Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 Límites – Ejercicio 29.6 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Lim x→∞ {(3x – 1)(4x – 2)}/{(x + 8)(x – 1)}.

Solución:

Tenemos,

Límite x→∞ {(3x – 1)(4x – 2)}/{(x + 8)(x – 1)}

= \lim_{x\to ∞}\frac{x(3-\frac{1}{x})x(4-\frac{2}{x})}{x(1+\frac{8}{x})x(1-\frac{1}{x})}

= \lim_{x\to∞}\frac{(3-\frac{1}{x})(4-\frac{2}{x})}{(1+\frac{8}{x})(1-\frac{1}{x})}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= (3 × 4)/(1 × 1)

= 12

Pregunta 2. Lim x→∞ {(3x 3 – 4x 2 + 6x – 1)}/{(2x 3 + x 2 – 5x + 7)}.

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ {(3x 3 – 4x 2 + 6x – 1)}/{(2x 3 + x 2 – 5x + 7)}

=\lim_{x\to∞}\frac{x^3(3-\frac{4}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3})}{x^3(2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^3})}

=\lim_{x\to∞}\frac{(3-\frac{4}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3})}{(2+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^3})}

Cuando x → ∞, (1/x), (1/x 2 ), (1/x 3 ) → 0.

= 3/2

Pregunta 3. Lim x→∞ {(5x 3 – 6)}/{√(9 + 4x 6 )}.

Solución:

Tenemos,

Límite x→∞ {(5x 3 – 6)}/{√(9 + 4x 6 )}

=\lim_{x\to∞}\frac{x^3(5-\frac{6}{x^3})}{x^3\sqrt{(4+\frac{9}{x^6}})}

= \lim_{x\to∞}\frac{(5-\frac{6}{x^3})}{\sqrt{(4+\frac{9}{x^6}})}

Cuando x → ∞, (1/x), (1/x 3 ) → 0.

= 5/√4

= 5/2

Pregunta 4. Lim x→∞ {√(x 2 + cx) – x}

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ {√(x 2 +cx)-x}

Al racionalizar el numerador, obtenemos

= Lim x→∞ {(x 2 + cx) – x 2 }/{√(x 2 + cx) + x}

= Lim x→∞ (cx)/{√(x 2 + cx) + x}

= Lim x→∞ (cx)/[x{√(x + c/x) + 1}]

= Lim x→∞ (c)/{√(1 + c/x) + 1}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= c/(√1 + 1)

= c/2

Pregunta 5. Lim x→∞ {√(x + 1) – √x}

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ {√(x + 1) – √x}

Al racionalizar el numerador, obtenemos

= Lim x→∞ {(x+1)-x}/{√(x+1)+√x}

= Lim x→∞ (1)/{√(x+1)+√x}

= \lim_{x\to∞}\frac{1}{\sqrt{x}(1+\frac{1}{x}+1)}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= 0

Pregunta 6. Lim x→∞ {√(x 2 + 7x) – x}

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ {√(x 2 + 7x) – x}

Al racionalizar el numerador, obtenemos

= Lim x→∞ {(x 2 +7x)-x2}/{√(x 2 +7x)+x}

= Limx→∞(7x)/{√(x 2 +7x)+x}

=\lim_{x\to∞}\frac{7x}{x[\sqrt{(1+\frac{7}{x}})+1]}

=\lim_{x\to∞}\frac{7}{[\sqrt{(1+\frac{7}{x}})+1]}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= 7/(√1 + 1)

= 7/2

Pregunta 7. Lim x→∞ (x)/{√(4x 2 + 1) – 1}

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ (x)/{√(4x 2 + 1) – 1}

Racionalización del denominador.

= Lim x→∞ [x{√(4x 2 + 1) + 1}]/{(4x 2 + 1) – 1}

= Lim x→∞ [x{√(4x 2 + 1) + 1}]/(4x 2 )

= Lim x→∞ [{√(4x 2 + 1) + 1}]/(4x)

=\lim_{x\to∞}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{4}

Cuando x → ∞, (1/x 2 ) → 0.

