Pregunta 1. Encuentra la ecuación del círculo con:
(i) Centro (-2, 3) y radio 4.
(ii) Centro (a, b) y radio √(a 2 +b 2 ).
(iii) Centro (0, – 1) y radio 1.
(iv) Centro (a cos α, a sen α) y radio a.
(v) Centro (a, a) y radio √2 a.
Solución:
(i) Centro (-2, 3) y radio 4.
La ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ es (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Dado, p = -2, q = 3, r = 4
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – (-2)) 2 + (y – 3) 2 = 4 2
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 16
x 2 + 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 = 16
x 2 + y 2 + 4x – 6y – 3 = 0
∴ La ecuación del círculo es x2 + y 2 + 4x – 6y – 3 = 0(ii) Centro (a, b) y radio √(a 2 +b 2 ).
La ecuación de la circunferencia de centro (p, q) y radio ‘r’ es (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Donde, p = a, q = b, r =√(a 2 +b 2 )
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – a) 2 + (y – b) 2 = (√(a 2 + b 2 )) 2
x 2 – 2ax + a 2 + y 2 – 2by + b 2 = a2 + b 2
x 2 + y 2 – 2ax – 2by = 0
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y 2
– 2ax – 2by = 0(iii) Centro (0, -1) y radio 1.
La ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ es (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Dado, p = 0, q = -1, r = 1
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – 0) 2 + (y – (- 1)) 2 = 1 2
(x – 0) 2 + (y + 1) 2 = 1
x 2 + y 2 + 2y + 1 = 1
x 2 + y 2 + 2y = 0
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y2 + 2y = 0.(iv) Centro (a cos α, a sen α) y radio a.
La ecuación de la circunferencia de centro (p, q) y radio ‘r’ es (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Dado, p = a cos α, q = a sen α, r = a
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – a cosα) 2 + (y – a sinα) 2 = a 2
x 2 – (2acosα )x + a 2 cos 2 α + y 2 – (2asinα)y + a 2 sen 2 α = a 2
Sabemos que sen 2 θ + cos2 θ = 1
Entonces,
x 2 – (2acosα)x + y 2 – 2asinαy + a 2 = a 2
x 2 + y 2 – (2acosα)x – (2asinα)y = 0
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y 2 – (2acosα) x – (2asinα) y = 0.(v) Centro (a, a) y radio √2 a.
La ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ es (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Dado, p = a, q = a, r = √2 a
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – a) 2 + (y – a) 2 = (√2 a) 2
x 2 – 2ax + a 2 + y 2 – 2ay + a 2 = 2a 2
x 2 + y 2 – 2ax – 2ay = 0
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y2 – 2ax – 2ay = 0.
Pregunta 2. Encuentra el centro y el radio de cada uno de los siguientes círculos:
(yo) (x – 1) 2 + y 2 = 4
(ii) (x + 5) 2 + (y + 1) 2 = 9
(iii) x2 + y2 – 4x + 6y = 5
(iv) x2 + y2 – x + 2y – 3 = 0
Solución:
(i) (x – 1) 2 + y 2 = 4
Usando la fórmula de la ecuación estándar,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 … (1)
Convirtamos la ecuación dada del círculo a la forma estándar.
(x – 1) 2 + y 2 = 4
(x – 1) 2 + (y – 0) 2 = 22 ….. (2)
Comparando la ecuación (2) con (1), obtenemos
Centro = (1, 0 ) y radio = 2
∴ El centro del círculo es (1, 0) y el radio es 2.(ii) (x + 5) 2 + (y + 1) 2 = 9
Usando la fórmula de la ecuación estándar,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 …. (1)
Convirtamos la ecuación dada del círculo a la forma estándar.
