Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 28 Introducción a la geometría de coordenadas 3D – Ejercicio 28.1

Pregunta 1: Nombre los octantes en los que se encuentran los siguientes puntos:

(yo) (5, 2, 3)

(ii) (-5, 4, 3)

(iii) (4, -3, 5)

(iv) (7, 4, -3)

(v) (-5, -4, 7)

(vi) (-5, -3, -2)

(vii) (2, -5, -7)

(viii) (-7, 2, -5)

Solución:

(yo) (5, 2, 3)

Aquí, dado que x, y y z los tres son positivos, entonces el octante será XOYZ

(ii) (-5, 4, 3)

Aquí, dado que x es negativo e y y z son positivos, entonces el octante será X′OYZ

(iii) (4, -3, 5)

En este caso, dado que y es negativo y x y z son positivos, el octante será XOY′Z

(iv) (7, 4, -3)

Aquí, dado que z es negativo y x e y son positivos, entonces el octante será XOYZ′

(v) (-5, -4, 7)

Aquí, dado que x e y son negativos y z es positivo, el octante será X′OY′Z

(vi) (-5, -3, -2)

Aquí, dado que x, y y z los tres son negativos, entonces el octante será X′OY′Z′

(vii) (2, -5, -7)

Aquí, dado que z e y son negativos y x es positivo, el octante será XOY′Z′

(viii) (-7, 2, -5)

Aquí, dado que x y z son negativos y x es positivo, el octante será X′OYZ′

Pregunta 2: Encuentra la imagen de:

(i) (-2, 3, 4) en el plano yz

(ii) (-5, 4, -3) en el plano xz

(iii) (5, 2, -7) en el plano xy

(iv) (-5, 0, 3) en el plano xz

(v) (-4, 0, 0) en el plano xy

Solución:

(yo) (-2, 3, 4)

Podemos cambiar la coordenada x para encontrar la imagen correspondiente en el plano yz.

Por lo tanto, Imagen del punto (-2, 3, 4) es (2, 3, 4)

(ii) (-5, 4, -3)

Podemos cambiar la coordenada y para encontrar la imagen correspondiente en el plano xz.

Aquí, la imagen del punto (-5, 4, -3) es (-5, -4, -3)

(iii) (5, 2, -7)

Podemos cambiar la coordenada z para encontrar la imagen correspondiente en el plano xy.

Aquí, la imagen del punto (5, 2, -7) es (5, 2, 7)

(iv) (-5, 0, 3)

Podemos cambiar la coordenada y para encontrar la imagen correspondiente en el plano xz.

Aquí, la imagen del punto (-5, 0, 3) es (-5, 0, 3)

(v) (-4, 0, 0)

Podemos cambiar la coordenada z para encontrar la imagen correspondiente en el plano xy.

Aquí, la imagen del punto (-4, 0, 0) es (-4, 0, 0)

Pregunta 3: Un cubo de lado 5 tiene un vértice en el punto (1, 0, 1), y las tres aristas de este vértice son, respectivamente, paralelas a los ejes x e y negativos y al eje z positivo. Encuentra las coordenadas de los otros vértices del cubo.

Solución:

Dado: 

Un cubo tiene lado 4 con un vértice en (1, 0, 1)

Lado del cubo = 5

Tenemos que encontrar las coordenadas de los otros vértices del cubo.

Asi que, 

Deje que el Punto A(1, 0, 1) y AB, AD y AE sean paralelos al eje x -ve, al eje y -ve y al eje z +ve respectivamente.

Como lado del cubo = 5

El punto B es (-4, 0, 1)

El punto D es (1, -5, 1)

El punto E es (1, 0, 6)

Ahora, EH es paralelo a –ve eje y

El punto H es (1, -5, 6)

HG es paralelo al eje x -ve

El punto G es (-4, -5, 6)

Ahora, nuevamente GC y GF son paralelos al eje z -ve y al eje y +ve respectivamente

El punto C es (-4, -5, 1)

El punto F es (-4, 0, 6)

Pregunta 4: Los planos se dibujan paralelos a los planos de coordenadas a través de los puntos (3, 0, -1) y (-2, 5, 4). Encuentre las longitudes de los bordes del paralelepípedo así formado.

