Pregunta 1. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones de valor real de variable real:
(yo) f (x) = 1/x
Solución:
Nos dan, f (x) = 1/x.
Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto para el caso en que x = 0.
Por lo tanto, dominio de f = R – {0}
(ii) f (x) = 1/(x−7)
Solución:
Nos dan, f (x) = 1/(x−7).
Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x – 7 = 0 o x = 7.
Por lo tanto, dominio de f = R – {7}
(iii) f (x) = (3x−2)/(x+1)
Solución:
Nos dan, f (x) = (3x−2)/(x+1).
Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x + 1 = 0 o x = –1.
Por lo tanto, dominio de f = R – {–1}
(iv) f (x) = (2x+1)/(x 2 −9)
Solución:
Nos dan, f (x) = (2x+1)/(x 2 −9).
Aquí, f (x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x 2 – 9 = 0.
=> x 2 – 9 = 0
=> (x + 3)(x – 3) = 0
=> x + 3 = 0 o x – 3 = 0
=> x = ± 3
Por lo tanto, dominio de f = R – {–3, 3}
(v) f (x) = (x2 + 2x+1)/(x2 –8x+12 )
Solución:
Nos dan, f (x) = (x 2 +2x+1)/(x 2 –8x+12).
Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x 2 – 8x + 12 = 0.
=> x2 – 8x + 12 = 0
=> x2 – 2x – 6x + 12 = 0
=> x(x – 2) – 6(x – 2) = 0
=> (x-2)(x-6) = 0
=> x – 2 = 0 o x – 6 = 0
=> x = 2 o 6
Por lo tanto, dominio de f = R – {2, 6}
Pregunta 2. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones de valor real de una variable real:
(i) f (x) = √(x–2)
Solución:
Nos dan, f (x) = √(x–2).
Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 2 ≥ 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
=> x – 2 ≥ 0
=> x ≥ 2
=> x ∈ [2, ∞)
Por lo tanto, dominio de f = [2, ∞)
(ii) f (x) = 1/(√(x 2 –1))
Solución:
Nos dan, f (x) = 1/(√(x 2 –1)).
Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x 2 – 1 > 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo y el denominador x 2 – 1 no puede ser cero.
=> x 2 – 1 > 0
=> (x + 1) (x – 1) > 0
=> x < –1 o x > 1
=> x ∈ (–∞, –1) ∪ (1, ∞)
Por tanto, dominio de f = (–∞, –1) ∪ (1, ∞)
(iii) f (x) = √(9–x 2 )
Solución:
Tenemos dado, f (x) = √(9–x 2 ).
Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando 9 – x 2 ≥ 0 ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
=> 9 – x2 ≥ 0
=> 9 ≥x2
=> x2 ≤ 9
=> x 2 – 9 ≤ 0
=> (x + 3)(x – 3) ≤ 0
=> x ≥ –3 y x ≤ 3
=> x ∈ [–3, 3]
Por lo tanto dominio de f = [–3, 3]
(iv) f (x) = √[(x–2)/(3–x)]
Solución:
Nos dan, f (x) = √[(x–2)/(3–x)].
Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 2 y 3 – x son tanto positivos como negativos.
Caso 1. x – 2 ≥ 0 y 3 – x ≥ 0
=> x ≥ 2 y x ≤ 3
Por lo tanto, x ∈ [2, 3]
Caso 2. x – 2 ≤ 0 y 3 – x ≤ 0.
=> x ≤ 2 y x ≥ 3
Este caso no es posible ya que la intersección de estos conjuntos es un conjunto nulo.
Por lo tanto, x ∈ [2, 3] – {3}
=> x ∈ [2, 3)
Por lo tanto, dominio de f = [2, 3)
Pregunta 3. Encuentra el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones con valores reales:
(i) f (x) = (ax+b)/(bx–a)
Solución:
Nos dan, f (x) = (ax+b)/(bx–a).
Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que bx – a = 0 o x = a/b.
Entonces, dominio de f = R – (a/b)
Sea f (x) = y. Entonces, (ax+b)/(bx–a) = y.