(x + 5) 2 + (y + 1) 2 = 9
(x – (-5)) 2 + (y – ( – 1)) 2 = 3 2 …. (2)
Comparando la ecuación (2) con (1), obtenemos
Centro = (-5, -1) y radio = 3
∴ El centro del círculo es (-5, -1) y el radio es 3.(iii) x 2 + y 2 – 4x + 6y = 5
Utilizando la fórmula de la ecuación estándar,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 …. (1)
Convirtamos la ecuación dada del círculo a la forma estándar.
x 2 + y 2 – 4x + 6y = 5
(x 2 – 4x + 4) + (y 2 + 6y + 9) = 5 + 4 + 9
(x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 18
( x – 2) 2 + (y – (-3)) 2 = (3√2) 2 … (2)
Comparando la ecuación (2) con (1), obtenemos
Centro = (2, -3) y radio = 3 √2
∴ El centro del círculo es (2, -3) y el radio es 3√2.(iv) x 2 + y 2 – x + 2y – 3 = 0
Utilizando la fórmula de la ecuación estándar,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 …. (1)
Convirtamos la ecuación dada del círculo a la forma estándar.
x 2 + y 2 – x + 2y – 3 = 0
(x 2 – x + ¼) + (y 2 + 2y + 1) – 3 – ¼ – 1 = 0
(x – ½) 2 + (y + 1) 2 = 17/4…. (2)
Comparando la ecuación (2) con (1), obtenemos
Centro = (½, – 1) y radio = √17/2
∴ El centro del círculo es (½, -1) y el radio es √17/ 2.
Pregunta 3. Encuentra la ecuación del círculo cuyo centro es (1, 2) y que pasa por el punto (4, 6).
Solución:
Dado, p = 1, q = 2
Necesitamos encontrar la ecuación del círculo.
Usando la fórmula,
(x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = r 2
Pasa por el punto (4, 6)
(4 – 1) 2 + (6 – 2) 2 = r 2
3 2 + 4 2 = r 2
9 + 16 = r 2
25 = r 2
r = √25
r = 5
Sabes que la ecuación del círculo con centro (p , q) y con radio ‘r’ viene dado por, (x – p) 2 + (y – q) 2 = r2
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 5 2
x 2 – 2x + 1 + y 2 – 4y + 4 = 25
x 2 + y 2 – 2x – 4y – 20 = 0.
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y 2 – 2x – 4y – 20 = 0.
Pregunta 4. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto de intersección de las rectas x + 3y = 0 y 2x – 7y = 0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas x + y + 1 = 0 y x – 2 años + 4 = 0.
Solución:
Encontremos los puntos de intersección de las rectas.
Resolviendo las rectas x + 3y = 0 y 2x – 7y = 0, obtenemos que el punto de intersección es (0, 0)
Resolviendo las rectas x + y + 1 y x – 2y + 4 = 0, obtenemos el punto de intersección sea (-2, 1)
Un círculo con centro (-2, 1) y que pasa por el punto (0, 0).
Para encontrar el radio del círculo.
Encontramos, p = -2, q = 1
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = r 2 …. (1)
La ecuación (1) pasa por (0, 0)
Entonces, (0 + 2) 2 + (0 – 1) 2 = r 2
4 + 1 = r 2
5 = r 2
r = √5
Sabes que la ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ está dada por, (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Sustituyendo los valores en la ecuación anterior, obtenemos obtener
(x – (-2)) 2 + (y – 1) 2 = (√5) 2
(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 5
x 2 + 4x + 4 + y 2 – 2y + 1 = 5
x 2 + y 2 + 4x – 2y = 0
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y 2 + 4x – 2y = 0.
Pregunta 5. Encuentra la ecuación del círculo cuyo centro se encuentra en la dirección positiva del eje y a una distancia de 6 del origen y cuyo radio es 4.
Solución:
Dado que el centro está en el eje y positivo a una distancia de 6 del origen, obtenemos el centro (0, 6).
Un círculo con centro (0, 6) y radio 4.
Sabes que la ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ está dada por, (x – p) 2 + (y – q ) 2 = r 2
Encontramos, p = 0, q = 6, r = 4
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos
(x – 0) 2 + (y – 6) 2 = 4 2
x 2 + y 2 – 12y + 36 = 16
x 2 + y 2 – 12y + 20 = 0.
∴ La ecuación del círculo es x 2 + y 2– 12 años + 20 = 0.
Pregunta 6. Si las ecuaciones de dos diámetros de un círculo son 2x + y = 6 y 3x + 2y = 4 y el radio es 10, encuentra la ecuación del círculo.
Solución:
Se da que la circunferencia tiene radio 10 y tiene diámetros 2x + y = 6 y 3x + 2y = 4.
El centro es el punto de intersección de los diámetros.
Resolviendo los diámetros, conseguimos que el centro sea (8, -10).
Una circunferencia de centro (8, -10) y de radio 10.
Sabes que la ecuación de la circunferencia de centro (p, q) y de radio ‘r’ está dada por: (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Encontramos, p = 8, q = -10, r = 10
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos
(x – 8) 2 + (y – (-10)) 2 = 10 2
( x – 8) 2 + (y + 10) 2 = 100
x 2 – 16x + 64 + y2 + 20y + 100 = 100
x 2 + y 2 – 16x + 20y + 64 = 0.
Pregunta 7. Encuentra la ecuación del círculo.
(i) que toca ambos ejes a una distancia de 6 unidades del origen.
(ii) Que toca el eje x a una distancia de 5 del origen y un radio de 6 unidades.
(iii) Que toca ambos ejes y pasa por el punto (2, 1).
(iv) Pasando por el origen, radio 17 y ordenada del centro es – 15.
Solución:
(i) El círculo toca los ejes en los puntos (±6, 0) y (0, ±6), por lo que tiene un centro (±6, ±6) y pasa por el punto (0, 6).
Para encontrar el radio del círculo.
Encontramos, p = 6, q = 6
(x – 6) 2 + (y – 6) 2 = r 2 …. (1)
(0, 6) se encuentra en la Ecuación (1) entonces,
(0 – 6) 2 + (6 – 6) 2 = r 2
36 + 0 = r 2
r = √36
r = 6
Sabes que la ecuación del círculo con centro (p, q) y radio ‘r’ viene dado por: (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos
(x ± 6)2 + (y ± 6) 2 = (6) 2
x 2 ± 12x + 36 + y 2 ± 12y + 36 = 36
x 2 + y 2 ± 12x ± 12y + 36 = 0(ii) El círculo toca el eje x en los puntos (±5, 0).
Supongamos que el centro del círculo es (±5, a).
Una circunferencia de centro (5, a), que pasa por el punto (5, 0) y de radio 6.
Hallar el radio de la circunferencia.
Encontramos, p = 5, q = a
(x – 5) 2 + (y – a) 2 = r 2 …. (1)
La ecuación anterior pasa por (5, 0) entonces,
(5 – 5) 2 + (0 – 6) 2 = r 2
0 + 36 = r 2
r = √36
r = 6
El círculo tiene centro en ( ±5, ±6) y con un radio de 6 unidades.
Sustituyendo los valores en la ecuación estándar, obtenemos
(x ± 5) 2+ (y ± 6) 2 = (6) 2
x 2 ± 10x + 25 + y 2 ± 12y + 36 = 36
x 2 + y 2 ± 10x ± 12y + 25 = 0.(iii) Supongamos que el círculo toca el eje x en el punto (a, 0) y el eje y en el punto (0, a).
El centro del círculo es (a, a) y el radio es a.
Sustituyendo los valores en forma estándar obtenemos,
(x – a) 2 + (y – a) 2 = a 2 … (1) La
ecuación (1) pasa por P (2, 1)
Sustituyendo los valores obtenemos,
(2 – a) 2 + (1 – a) 2 = a 2
4 – 4a + a 2 + 1 – 2a + a 2 = a 2
5 – 6a + a 2 = 0
(a – 5) (a – 1) = 0
Entonces , a = 5 o 1
Caso (i)
El centro en (5, 5) y con un radio de 5 unidades.
