x cos θ + y sin θ = p
De este modo,
cos θ = -√3
sen θ = 1
tan θ = 1/√3
θ = π+(π/6) = 180° + 30° = 210°
Por lo tanto, p = 2 y θ = 120°
Pregunta 7: Reducir la ecuación 3x – 2y + 6 = 0 a la intersección de y encontrar la intersección x y la intersección y?
Solución:
Ecuación dada: 3x – 2y + 6 = 0
-3x + 2y = 6 [Dividir ambos lados por 6]
(-3/6)x + (2/6)y = 6/6
(-1/2)x + (1/3)y = 1
Por lo tanto, intersección x = -2 e intersección y = 3
Pregunta 8: La distancia perpendicular de una línea desde el origen es de 5 unidades y su pendiente es -1. ¿Encontrar la ecuación de la recta?
Solución:
Dado: la distancia perpendicular desde el origen hasta la línea es de 5 unidades, es decir, p = 5
La forma normal se representa como x cos α + y sin α = p
x cos α + y sen α = 5
y sen α = -x cos α + 5
y = (-x (cos α/sen α) + 5)
y = -x cuna α + 5
Comparándolo con la ecuación y = mx + c,
m = -cuna α
-1 = -cuna α
cuna α = 1
α = π/4
Por lo tanto, la ecuación es,
x cos π/4 + y sen π/4 = 5
x/√2 + y/√2 = 5
x + y = 5√2
Por lo tanto, x + y = 5√2 es la ecuación de la línea.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA