Pregunta 11. Un círculo de 4 unidades de radio toca el eje de coordenadas en el primer cuadrante. Encuentra las ecuaciones de sus imágenes con respecto a los espejos de línea x=0 y y=0
Solución:
El centro del círculo es (4, 4)
La ecuación del círculo es (x-4) 2 + (y-4) 2 =16
Las imágenes de este círculo con respecto a la línea reflejan x=0 e y=0. Tienen centros en (-4, 4) y (4, -4) respectivamente.
Las ecuaciones requeridas son (x+4) 2 + (y-4) 2 =16 y (x-4) 2 + (y+4) 2 =16
⇒x 2 + y 2 +8x -8y +16=0 y x 2 +y 2 -8x+8y+16=0
Pregunta 12. Encuentra la ecuación de los círculos que tocan el eje y en (0, 3) y hacen una intersección de 8 unidades en el eje x .
Solución:
El centro del círculo considerado es (1, 1)
El radio del círculo considerado es 1
El círculo se rueda a lo largo de la dirección positiva del eje x. Al completar un giro, su centro se desplaza horizontalmente una distancia igual a su circunferencia, es decir, 2π.
Por tanto, las coordenadas del centro de la nueva circunferencia serán (1+2π, 1).
La ecuación requerida del círculo es (x-1-2π) 2 +(y-1) 2 =1
Pregunta 13. Encuentra la ecuación de los círculos que pasan por dos puntos en el eje Y a distancias de 3 desde el origen y que tienen un radio de 5.
Solución:
El círculo pasa por los puntos (0, 3) y (0, -3).
Entonces, (0-h) 2 +(3-k) 2 = a 2 …(1) y (0-h) 2 +(-3 -k) 2 =a 2 …(2)
Resolviendo (1) y ( 2), k=0
Dado, el radio es de 5 unidades.
Por lo tanto, a 2 = 25
De la ecuación (2) obtenemos, h 2 +9 =25 ⇒ h=±4
Entonces, la ecuación requerida es (x±4) 2 +y 2 = 25 ⇒ x 2 ± 8x +y 2 -9 = 0
Pregunta 14. Si las rectas 2x -3y = 5 y 3x – 4y = 7 son los diámetros de un círculo de área 154 unidades cuadradas, entonces la ecuación del círculo.
Solución:
πr 2 = 154 ⇒ r 2 = 49
El punto de intersección de ambas rectas será el centro de la circunferencia.
Resolviendo 2x -3y = 5 y 3x – 4y = 7 obtenemos, x=1 e y=-1
Poniendo los valores en la ecuación estándar, obtenemos (x-1) 2 +(y+1) 2 =49
⇒ x 2 + y 2 – 2x + 2y -47 = 0
Pregunta 15. Si la línea y = √3 x + k toca el círculo x 2 +y 2 = 16, entonces encuentra el valor de k.
Solución:
De la ecuación dada del círculo podemos concluir que el centro está en (0, 0) y el radio es 4.
La distancia perpendicular desde el centro del círculo a la tangente y = √3 x + k es igual al radio del círculo .
Usando la fórmula de la distancia perpendicular del punto a una línea, obtenemos k=±8.
Pregunta 16. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro (1, -2) y que pasa por la intersección de las rectas 3x +y = 14 y 2x + 5y = 18
Solución:
Resolviendo 3x+y=14 y 2x+5y=18 obtenemos
x=4 y y=2
El radio es igual a la distancia entre (1,-2) y (4,2)
r=√((4-1) 2 +(2+2) 2 )
=√(9+16)
=5
Poniendo valores en la ecuación estándar,
⇒(x-1) 2 +(y+2) 2 =25
⇒x 2 +y 2 -2x+ 4y-20=0
Pregunta 17. Si las líneas 3x-4y+4=0 y 6x-8y-7=0 son tangentes a un círculo, entonces encuentra el radio del círculo.
Solución:
Dado, 3x-4y+4=0 y 6x-8y-7=0
⇒y=3/4x+1 y y=3/4x-7/8
La pendiente de ambas rectas es igual, por lo que ambas rectas son paralelas .
Usando la fórmula de la distancia entre las líneas paralelas obtenemos, 3/2
El radio es igual a la mitad de la distancia entre las líneas paralelas (diámetro del círculo).
Por lo tanto, el radio viene dado por 3/4.
Pregunta 18. Muestre que el punto (x, y) dado por x=2at/ 1+t 2 y y=a(1-t 2 /1+t 2 ) se encuentra en un círculo para todos los valores reales de t tal que – 1<=t<=1 donde a es cualquier número real dado.
Solución:
Cuadre y agregue x=2at/1+t 2 y y=a(1-t 2 /1+t 2 ), obtenemos
x 2 +y 2 =(2at/1+t 2 ) 2 +a 2 (1- t 2 /1+t 2 ) 2
⇒x 2 +y 2 =(4a 2 t 2 +a 2 -2a 2 t 2 +a 2 t 2 )/(1+t 2 ) 2
⇒x 2 +y 2 = un 2 ((1+t 2 ) 2/((1+t 2 ) 2 ))
⇒x 2 +y 2 =a 2
La ecuación anterior representa la ecuación de un círculo, por lo que los puntos (x, y) se encuentran en el círculo.
Pregunta 19. El círculo x 2 +y 2 -2x-2y+1=0 se rueda a lo largo de la dirección positiva del eje x y hace un giro completo. Encuentre su ecuación en la nueva posición.
Solución:
El centro del círculo es (1,1) El
radio del círculo es 1
El círculo gira a lo largo de la dirección positiva del eje x. Al dar una vuelta completa, su centro se desplaza horizontalmente una distancia igual a su circunferencia es decir 2π
Entonces, la coordenada del centro del nuevo círculo será (1+2π,1)
Por lo tanto, la ecuación requerida del círculo es (x- 1-2π) 2 +(y-1) 2 =1
Pregunta 20. Un diámetro del círculo que circunscribe el rectángulo ABCD es 4y=x+7. Si las coordenadas de A y B son (-3,4) y (5,4) respectivamente, encuentre la ecuación del círculo.
Solución:
El centro del círculo se encuentra en la línea 4y=x+7 y el círculo pasa por A(-3,4) y B(5,4).
La pendiente del segmento que une A y B es cero.
Entonces, la pendiente de la mediatriz de AB no está definida.
La bisectriz perpendicular de AB será paralela al eje y y pasará por ((-3+5/2), (4+4/2)) = (1,4)
La ecuación de la bisectriz perpendicular es x =1
Intersección punto de la bisectriz perpendicular y 4y=x+7 es (1,2)
Por lo tanto, centro=(1,2) y Radio=√((5-1) 2 +(4-2) 2 )=√20
El requerido la ecuacion del circulo es x 2 +y 2 -2x-4y-15=0
Pregunta 21. Si la línea 2x-y+1=0 toca el círculo en el punto (2, 5) y el centro del círculo se encuentra en la línea x+y-9=0. Encuentra la ecuación del círculo.
Solución:
Sean las coordenadas del centro (t, 9-t) y el radio a.
Usando la fórmula de la distancia perpendicular de la línea desde un punto, obtenemos
a = |(3t-8)/√5| ⇒ a 2 =((3t-8)/√5) 2 …(1)
De las deducciones, la ecuación del círculo es (xt) 2 +(y-(9-t)) 2 =a 2 …(2 )
El círculo pasa por (2, 5). Sustituyendo valores obtenemos, t=6
Sustituyendo t en (1), a 2 =(10/√5) 2
Poniendo los valores encontrados en (2), la ecuación requerida es,
(x-6) 2 +(y-3 ) 2 = 20