Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 3 Funciones – Ejercicio 3.3

Pregunta 1. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones de valor real de variable real:

(yo) f (x) = 1/x 

Solución:

Nos dan, f (x) = 1/x.  

Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto para el caso en que x = 0.

Por lo tanto, dominio de f = R – {0}

(ii) f (x) = 1/(x−7)

Solución:

Nos dan, f (x) = 1/(x−7).

Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x – 7 = 0 o x = 7.

Por lo tanto, dominio de f = R – {7}

(iii) f (x) = (3x−2)/(x+1)

Solución:

Nos dan, f (x) = (3x−2)/(x+1).

Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x + 1 = 0 o x = –1.

Por lo tanto, dominio de f = R – {–1}

(iv) f (x) = (2x+1)/(x 2 −9)

Solución:

Nos dan, f (x) = (2x+1)/(x 2 −9).

Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x 2 – 9 = 0.

=> x 2 – 9 = 0

=> (x + 3)(x – 3) = 0

=> x + 3 = 0 o x – 3 = 0

=> x = ± 3

Por lo tanto, dominio de f = R – {–3, 3}

(v) f (x) = (x2 + 2x+1)/(x2 –8x+12 )

Solución:

Nos dan, f (x) = (x 2 +2x+1)/(x 2 –8x+12).

Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x 2 – 8x + 12 = 0.

=> x2 8x + 12 = 0

=> x2 – 2x – 6x + 12 = 0

=> x(x – 2) – 6(x – 2) = 0

=> (x-2)(x-6) = 0

=> x – 2 = 0 o x – 6 = 0

=> x = 2 o 6

Por lo tanto, dominio de f = R – {2, 6}

Pregunta 2. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones de valor real de una variable real:

(i) f (x) = √(x–2)

Solución:

Nos dan, f (x) = √(x–2).

Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 2 ≥ 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.

=> x – 2 ≥ 0

=> x ≥ 2

=> x ∈ [2, ∞)

Por lo tanto, dominio de f = [2, ∞)

(ii) f (x) = 1/(√(x 2 –1))

Solución:

Nos dan, f (x) = 1/(√(x 2 –1)).

Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x 2 – 1 > 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo y el denominador x 2 – 1 no puede ser cero.

=> x 2 – 1 > 0

=> (x + 1) (x – 1) > 0

=> x < –1 o x > 1

=> x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, ∞)

Por tanto, dominio de f = (–∞, –1) ∪ (1, ∞)

(iii) f (x) = √(9–x 2 )

Solución:

Tenemos dado, f (x) = √(9–x 2 ).

Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando 9 – x 2 ≥ 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.

=> 9 – x2 ≥ 0

=> 9 ≥x2

=> x2 ≤ 9

=> x 2 – 9 ≤ 0

=> (x + 3)(x – 3) ≤ 0

=> x ≥ –3 y x ≤ 3

=> x ∈ [–3, 3]

Por lo tanto dominio de f = [–3, 3]

(iv) f (x) = √[(x–2)/(3–x)]

Solución:

Nos dan, f (x) = √[(x–2)/(3–x)].

Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 2 y 3 – x son tanto positivos como negativos.

Caso 1. x – 2 ≥ 0 y 3 – x ≥ 0

=> x ≥ 2 y x ≤ 3

Por lo tanto, x ∈ [2, 3]

Caso 2. x – 2 ≤ 0 y 3 – x ≤ 0.

=> x ≤ 2 y x ≥ 3

Este caso no es posible ya que la intersección de estos conjuntos es un conjunto nulo. 

Por lo tanto, x ∈ [2, 3] – {3}

=> x ∈ [2, 3)

Por lo tanto, dominio de f = [2, 3)

Pregunta 3. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones con valores reales:

(i) f (x) = (ax+b)/(bx–a)

Solución:

Nos dan, f (x) = (ax+b)/(bx–a).

Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que bx – a = 0 o x = a/b.

Entonces, dominio de f = R – (a/b)

Sea f (x) = y. Entonces, (ax+b)/(bx–a) = y.

=> hacha + b = y(bx – a)

=> hacha + b = bxy – ay

=> hacha – bxy = –ay – b

=> x(a – por) = –(ay + b)

=> x = – (ay+b)/(a–por)

Cuando a – by = 0 o y = a/b. Por tanto, f(x) no puede tomar el valor a/b.

Por lo tanto, rango de f = R – (a/b)

(ii) f (x) = (ax–b)/(cx–d)

Solución:

Nos dan, f (x) = (ax–b)/(cx–d).

Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que cx – d = 0 o x = d/c. 

Entonces, dominio de f = R – (d/c)

Sea f (x) = y. Entonces, (ax–b)/(cx–d) = y

=> hacha – b = y(cx – d)

=> ax – b = cxy – dy

=> hacha – cxy = b – dy

=> x(a – cy) = b – dy

=> x = (b–dy)/(a–cy)

Cuando a – cy = 0 o y = a/c. Por tanto, f(x) no puede tomar el valor a/c.

Por lo tanto, rango de f = R – (a/c)

(iii) f (x) = √(x–1)

Solución:

Nos dan, f (x) = √(x–1). 

Aquí, f(x) toma valores reales solo cuando x – 1 ≥ 0.

=> x ≥ 1

=> x ∈ [1, ∞)

Entonces, dominio de f = [1, ∞)

Cuando x ≥ 1, tenemos x – 1 ≥ 0. Entonces, √(x–1) ≥ 0. 

=> f(x) ≥ 0

=> f(x) ∈ [0, ∞)

Por lo tanto, rango de f = [0, ∞)

(iv) f (x) = √(x–3)

Solución:

Nos dan, f (x) = √(x–3).

Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 3 ≥ 0.

=> x ≥ 3

=> x ∈ [3, ∞)

Entonces, dominio de f = [3, ∞)

Cuando x ≥ 3, tenemos x – 3 ≥ 0. Por lo tanto, √(x–3) ≥ 0 

=> f(x) ≥ 0

=> f(x) ∈ [0, ∞)

Por lo tanto, rango de f = [0, ∞)

(v) f (x) = (x–2)/(2–x)

Solución:

Nos dan, f (x) = (x–2)/(2–x).

Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que 2 – x = 0 o x = 2.

Entonces, dominio de f = R – {2}

Y también, f (x) = –(2–x)/(2–x) = –1

Por tanto, cuando x ≠ 2, f(x) = –1

Por lo tanto, rango de f = {–1}

(vi) f (x) = |x–1|

Solución:

Se nos da, f (x) = |x–1|.

Claramente, f(x) está definida para todos los números reales x.

Entonces, dominio de f = R

Sea f (x) = y. Entonces, |x–1| = y. 

Por lo tanto, y solo puede tomar los valores positivos. Entonces, y ≥ 0.

Por lo tanto, rango de f = (0, ∞]

(vii) f (x) = –|x|

Solución:

Nos dan, f (x) = –|x|.

Claramente, f(x) está definida para todos los números reales x.

Entonces, dominio de f = R

Sea f (x) = y. Entonces, y = –|x|.

Por lo tanto, y solo puede tomar los valores negativos. Entonces, y ≤ 0.

Por lo tanto, rango de f = (–∞, 0]

(viii) f (x) = √(9–x 2 )

Solución:

Nos dan, f (x) = √(9–x 2 )

Aquí, f(x) toma valores reales solo cuando 9 – x 2 ≥ 0.

=> 9 ≥x2

=> x2 ≤ 9

=> x 2 – 9 ≤ 0

=> (x + 3)(x – 3) ≤ 0

=> x ≥ –3 y x ≤ 3

=> x ∈ [–3, 3]

Entonces, dominio de f = [–3, 3]

Cuando, x ∈ [–3, 3], tenemos 0 ≤ 9 – x 2 ≤ 9.

=> 0 ≤ √(9–x 2 ) ≤ 3 

=> 0 ≤ f (x) ≤ 3

=> f (x) ∈ [0, 3]

Por lo tanto, rango de f = [0, 3]

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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