Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 24 El Círculo – Ejercicio 24.3

Pregunta 1. Encuentra la ecuación del círculo, los puntos extremos de cuyo diámetro son (2, -3) y (-2, 4). Encuentre su radio y centro.

Solución:

Dado que los puntos extremos del diámetro son (2, -3) y (-2, 4).

Entonces, la ecuación del círculo es

(x – 2)(x + 2) + (y + 3)(y – 4) = 0

x ² – 4 + y ² – y – 12 = 0

x ² + y ² – y – 16 = 0 ……(1)

De la ecuación (1), obtenemos

2g = 0, 2f = -1

g = 0, f = -1/2

El centro del círculo es (0, 1/2)

Y $r=\sqrt{0+\frac{1}{4}+16}\\ r=\frac{\sqrt{65}}{2}$

Pregunta 2. Encuentra la ecuación del círculo, cuyos extremos de diámetro son centros de los círculos x ² + y ² + 6x – 14y – 1 = 0 y x ² + y ² – 4x + 10y – 2 = 0.

Solución:

Las ecuaciones dadas son

x ² + y ² + 6x – 14y – 1 = 0

También se puede escribir como

(x + 3) ² + (y – 7) ² = 59 ……(yo)

x2 + ^{y2 – 4x}⁺ 10y – 2y – 1 = 0

También se puede escribir como

(x – 2) ² + (y + 5) ² = 31 ……(ii)

Entonces, de la ecuación (i) y (ii)

los centros de los circulos son (-3, 7) y (2,-5)

Ahora la ecuación del círculo es

(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) = 0

(x + 3)(x – 2) + (y – 7)(y + 5) = 0

x ² + 3x – 2x – 6 + y ² – 7y + 5y – 35 = 0

x ² + y ² + x – 2y – 41 = 0

Pregunta 3. Los lados de un cuadrado son x = 6, x = 9, y = 3 e y = 6. Encuentra la ecuación de un círculo dibujado en la diagonal del cuadrado como su diámetro.

Solución:

Consideremos que AB, BC, CD y DA son los lados del cuadrado ABCD representados por las ecuaciones dadas

y = 3, x = 6, y = 6 y x = 9

Entonces, las coordenadas son

A(6, 3), B(9, 3), C(9, 6) y D(6, 6)

Entonces, la ecuación del círculo con diagonal AC

(x – 6)(x – 9) + (4 – 3)(4 – 6) = 0

x ² – 6x – 9x + 54 + y ² – 3y – 6y + 18 = 0

x2 + ^{y2 – 15x – 9y}⁺ 72 = 0

Y la ecuación del círculo con diagonal BD como diámetro es

(x – 9)(x – 6) + (y – 3)(y – 6) = 0

x ² – 9x – 6x + 54 + y ² – 3y – 6y + 18 = 0

x2 + ^{y2 – 15x – 9y}⁺ 72 = 0

x2 + ^{y2 –}¹⁵ – 9y + 72 = 0

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de un círculo que circunscribe el rectángulo cuyos lados son x – 2y = 4, 3x + y = 22, x – 3y = 14 y 3x + y = 62.

Solución:

Las ecuaciones dadas de los lados del rectángulo son

x – 3y = 4 ———– (yo)

3x + y = 22 ———–(ii)

x – 3y = 14 ———–(iii)

3x + y = 62 ———-(iv)

Supongamos que A, B, C y D son los puntos de intersección de las líneas (i), (ii), (iii) y (iv)

Entonces, A(7, 1), B(8, -2), C(20, 2) y D(19, 5)

AC será el diámetro del círculo.

Por lo tanto, la ecuación del círculo es

(x – 7)(x – 20) + (y – 1)(y – 2) = 0

x2 + ^{y2 – 27x – 3y}⁺ 142 = 0

Pregunta 5. Encuentra la ecuación del círculo que pasa por el origen y los puntos donde la línea 3x + 4y = 12 se encuentra con los ejes de coordenadas.

Solución:

Dada la ecuación de la línea es 3x + 4y = 12

Entonces, se encontrará con el eje en A(0, 3) y B(4, 0)

Como la circunferencia pasa por el origen A y B

Entonces, AB es un diámetro

Por lo tanto, la ecuación del círculo es

(x – 0)(x – 4) + (y – 3)(y – 0) = 0

x2 + ^y2 – 4x – 3y = ⁰

Pregunta 6. Encuentra la ecuación del círculo que pasa por el origen y corta las intersecciones a y b respectivamente y de los ejes x e y.

Solución:

Se da que la circunferencia pasa por el origen y corta al intercepto a y b en

eje x y eje y

Entonces, las coordenadas del círculo A(0, b) y B(a, 0)

Aquí, AB es el diámetro del círculo.