Solución:

Dado:  

Los puntos son (3, 0, -1) y (-2, 5, 4)

Tenemos que hallar las longitudes de las aristas del paralelepípedo formado.

Para el punto (3, 0, -1)

x 1 = 3, y 1 = 0 y z 1 = -1

Para el punto (-2, 5, 4)

x 2 = -2, y 2 = 5 y z 2 = 4

El plano paralelo a los planos coordenados de x 1 y x 2 es el plano yz

El plano paralelo a los planos de coordenadas de y 1 y y 2 es el plano xz

El plano paralelo a los planos de coordenadas de z 1 y z 2 es el plano xy

Distancia entre planos x 1 = 3 y x 2 = -2 es 3 – (-2) = 3 + 2 = 5

La distancia entre los planos x 1 = 0 y y 2 = 5 es 5 – 0 = 5

La distancia entre los planos z 1 = -1 y z 2 = 4 es 4 – (-1) = 4 + 1 = 5

Por lo tanto,

Las aristas del paralelepípedo son 5, 5, 5

Pregunta 5: Los planos se dibujan a través de los puntos (5, 0, 2) y (3, -2, 5) paralelos a los planos de coordenadas. Encuentre las longitudes de los bordes del paralelepípedo rectangular así formado.

Solución:

Dado:  

Los puntos son (5, 0, 2) y (3, -2, 5)

Tenemos que encontrar las longitudes de las aristas del paralelepípedo formado

Para el punto (5, 0, 2)

x 1 = 5, y 1 = 0 y z 1 = 2

Para el punto (3, -2, 5)

x 2 = 3, y 2 = -2 y z 2 = 5

El plano paralelo a los planos coordenados de x 1 y x 2 es el plano yz

El plano paralelo a los planos de coordenadas de y 1 y y 2 es el plano xz

El plano paralelo a los planos de coordenadas de z 1 y z 2 es el plano xy

La distancia entre los planos x 1 = 5 y x 2 = 3 es 5 – 3 = 2

La distancia entre los planos y 1 = 0 y y 2 = -2 es 0 – (-2) = 0 + 2 = 2

La distancia entre los planos z 1 = 2 y z 2 = 5 es 5 – 2 = 3

Por lo tanto,

Las aristas del paralelepípedo son 2, 2, 3

Pregunta 6: Encuentra las distancias del punto P (-4, 3, 5) desde los ejes de coordenadas.

Solución:

Dado:

El punto P (-4, 3, 5)

La distancia del punto desde el eje x se da como:
Distance=\sqrt{y^2+z^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{3^2+5^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{9+25}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{34}

La distancia del punto desde el eje y se da como:
Distance=\sqrt{x^2+z^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{(-4)^2+5^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{16+25}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{41}

La distancia del punto desde el eje z se da como:
Distance=\sqrt{x^2+y^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{(-4)^2+3^2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt{16+9}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=\sqrt25\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:=5

Pregunta 7: Las coordenadas de un punto son (3, -2, 5). Escriba las coordenadas de siete puntos tales que los valores absolutos de sus coordenadas sean los mismos que los de las coordenadas del punto dado.

Solución:

Dado:  

Punto (3, -2, 5)

El valor absoluto de cualquier punto (x, y, z) se muestra mediante,

√( x2 + y2 + z2 )

Necesitamos asegurarnos de que el valor absoluto sea el mismo para todos los puntos.

Así que sea el punto A(3, -2, 5)

Los 7 puntos restantes son:

Punto B(3, 2, 5) (Al cambiar el signo de la coordenada y)

Punto C(-3, -2, 5) (Al cambiar el signo de la coordenada x)

Punto D(3, -2, -5) (Al cambiar el signo de la coordenada z)

Punto E(-3, 2, 5) (Al cambiar el signo de las coordenadas x e y)

Punto F(3, 2, -5) (Al cambiar el signo de las coordenadas y y z)

Punto G(-3, -2, -5) (Al cambiar el signo de las coordenadas x y z)

Punto H(-3, 2, -5) (Al cambiar el signo de las coordenadas x, y y z)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yippeee25 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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