= √4/4

= 2/4

= 1/2

Pregunta 8. Lim n→∞ (n 2 )/{1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + n}

Solución:

Tenemos,

Lim n→∞ (n 2 )/{1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + n}

=\lim_{n\to∞}\frac{n^2}{\frac{n(n+1)}{2}}

= Lím n→∞ (2n)/(n+1)

= Lím n→∞ (2)/(1+1/n)

Cuando n → ∞, (1/n) → 0

= 2/(1 + 0)

= 2

Pregunta 9. Lim x→∞ (3x -1 + 4x -2 )/(5x -1 + 6x -2 )

Solución:

Tenemos,

Lim x→∞ (3x -1 + 4x -2 )/(5x -1 + 6x -2 )

= \lim_{x\to∞}\frac{\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}

= \lim_{x\to∞}\frac{\frac{1}{x}(3+\frac{4}{x})}{\frac{1}{x}(5+\frac{6}{x})}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= 3/5

Pregunta 10. Lim x→∞ {√(x 2 + a 2 ) – √(x 2 + b 2 )}/{√(x 2 + c 2 ) – √(x 2 + d 2 )}

Solución:

Tenemos,

 Lim x→∞ {√(x 2 + a 2 ) – √(x 2 + b 2 )}/{√(x 2 + c 2 ) – √(x 2 + d 2 )}

Al racionalizar numerador y denominador, obtenemos

=\lim_{x\to∞}\frac{(\sqrt{x^2+a^2}-\sqrt{x^2+b^2})(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2+b^2})(\sqrt{x^2+c^2}+\sqrt{x^2+d^2})}{(\sqrt{x^2+c^2}-\sqrt{x^2+d^2})(\sqrt{x^2+c^2}+\sqrt{x^2+d^2})(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2+b^2})}

=\lim_{x\to∞}\frac{(x^2+a^2)-(x^2+b^2))(\sqrt{x^2+c^2}+\sqrt{x^2+d^2})}{(x^2+c^2)-(x^2+d^2)(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2+b^2})}

==\lim_{x\to∞}\frac{(a^2-b^2)(\sqrt{x^2+c^2}+\sqrt{x^2+d^2})}{(c^2-d^2)(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{x^2+b^2})}

=\lim_{x\to∞}\frac{(a^2-b^2)\frac{1}{x}(\sqrt{(1+\frac{c^2}{x^2}})+\sqrt{(1+\frac{d^2}{x^2}}}{(c^2-d^2)\frac{1}{x}(\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{b^2}{x^2}})}

Cuando x → ∞, (1/x 2 ) → 0.

=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}×\frac{\sqrt{1}+\sqrt{1}}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}

= (a 2 – b 2 )/(c 2 – d 2 )

Pregunta 11. Lim n→∞ {(n + 2)! + (n + 1)!}/{(n + 2)! – (n + 1)!}.

Solución:

Tenemos,

Lím n→∞ {(n + 2)! + (n + 1)!}/{(n + 2)! – (n + 1)!}

= Lím n→∞ {(n + 2)(n + 1)! + (n + 1)!}/{(n + 2)(n + 1)! – (n + 1)!}

= Lim n→∞ [(n + 1)!{(n + 2) + 1}]/[(n + 1)!{(n + 2) – 1}]

= Lím n→∞ (n + 3)/(n + 1)

= Lím n→∞ [n(1 + 3/n)]/[n(1 + 1/n)]

Cuando n → ∞, (1/n) → 0.

= 1/1

= 1

Pregunta 12. Lim x→∞ [x{√(x 2 + 1) – √(x 2 – 1)}]

Solución:

Tenemos,

Límite x→∞ [x{√(x 2 + 1) – √(x 2 – 1)}]

Al racionalizar el numerador, obtenemos

= Lim x→∞ [x{(x 2 + 1) – (x 2 – 1)}]/{√(x 2 + 1) + √(x 2 – 1)}

= Lim x→∞ (2x)/{√(x 2 + 1) + √(x 2 – 1)}

= Lim x→∞ (2x)/[x{√(1 + 1/x 2 ) + √(1 – 1/x 2 )}]

= Lim x→∞ (2)/[{√(1 + 1/x 2 ) + √(1 – 1/x 2 )}]

Cuando x → ∞, (1/x 2 ) → 0.

= 2/(√1 + √1)

= 2/2

= 1

Pregunta 13. Lim x→∞ [√(x + 2){√(x + 1) – √x}]

Solución:

Tenemos,

 Lim x→∞ [√(x + 2){√(x + 1) – √x}]

Al racionalizar el numerador, obtenemos

= Lim x→∞ [√(x + 2){(x + 1) – x}]/{√(x + 1) + √x}

= Lim x→∞ [√(x + 2)]/{√(x + 1) + √x}

= Lim x→∞ [x√(1 + 2/x)]/[x{√(1 + 1/x) + √1}]

= Lim x→∞ [√(1 + 2/x)]/{√(1 + 1/x) + √1}

Cuando x → ∞, (1/x) → 0.

= 1/(√1 + √1)

= 1/2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vivekray59 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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