Sustituyendo los valores en la ecuación estándar obtenemos,
(x – 5) 2 + (y – 5) 2 = 5 2
x 2 – 10x + 25 + y 2 – 10y + 25 = 25
x 2 + y 2 – 10x – 10y + 25 = 0.
Caso (ii)
El centro en (1, 1) y que tiene un radio de 1 unidad.
Sustituyendo los valores en la ecuación estándar obtenemos,
(x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 2
x 2 – 2x + 1 + y 2 – 2y + 1 = 1
x 2 + y 2– 2x – 2y + 1 = 0(iv) Supongamos que la abscisa es ‘a’
Un círculo con centro (a, – 15), que pasa por el punto (0, 0) y tiene un radio de 17.
Hallar el radio del círculo.
Usando la fórmula de la distancia,
17 2 = a 2 + (-15) 2
289 = a 2 + 225
a 2 = 64
|a| = √64
|un| = 8
a = ±8 …. (1)
Tenemos el centro en (±8, – 15) y un radio de 17 unidades.
Sustituyendo los valores en la ecuación estándar, obtenemos
(x ± 8) 2 + (y – 15) 2 = 17 2
x 2 ± 16x + 64 + y 2– 30y + 225 = 289
x 2 + y 2 ± 16x – 30y = 0.
Pregunta 8. Encuentra la ecuación del círculo que tiene su centro en el punto (3, 4) y toca la línea recta 5x + 12y – 1 = 0.
Solución:
Dado que necesitamos encontrar la ecuación del círculo con centro (3, 4) y toca la línea recta 5x + 12y – 1 = 0.
Usando la fórmula de la distancia perpendicular entre un punto y una línea recta obtenemos, 62/13.
Tenemos una circunferencia de centro (3, 4) y de radio 62/13.
Sabemos que la ecuación de la circunferencia de centro (p, q) y radio ‘r’ está dada
por: (x – p)2 + (y – q)2 = r2
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos
( x – 3) 2 + (y – 4) 2 = (62/13) 2
x 2 – 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = 3844/169
169x 2 + 169y 2 – 1014x – 1352y + 4225 = 3844
169x2 + 169y 2 – 1014x – 1352y + 381 = 0
Pregunta 9. Encuentra la ecuación del círculo que toca los ejes y cuyo centro está en x – 2y = 3.
Solución:
Supongamos que el círculo toca los ejes en (a, 0) y (0, a) y obtenemos que el radio es |a|.
El centro del círculo es (a, a). Este punto se encuentra en la recta x – 2y = 3
a – 2(a) = 3
-a = 3
a = – 3
Centro = (a, a) = (-3, -3) y radio del círculo(r) = |-3| = 3
Tenemos un círculo con centro (-3, -3) y radio 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación estándar, obtenemos
(x – (-3)) 2 + (y – (-3)) 2 = 3 2
(x + 3) 2 + (y + 3) 2 = 9
x 2 + 6x + 9 + y 2 + 6y + 9 = 9
x 2 + y 2 + 6x + 6y + 9 = 0
Pregunta 10. Un círculo cuyo centro es el punto de intersección de las líneas 2x – 3y + 4 = 0 y 3x + 4y – 5 = 0 pasa por el origen. Encuentra su ecuación.
Solución:
Se da que la circunferencia tiene el centro en el punto de intersección de las rectas 2x – 3y + 4 = 0 y 3x + 4y – 5 = 0 y pasa por el origen.
Resolviendo 2x – 3y + 4 = 0 y 3x + 4y – 5 = 0 obtenemos el punto de intersección como ((-1/17),(22/17)).
Para encontrar el radio, usamos la fórmula de la distancia entre los puntos ((-1/17),(22/17)) y (0, 0)=√485/17
Sabes que la ecuación del círculo con centro (p, q ) y con radio ‘r’ está dado por, (x – p) 2 + (y – q) 2 = r 2
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos
(x-(-1/17) 2 +(y- (22/17)) 2 =(√485/17) 2