=> hacha + b = y(bx – a)
=> hacha + b = bxy – ay
=> hacha – bxy = –ay – b
=> x(a – por) = –(ay + b)
=> x = – (ay+b)/(a–por)
Cuando a – by = 0 o y = a/b. Por tanto, f(x) no puede tomar el valor a/b.
Por lo tanto, rango de f = R – (a/b)
(ii) f (x) = (ax–b)/(cx–d)
Solución:
Nos dan, f (x) = (ax–b)/(cx–d).
Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que cx – d = 0 o x = d/c.
Entonces, dominio de f = R – (d/c)
Sea f (x) = y. Entonces, (ax–b)/(cx–d) = y
=> hacha – b = y(cx – d)
=> ax – b = cxy – dy
=> hacha – cxy = b – dy
=> x(a – cy) = b – dy
=> x = (b–dy)/(a–cy)
Cuando a – cy = 0 o y = a/c. Por tanto, f(x) no puede tomar el valor a/c.
Por lo tanto, rango de f = R – (a/c)
(iii) f (x) = √(x–1)
Solución:
Nos dan, f (x) = √(x–1).
Aquí, f(x) toma valores reales solo cuando x – 1 ≥ 0.
=> x ≥ 1
=> x ∈ [1, ∞)
Entonces, dominio de f = [1, ∞)
Cuando x ≥ 1, tenemos x – 1 ≥ 0. Entonces, √(x–1) ≥ 0.
=> f(x) ≥ 0
=> f(x) ∈ [0, ∞)
Por lo tanto, rango de f = [0, ∞)
(iv) f (x) = √(x–3)
Solución:
Nos dan, f (x) = √(x–3).
Aquí, f (x) toma valores reales solo cuando x – 3 ≥ 0.
=> x ≥ 3
=> x ∈ [3, ∞)
Entonces, dominio de f = [3, ∞)
Cuando x ≥ 3, tenemos x – 3 ≥ 0. Por lo tanto, √(x–3) ≥ 0
=> f(x) ≥ 0
=> f(x) ∈ [0, ∞)
Por lo tanto, rango de f = [0, ∞)
(v) f (x) = (x–2)/(2–x)
Solución:
Nos dan, f (x) = (x–2)/(2–x).
Aquí, f(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que 2 – x = 0 o x = 2.
Entonces, dominio de f = R – {2}
Y también, f (x) = –(2–x)/(2–x) = –1
Por tanto, cuando x ≠ 2, f(x) = –1
Por lo tanto, rango de f = {–1}
(vi) f (x) = |x–1|
Solución:
Se nos da, f (x) = |x–1|.
Claramente, f(x) está definida para todos los números reales x.
Entonces, dominio de f = R
Sea f (x) = y. Entonces, |x–1| = y.
Por lo tanto, y solo puede tomar los valores positivos. Entonces, y ≥ 0.
Por lo tanto, rango de f = (0, ∞]
(vii) f (x) = –|x|
Solución:
Nos dan, f (x) = –|x|.
Claramente, f(x) está definida para todos los números reales x.
Entonces, dominio de f = R
Sea f (x) = y. Entonces, y = –|x|.
Por lo tanto, y solo puede tomar los valores negativos. Entonces, y ≤ 0.
Por lo tanto, rango de f = (–∞, 0]
(viii) f (x) = √(9–x 2 )
Solución:
Nos dan, f (x) = √(9–x 2 )
Aquí, f(x) toma valores reales solo cuando 9 – x 2 ≥ 0.
=> 9 ≥x2
=> x2 ≤ 9
=> x 2 – 9 ≤ 0
=> (x + 3)(x – 3) ≤ 0
=> x ≥ –3 y x ≤ 3
=> x ∈ [–3, 3]
Entonces, dominio de f = [–3, 3]
Cuando, x ∈ [–3, 3], tenemos 0 ≤ 9 – x 2 ≤ 9.
=> 0 ≤ √(9–x 2 ) ≤ 3
=> 0 ≤ f (x) ≤ 3
=> f (x) ∈ [0, 3]
Por lo tanto, rango de f = [0, 3]
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Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA