Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 29 Límites – Ejercicio 29.9

Pregunta 1. $\lim_{x \to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan ^2x}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan ^2x}$

Aplicando límites, obtenemos,

⇒ $\frac{1+\cos \pi}{\tan ^2\pi}$ = $\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada o forma 0/0)

Entonces, no podemos simplemente aplicar directamente los límites ya que obtuvimos una forma indeterminada.

Al sustituir $\tan ^2x=\frac{sin^ 2x}{cos ^2x}$ obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{(1+\cos x)(\cos ^2x)}{\sin ^2x}$

Sabemos,

⇒ sí

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{(1+\cos x)(\cos ^2x)}{1-\cos ^2x}$

Usando obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{(1+\cos x)(\cos ^2x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}$

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{\cos ^2x}{1-\cos x}$

Aplicando límites obtenemos,

⇒ $\frac{\cos ^2\pi}{1-\cos \pi}$

⇒ $\frac{(-1)^2}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan ^2x} =\frac{1}{2}$

Pregunta 2. $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\cosec ^2x-2}{\cot x-1}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\cosec ^2x-2}{\cot x-1}$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{\cosec ^2\frac{\pi}{4}-2}{\cot \frac{\pi}{4}-1}=\frac{2-2}{1-1}=\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada)

Entonces, no podemos simplemente aplicar directamente los límites ya que obtuvimos una forma indeterminada.

Sabemos,

⇒

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{1+\cot ^2x-2}{\cot x-1}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\cot ^2x-1}{\cot x-1}$

Al usar la fórmula, obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{(\cot x-1)(\cot x+1)}{\cot x-1}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\cot x+1$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\cot \frac{\pi}{4}+1 =2$

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\cosec ^2x-2}{\cot x-1} =2$

Pregunta 3. $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{\cot ^2x-3}{\cosec x-2}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{\cot ^2x-3}{\cosec x-2}$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{\cot ^2\frac{\pi}{6}-3}{\cosec \frac{\pi}{6}-2}=\frac{3-3}{2-2}=\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada)

Lo sabemos, ⇒

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{\cosec ^2x-1-3}{\cosec x-2}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{\cosec ^2x-4}{\cosec x-2}$

Al usar la fórmula, obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{(\cosec x-2)(\cosec x+2)}{\cosec x-2}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} (\cosec x+2)$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\cosec \frac{\pi}{6}+2=4$

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\frac{\cot ^2x-3}{\cosec x-2} =4$

Pregunta 4. $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{2-\cosec ^2x}{1-\cot x}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{2-\cosec ^2x}{1-\cot x}$

Aplicando los límites que obtenemos,

⇒ $\frac{2-\cosec ^2\frac{\pi}{4}}{1-\cot \frac{\pi}{4}}=\frac{2-2}{1-1}=\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada)

Entonces, no podemos simplemente aplicar los límites.

Lo sabemos, ⇒

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{2-(1+\cot ^2x)}{1-\cot x}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{1-\cot ^2x}{1-\cot x}$

Al usar la fórmula, obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{(1-\cot x)(1+\cot x)}{1-\cot x}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (1+\cot x)$

Aplicando los límites que obtenemos,

⇒ $(1+\cot \frac{\pi}{4})=2$

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{2-\cosec ^2x}{1-\cot x} =2$

Pregunta 5. $\lim_{x \to \pi}\frac{\sqrt{2+\cos x}-1}{(\pi -x)^2}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \pi}\frac{\sqrt{2+\cos x}-1}{(\pi -x)^2}$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{\sqrt{2+\cos \pi}-1}{(\pi -\pi)^2}=\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada)

Entonces, no podemos simplemente aplicar los límites.

Racionalizando el numerador (multiplicando y dividiendo con $\sqrt{2+\cos x}+1$ )

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{(\sqrt{2+\cos x}-1)(\sqrt{2+\cos x}+1)}{(\pi -x)^2(\sqrt{2+\cos x}+1)}$

⇒ $\lim_{x \to \pi}\frac{(2+\cos x-1)}{(\pi -x)^2(\sqrt{2+\cos x}+1)}$

Dejar

Si

Sustituyendo obtenemos,

⇒ $\lim_{h \to 0}\frac{(1+\cos (\pi-h))}{(\pi -(\pi-h))^2(\sqrt{2+\cos (\pi-h)}+1)}$

Sabemos que sustituyendo obtenemos,

⇒ $\lim_{h \to 0}\frac{(1-\cos h)}{h^2(\sqrt{2-\cos h}+1)}$

Usando ⇒

⇒ $\lim_{h \to 0}\frac{2\sin^2(\frac{h}{2})}{(4\times\frac{h^2}{4})(\sqrt{2-\cos h}+1)}$

⇒ $\frac{1}{2} \lim_{h \to 0}[(\frac{\sin (\frac{h}{2})}{(\frac{h}{2})})^2\times(\frac{1}{\sqrt{2-\cos h}+1)})]$

Lo sabemos, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{\sqrt{2-1}+1}$

⇒ 1/2 x 1/2 = 1/4

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \pi}\frac{\sqrt{2+\cos x}-1}{(\pi -x)^2} =\frac{1}{4}$

Pregunta 6. $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{1+\cosec ^3x}{\cot^ 2x}$

Solución:

Dado, $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{1+\cosec ^3x}{\cot^ 2x}$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{1+\cosec ^3(\frac{3\pi}{2})}{\cot^ 2(\frac{3\pi}{2})}=\frac{0}{0}$ (Forma indeterminada)

Entonces, no podemos simplemente aplicar directamente los límites,

Al usar la fórmula, obtenemos,

⇒ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{(1+\cosec x)(1-\cosec x+\cosec^ 2x)}{\cosec^ 2x-1}$

Usando la fórmula,

⇒ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{(1+\cosec x)(1-\cosec x+\cosec^ 2x)}{(\cosec x-1)(\cosec x+1)}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{(1-\cosec x+\cosec^ 2x)}{\cosec x-1}$

Aplicando los límites, obtenemos,

⇒ $\frac{(1-\cosec (\frac{3\pi}{2})+\cosec^ 2(\frac{3\pi}{2}))}{\cosec (\frac{3\pi}{2})-1} =\frac{3}{-2}$

Por lo tanto, el valor de $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}}\frac{1+\cosec ^3x}{\cot^ 2x} =\frac{-3}{2}$