Por lo tanto, la ecuación del círculo es

(x – a)(x – 0) + (y – 0)(y – b) = 0

x ² + y ² ± eje ± por = 0

Pregunta 7. Encuentra la ecuación del círculo cuyo diámetro es el segmento de línea que une (-4, 3) y (12, -1). Encuentre también la intersección hecha por él en el eje y.

Solución:

Dado que el segmento de recta A(-4, 3) y B(12, -1) une un diámetro

Entonces, la ecuación del círculo en forma de diámetro es,

(x + 4)(x – 12) + (y – 3)(y + 1) = 0

x ² – 8x – 48 + y ² – 2y – 3 = 0

x ² – 8x – 2y + y ² – 51 = 0 ……(1)

Para encontrar el intercepto en y, ponga x = 0 en la ecuación (1), obtenemos

y ² – 2y – 51 = 0

$y=\frac{2&pm;\sqrt{208}}{2}$

Entonces, las intersecciones y son 1 ± 4√13

Pregunta 8. Las abscisas de los dos puntos A y B son las raíces de la ecuación x ² + 2ax – b ² = 0 y sus coordenadas son las raíces de la ecuación x ² + 2px – q ² = 0. Encuentra la ecuación de el círculo con AB como diámetro. Además, encuentre su radio.

Solución:

Las ecuaciones dadas son

x2 ⁺ 2ax – b2 = ⁰ ……..(i)

x2 ⁺ 2px – q2 = ⁰ ………(ii)

Ahora raíz de eq(i)

$x=\frac{-2a&pm;\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}=-a&pm;\sqrt{a^2+b^2}$

y raíces de la ecuación (ii)

$x=\frac{-2p&pm;\sqrt{4p^2+4q^2}}{2}=-p&pm;\sqrt{p^2+q^2}$

Entonces, las coordenadas de A = ( $-a+\sqrt{a^2+b^2},-p\sqrt{p^2+q^2}$ )

y B = ( $-a-\sqrt{a^2+b^2},-p-\sqrt{p^2+q^2}$ )

Entonces, la ecuación del círculo es

x ² + y ² + 2ax + 2py – (a ² + b ² + p ² + q ² ) + a ² + p ² = 0

x ² + y ² + 2ax + 2py – (b ² + q ² ) = 0

Por lo tanto, el radio es

$r=\sqrt{g^2+f^2-c}\\ =\sqrt{a^2+p^2-(b^2+q^2)}\\ =\sqrt{a^2+b^2+p^2+q^2}$

Pregunta 9. ABCD es un cuadrado de lado a, tomando como ejes AB y AD, demostrar que la ecuación de la circunferencia que circunscribe al cuadrado es x ² + y ² – a(x + y) = 0.

Solución:

Dado que ABCD es un cuadrado cuyo lado es a.

Además, dado que AD y AD son ejes, entonces el punto de intersección es (0, 0)

Además, el otro punto de la diagonal del cuadrado tendrá coordenadas (a, a).

Se da que la ecuación del círculo circunscribe al cuadrado.

Entonces, (0, 0) y (a, a) serán los extremos del diámetro del círculo.

Entonces, la ecuación del círculo es

(x – 0)(x – a) + (y – 0)(y – a) = 0

x ² – hacha + y ² – ay = 0

x2 + y2 ^–^a (x + y) = 0

Pregunta 10. La línea 2x – y + 6 = 0 se encuentra con el círculo x ² + y ² – 2y – 9 = 0 en A y B. Encuentra la ecuación del círculo en AB como diámetro.

Solución:

Las ecuaciones dadas de recta y circunferencia son

2x – y + 6 = 0 ……(yo)

x ² + y ² – 2y – 9 = 0 …….(ii)

El punto de intersección de la ecuación (i) y (ii) es

x2 ⁺ (2x + 6) ² – 2(2x + 6) – 9 = 0

x ² + 4x ² + 24x + 36 – 4x – 12 – 9 = 0

5x ² + 20x + 15 = 0

(x + 3)(x + 1) = 0

⇒ x = (-3, -1)

y y = (0, 4)

Entonces, punto A(-3, 0) y B(-1, 4)

Aquí, AB es un diámetro, por lo que la ecuación del círculo es

(x + 3)(x + 1) + (y – 0)(y – 4) = 0

x ² + y ² + 4x – 4y + 3 = 0

Pregunta 11. Halla la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triángulo formado por las rectas x = 0, y = 0 y lx + my = 1.

Solución:

Las ecuaciones dadas de rectas son

x = 0 …….(yo)

y = 0 …….(ii)

lx + mi = 1 …….(iii)

La línea eq(iii) corta el eje en

A(0, 1/m) y B(1/l, 0)

Ahora, AB será el diámetro del círculo,

Entonces, la ecuación del círculo será,

(x – 1/l)(x – 0) + (y – 0)(y – 1/m) = 0

x ² + y ² – x/l – y/m = 0

Pregunta 12. Halla las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el origen y corta cuerdas iguales de √2 unidades de las rectas y = xey y = -x.

Solución:

Deje que los ángulos entre y = x y y = -x es π/2

Entonces, el ángulo entre OB y OA = π/2

Por lo tanto, AB, BC, CD y AD son diámetros de círculos.

entonces, ∠BOQ = π/4

sen∠BOQ = BQ/OB

senπ/4 = BQ/√2

1/√2 = BQ/√2

BQ = 1

Entonces, el radio del círculo (OQ) = 1

Y las coordenadas de B son (1, 1)

Del mismo modo, las coordenadas de A(-1, 1), C(1, -1), D(-1, -1)

Ahora la ecuación del círculo con diámetro AB es

(x + 1)(x – 1) + (y – 1)(y – 1) = 0

x ² – 2x + 1 + y ² – 1 = 0

x2 + y2 ^–^2x = 0

La ecuación de la circunferencia de diámetro BC es

(x – 1)(x – 1) + (y – 1)(y + 1) = 0

x ² – 2x + 1 + y ² – 1 = 0

x2 + y2 ^–^2x = 0

La ecuación del círculo con diámetro CD es

(x + 1)(x – 1) + (y + 1)(y + 1) = 0

x ² – 1 + y ² + 2y + 1 = 0

x2 + ^{y2 +}^2y = 0

Y la ecuación de la circunferencia de diámetro AD es

(x + 1)(x + 1) + (y – 1)(y + 1) = 0

x ² + 2x + 1 + y ² – 1 = 0

x ² + y ² + 2x = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra la ecuación del círculo, los puntos extremos de cuyo diámetro son (2, -3) y (-2, 4). Encuentre su radio y centro.

Pregunta 2. Encuentra la ecuación del círculo, cuyos extremos de diámetro son centros de los círculos x 2 + y 2 + 6x – 14y – 1 = 0 y x 2 + y 2 – 4x + 10y – 2 = 0.

Pregunta 3. Los lados de un cuadrado son x = 6, x = 9, y = 3 e y = 6. Encuentra la ecuación de un círculo dibujado en la diagonal del cuadrado como su diámetro.

Pregunta 4. Encuentra la ecuación de un círculo que circunscribe el rectángulo cuyos lados son x – 2y = 4, 3x + y = 22, x – 3y = 14 y 3x + y = 62.

Pregunta 5. Encuentra la ecuación del círculo que pasa por el origen y los puntos donde la línea 3x + 4y = 12 se encuentra con los ejes de coordenadas.

Pregunta 6. Encuentra la ecuación del círculo que pasa por el origen y corta las intersecciones a y b respectivamente y de los ejes x e y.

Pregunta 7. Encuentra la ecuación del círculo cuyo diámetro es el segmento de línea que une (-4, 3) y (12, -1). Encuentre también la intersección hecha por él en el eje y.

Pregunta 8. Las abscisas de los dos puntos A y B son las raíces de la ecuación x 2 + 2ax – b 2 = 0 y sus coordenadas son las raíces de la ecuación x 2 + 2px – q 2 = 0. Encuentra la ecuación de el círculo con AB como diámetro. Además, encuentre su radio.

Pregunta 9. ABCD es un cuadrado de lado a, tomando como ejes AB y AD, demostrar que la ecuación de la circunferencia que circunscribe al cuadrado es x 2 + y 2 – a(x + y) = 0.

Pregunta 10. La línea 2x – y + 6 = 0 se encuentra con el círculo x 2 + y 2 – 2y – 9 = 0 en A y B. Encuentra la ecuación del círculo en AB como diámetro.

Pregunta 11. Halla la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triángulo formado por las rectas x = 0, y = 0 y lx + my = 1.

Pregunta 12. Halla las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el origen y corta cuerdas iguales de √2 unidades de las rectas y = xey y = -x.

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Pregunta 2. Encuentra la ecuación del círculo, cuyos extremos de diámetro son centros de los círculos x ² + y ² + 6x – 14y – 1 = 0 y x ² + y ² – 4x + 10y – 2 = 0.

Pregunta 8. Las abscisas de los dos puntos A y B son las raíces de la ecuación x ² + 2ax – b ² = 0 y sus coordenadas son las raíces de la ecuación x ² + 2px – q ² = 0. Encuentra la ecuación de el círculo con AB como diámetro. Además, encuentre su radio.

Pregunta 9. ABCD es un cuadrado de lado a, tomando como ejes AB y AD, demostrar que la ecuación de la circunferencia que circunscribe al cuadrado es x ² + y ² – a(x + y) = 0.

Pregunta 10. La línea 2x – y + 6 = 0 se encuentra con el círculo x ² + y ² – 2y – 9 = 0 en A y B. Encuentra la ecuación del círculo en AB como diámetro.