Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 3 Funciones – Ejercicio 3.4

Pregunta 1. Encuentra f + g, f – g, cf (c ∈ R, c ≠ 0), fg, 1/f y f/g en cada uno de los siguientes:

(i) f(x) = x ³ + 1 y g (x) = x + 1

Solución:

Dado, f(x) = x ³ + 1 y g(x) = x + 1 y f(x): R → R y g(x): R → R

Sabemos, (f + g)(x) = f(x) + g(x) ⇒ (f + g) (x) = x ³ + 1 + x + 1 = x ³ + x + 2

Entonces, (f + g)(x) = x ³ + x + 2

Como, (f – g)(x) = f(x) – g(x) ⇒ (f – g)(x) = x ³ + 1 – (x + 1) = x ³ + 1 – x – 1 = x ³ –x

Entonces, (f – g)(x) = x ³ – x

Además, (cf)(x) = c × f(x) ⇒ (cf)(x) = c(x ³ + 1) = cx ³ + c

Entonces, (cf)(x) = cx ³ + c

Dado que, (fg)(x) = f(x)g(x) ⇒ (fg)(x) = (x ³ + 1)(x + 1) = (x + 1) (x ² – x + 1) (x + 1) = (x + 1) ² (x ² – x + 1)

Entonces, (fg)(x) = (x + 1) ² (x ² – x + 1)

Ahora, (1/f)(x) = 1/f (x) ⇒ 1/f (x) = 1/(x ³ + 1)

Como 1/f(x) no está definido cuando f(x) = 0 o cuando x = – 1,

Por tanto, 1/f: R – {–1} → R viene dado por 1/f (x) = 1 / (x ³ + 1)

Por último, (f/g)(x) = f(x)/g(x) ⇒ (f/g) (x) = (x ³ + 1)/(x + 1)

Dado que (x ³ + 1)/(x + 1) no está definido cuando g(x) = 0 o cuando x = –1.

Como x ³ + 1 = (x + 1)(x ² – x + 1), tenemos (f/g)(x) = $\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)}$ = x ² – x + 1

Por tanto, f/g: R – {–1} → R viene dado por (f/g)(x) = x ² – x + 1

(ii) f(x) = $\sqrt{(x-1)}$ y g(x) = $\sqrt{(x+1)}$

Solución:

Dado que la raíz cuadrada real se define solo para números no negativos, f(x): [1, ∞) → R+ y g(x): [–1, ∞) → R+

Sabemos, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = $\sqrt{(x-1)}$ + $\sqrt{(x+1)}$

Dominio de (f + g) = Dominio de f ∩ Dominio de g = [1, ∞) ∩ [–1, ∞) = [1, ∞)

Por tanto, f + g: [1, ∞) → R viene dado por (f + g)(x) = $\sqrt{(x-1)}$ + $\sqrt{(x+1)}$

Como, (f – g)(x) = f(x) – g(x) = $\sqrt{(x-1)}$ – $\sqrt{(x+1)}$

Dominio de (f – g) = Dominio de f ∩ Dominio de g = [1, ∞) ∩ [–1, ∞) = [1, ∞)

Por tanto, f – g: [1, ∞) → R viene dado por (f – g)(x) = $\sqrt{(x-1)}$ – $\sqrt{(x+1)}$

Dado que, (cf)(x) = c × f(x) = c $\sqrt{(x-1)}$

Dominio de (cf) = Dominio de f = [1, ∞)

Por tanto, cf: [1, ∞) → R viene dado por (cf)(x) = c $\sqrt{(x-1)}$

Además, (fg)(x) = f(x)g(x) = $\sqrt{(x-1)}\sqrt{(x+1)}$ = $\sqrt{x^2 -1}$

Dominio de (fg) = Dominio de f ∩ Dominio de g = [1, ∞) ∩ [–1, ∞) = [1, ∞)

Por lo tanto, fg: [1, ∞) → R viene dado por (fg)(x) = $\sqrt{x^2 -1}$

Ahora, (1/f) (x) = 1/f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Dominio de (1/f) = Dominio de f = [1, ∞)

Dado $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ que tampoco está definido cuando x – 1 = 0 o x = 1.

Por tanto, 1/f: (1, ∞) → R viene dado por (1/f)(x) = $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Por último, (f/g) (x) = f(x)/g(x) = $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$

Dominio de (f/g) = Dominio de f ∩ Dominio de g = [1, ∞) ∩ [–1, ∞) = [1, ∞)

Por tanto, f/g: [1, ∞) → R viene dado por (f/g) (x) = $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$

Pregunta 2. Sean f(x) = 2x + 5 y g(x) = x ² + x. Describe y encuentra el dominio en cada uno:

(yo) f + g

Solución:

Dado, f(x) = 2x + 5 y g(x) = x ² + x

Tanto f(x) como g(x) están definidas para todo x ∈ R.

Entonces, dominio de f = dominio de g = R

Sabemos, (f + g)(x) = f(x) + g(x) ⇒ (f + g)(x) = 2x + 5 + x ² + x

= x2 + 3x + ⁵

Dado que (f + g)(x) está definido para todos los números reales x.

Por lo tanto, (f + g)(x) = x ² + 3x + 5 y el dominio de (f + g) es R.

(ii) f – g

Solución:

Como (f – g)(x) = f(x) – g(x) ⇒ (f – g)(x)

= 2x + 5 – (x2 ⁺ x)

= 2x + 5 – x ² – x

= 5 + x – x ²

Dado que (f – g)(x) está definido para todos los números reales x.

Por lo tanto, (f – g)(x) = 5 + x – x ² y el dominio de (f – g) es R.

(iii) fg

Solución:

Sabemos, (fg)(x) = f(x)g(x) ⇒ (fg)(x) = (2x + 5)(x ² + x)

= 2x(x2 + x) + 5(x2 ⁺^x )

= 2x ³ + 2x ² + 5x ² + 5x

= 2x ³ + 7x ² + 5x

Dado que (fg)(x) está definido para todos los números reales x.

Por lo tanto, (fg)(x) = 2x ³ + 7x ² + 5x y el dominio de fg es R.

(iv) f/g

Solución:

Sabemos, (f/g) (x) = f(x)/g(x) ⇒ (f/g)(x) = $\frac{2x+5}{x^2+x}$

Claramente (f/g)(x) se define para todos los valores reales de x, excepto en el caso en que x ² + x = 0.

x ² + x = 0 ⇒ x(x + 1) = 0 ⇒ x = 0 o x + 1 = 0 ⇒ x = 0 o –1

Cuando x = 0 o –1, (f/g)(x) no estará definido.

Por lo tanto, El dominio de f/g = R – {–1, 0}

Pregunta 3. Si f(x) se define en [–2, 2] y está dada por $\begin{cases}-1 \ \ \ ,-2\lex\le0\\x-1 \ \ \ ,0<x\le2\end{cases}$ y g(x) = f(|x|) + |f(x)|. Encuentre g(x).

Solución:

f(|x|) = |x| – 1, donde –2 ≤ x ≤ 2

y, |f(x)| = $\begin{cases}1, \ \ -2\lex\le0\\-(x-1),\ \ 0\lex\le1\\(x-1), \ \ 1\lex\le2\end{cases}$

Así, g(x) = f(|x|) + |f(x)| = $\begin{cases}-x, \ \ -2\lex\le0\\0, \ \ 0\lex\le1\\2, \ \ 1\lex\le2\end{cases}$

Pregunta 4. Sean f, g dos funciones reales definidas por f(x) = $\sqrt{x+1}$ y g(x) = $\sqrt{9-x^2}$ . Luego, describe cada una de las siguientes funciones.

(yo) f + g

Solución:

Dado, f(x) = $\sqrt{x+1}$ y g(x) = $\sqrt{9-x^2}$

f(x) toma valores reales solo cuando x + 1 ≥ 0 x ≥ –1, x ∈ [–1, ∞) ⇒ Dominio de f = [–1, ∞)

g(x) toma valores reales solo cuando 9 – x ² ≥ 0

⇒ x ² ≤ 9 ⇒ x ² – 3 ² ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x – 3) ≤ 0

⇒ x ≥ –3 y x ≤ 3

⇒ Dominio de g = [–3, 3]

Sabemos, (f + g)(x) = f(x) + g(x) ⇒ (f + g) (x) = $\sqrt{x+1}$ + $\sqrt{9-x^2}$

Dominio de f + g = Dominio de f ∩ Dominio de g = [–1, ∞) ∩ [–3, 3] = [–1, 3]

Por tanto, f + g: [–1, 3] → R viene dado por (f + g)(x) = f(x) + g(x) = $\sqrt{x+1}$ + $\sqrt{9-x^2}$

(ii) g – f

Solución:

Sabemos, (g – f)(x) = g(x) – f(x) ⇒ (g – f)(x) = $\sqrt{9-x^2}$ – $\sqrt{x+1}$

Dominio de g – f = Dominio de g ∩ Dominio de f = [–3, 3] ∩ [–1, ∞) = [–1, 3]

Por tanto, g – f: [–1, 3] → R viene dado por (g – f) (x) = g(x) – f(x) = $\sqrt{9-x^2}$ – $\sqrt{x+1}$

(iii) fg

Solución:

Sabemos, (fg)(x) = f(x)g(x) ⇒ (fg)(x) = $\sqrt{x+1}\sqrt{9-x^2}$

= $\sqrt{x(9-x^2) + (9-x^2)}$

= $\sqrt{9x-x^3+9-x^2}$

= $\sqrt{9+9x-x^2-x^3}$

Dominio de fg = Dominio de f ∩ Dominio de g = [–1, ∞) ∩ [–3, 3] = [–1, 3]

Por tanto, fg: [–1, 3] → R viene dado por (fg) (x) = f(x) g(x) = $\sqrt{x+1}\sqrt{9-x^2}$ = $\sqrt{9+9x-x^2-x^3}$

(iv) f/g

Solución:

Sabemos, (f/g) (x) = f(x)/g(x) ⇒ (f/g) (x) = $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{9-x^2}}$

Dominio de f/g = Dominio de f ∩ Dominio de g = [–1, ∞) ∩ [–3, 3] = [–1, 3]

Sin embargo, (f/g) (x) se define para todos los valores reales de x ∈ [–1, 3], excepto en el caso en que 9 – x2 = 0 o x = ± 3

Cuando x = ±3, (f/g) (x) será indefinido ya que el resultado de la división será indeterminado.

Dominio de f/g = [–1, 3] – {–3, 3} = [–1, 3)

Por tanto, f/g: [–1, 3) → R viene dado por (f/g) (x) = f(x)/g(x) = $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{9-x^2}}$

(v) g/m

Solución:

Sabemos, (g/f)(x) = g(x)/f(x) ⇒ (g/f)(x) = $\frac{\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{x+1}}$

Dominio de g/f = Dominio de f ∩ Dominio de g = [–1, ∞) ∩ [–3, 3] = [–1, 3]

Sin embargo, (g/f) (x) está definida para todos los valores reales de x ∈ [–1, 3], excepto en el caso en que x + 1 = 0 o x = –1

Cuando x = –1, (g/f) (x) será indefinido ya que el resultado de la división será indeterminado.

Dominio de g/f = [–1, 3] – {–1} = (–1, 3]

Por tanto, g/f: (–1, 3] → R viene dado por (g/f) (x) = g(x)/f(x) = $\frac{\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{x+1}}$

(vi) 2f – √5 g

Solución:

Sabemos, (2f – √5g)(x) = 2f(x) – √5g(x)

⇒ (2f – √5g)(x) = 2f (x) – √5g(x)

= 2 $\sqrt{x+1}$ – $\sqrt5\sqrt{9-x^2}$

= 2 $\sqrt{x+1}$ – $\sqrt{45- 5x^2}$

Dominio de 2f – √5g = Dominio de f ∩ Dominio de g = [–1, ∞) ∩ [–3, 3] = [–1, 3]

Por tanto, 2f – √5g: [–1, 3] → R viene dado por (2f – √5g) (x) = 2f(x) – √5 g(x) = 2 $\sqrt{x+1}$ – $\sqrt{45- 5x^2}$

(vii) f ² + 7f

Solución:

Sabemos, (f ² + 7f)(x) = f ² (x) + (7f)(x)

⇒ (f ² + 7f) (x) = f(x).f(x) + 7f(x)

= $\sqrt{x+1}.\sqrt{x+1}$ + 7 $\sqrt{x+1}$

= X + 1 + 7 $\sqrt{x+1}$

El dominio de f ² + 7f es igual que el dominio de f = [–1, ∞)

Por tanto, f ² + 7f: [–1, ∞) → R viene dado por (f2 + 7f) (x) = f(x) f(x) + 7f(x) = x + 1 + 7 $\sqrt{x+1}$

(viii) 5/g

Solución:

Sabemos, (5/g)(x) = 5/g(x) ⇒ (5/g)(x) = $\frac{5}{\sqrt{9-x^2}}$

Dominio de 5/g = Dominio de g = [–3, 3]

Sin embargo, (5/g)(x) se define para todos los valores reales de x ∈ [–3, 3], excepto en el caso en que 9 – x ² = 0 o x = ± 3

Cuando x = ±3, (5/g)(x) no estará definido.

Por tanto, Dominio de 5/g = [–3, 3] – {–3, 3} = (–3, 3)

Por tanto, 5/g: (–3, 3) → R viene dado por (5/g)(x) = 5/g(x) = $\frac{5}{\sqrt{9-x^2}}$

Pregunta 5. Si f(x) = log _e (1 – x) y g(x) = [x], determine cada una de las siguientes funciones:

(yo) f + g

Solución:

f(x) = log _e (1 – x) y g(x) = [x]

Sabemos que f(x) toma valores reales solo cuando 1 – x > 0 o cuando 1 > x

x < 1, ∴ x ∈ (–∞, 1) ⇒ Dominio de f = (–∞, 1)

g(x) está definida para todos los números reales x. ⇒ Dominio de g = [x], x ∈ R = R

Así, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = log _e (1 – x) + [x]

Dominio de f + g = Dominio de f ∩ Dominio de g = (–∞, 1) ∩ R = (–∞, 1)

Por tanto, f + g: (–∞, 1) → R viene dado por (f + g) (x) = log _e (1 – x) + [x]

(ii) fg

Solución:

Sabemos, (fg)(x) = f(x)g(x) ⇒ (fg)(x) = log _e (1 – x) × [x] = [x]log _e (1 – x)

Dominio de fg = Dominio de f ∩ Dominio de g = (–∞, 1) ∩ R = (–∞, 1)

Por tanto, fg: (–∞, 1) → R viene dado por (fg) (x) = [x] log _e (1 – x).

(iii) f/g

Solución:

Sabemos, (f/g)(x) = f(x)/g(x) ⇒ (f/g)(x) = $\frac{log_e(1 - x)}{x}$

Dominio de f/g = Dominio de f ∩ Dominio de g = (–∞, 1) ∩ R = (–∞, 1)

Sin embargo, (f/g) (x) está definida para todos los valores reales de x ∈ (–∞, 1), excepto cuando [x] = 0.

Tenemos, [x] = 0 cuando 0 ≤ x < 1 o x ∈ [0, 1)

Cuando 0 ≤ x < 1, (f/g) (x) será indefinido. Dominio de f/g = (–∞, 1) – [0, 1) = (–∞, 0)

Por tanto, f/g: (–∞, 0) → R viene dado por (f/g)(x) = $\frac{log_e(1 - x)}{x}$

(iv) g/m

Solución:

Sabemos, (g/f)(x) = g(x)/f(x) ⇒ (g/f)(x) = $\frac{x}{log_e (1 - x)}$

Sin embargo, (g/f)(x) está definida para todos los valores reales de x ∈ (–∞, 1), excepto en el caso de que loge (1 – x) = 0.

⇒ logaritmo (1 – x) = 0 ⇒ 1 – x = 1

o x = 0

Cuando x = 0, (g/f) (x) será indefinido ya que el resultado de la división será indeterminado.

Dominio de g/f = (–∞, 1) – {0} = (–∞, 0) ∪ (0, 1)

Por tanto, g/f: (–∞, 0) ∪ (0, 1) → R viene dado por (g/f)(x) = $\frac{x}{log_e (1 - x)}$

(v) (f + g)(–1)

Solución:

(f + g) (x) = log _e (1 – x) + [x], x ∈ (–∞, 1)

Sustituyendo x = –1 en la ecuación anterior, obtenemos

(f + g)(–1) = log _e (1 – (–1)) + [–1]

= log _e (1 + 1) + (–1)

= log _e 2 – 1

Por lo tanto, (f + g)(–1) = log _e 2 – 1

(vi) (fg)(0)

Solución:

Tenemos, (fg)(x) = [x]log _e (1 – x), x ∈ (–∞, 1)

Sustituyendo x = 0 en la ecuación anterior, obtenemos

(fg)(0) = [0] log _e (1 – 0)

= 0 × log _e 1 = 0

Por lo tanto, (fg) (0) = 0

(vii) (f/g)(1/2)

Solución:

(f/g)(x) = $\frac{log_e(1 - x)}{x}$ , x ∈ (–∞, 0)

Sin embargo, 1/2 no está en el dominio de f/g.

Por lo tanto, (f/g)(1/2) no existe.

(viii) (f) (1/2)

Solución:

Tenemos, (g/f)(x) = $\frac{x}{log_e (1 - x)}$ , x ∈ (–∞, 0) ∪ (0, ∞)

Sustituyendo x=1/2 en la ecuación anterior, obtenemos

(g/f)(1/2) = $\frac{x}{log(1 - x)}$

= $\frac{\frac{1}{2}}{log_e(1 -\frac{1}{2})}$

= $\frac{0.5}{log_e(\frac{1}{2})}$

= $\frac{0}{loge(1/2)}$ = 0

Por lo tanto, (g/f)(1/2) = 0

Pregunta 6. Si f, g, h son funciones reales definidas por f(x) = $\sqrt{x+1}$ , g(x) = 1/x y h(x) = 2x ² – 3, entonces encuentre los valores de (2f + g – h )(1) y (2f + g – h)(0).

Solución:

Como f(x) está definida para x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1

⇒ x ∈ [– 1, ∞] = Dominio de f(x)

Ahora, (2f+g –h)(x) = 2f(x) + g(x) – h(x)

= 2 $\sqrt{x+1}$ + 1/x – (2x ² – 3)

= 2 $\sqrt{1+1}$ + 1/1 – 2(1) ² + 3

(2f + g – h)(x) = 2√2 + 2

Como (2f+g –h)(0) no pertenece al dominio x ∈ [– 1, ∞] – 0, no existe.

Pregunta 7. La función f(x) está definida por: f(x) = $\begin{cases}1-x , \ \ x<0\\1 , \ \ x=0\\1+x , \ \ x>0\end{cases}$ . Dibujar la gráfica de f(x).

Solución:

La gráfica de f(x) para x < 0 se encuentra a la izquierda del origen.

La gráfica de f(x) para x > 0 se encuentra a la derecha del origen.

La gráfica de f(x) para x = 0 está representada por el punto (0,1).

Pregunta 8. Sean f, g: R ⇒ R respectivamente como f(x) = x + 1 y g(x) = 2x – 3. Halla f + g, f – g y f/g.

Solución:

Sabemos, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1 + 2x – 3) = 3x – 2.

Ahora, (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (x + 1) – (2x – 3) = 4 – x.

f/g(x) = f(x)/g(x) = $\frac{x+1}{2x-3}$

Pregunta 9. Sean f y g respectivamente como f(x) = √x y g(x) = x. Encuentre f + g, f – g, fg y f/g.

Solución:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x + x

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = √x – x

(fg)(x) = f(x)g(x) = √xx = x ^{1/2 + 1} = x ^3/2

f/g(x) = f(x)/g(x) = √x/x = 1/√x

Pregunta 10. Sean f(x) = x ² y g(x) = 2x + 1 dos funciones reales. Encuentre f + g, f – g, fg y f/g.

Solución:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x ² + 2x + 1 = (x + 1) ²

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x ² – 2x – 1

(fg)(x) = f(x)g(x) = x ² (2x + 1) = 2x ³ + x ²

f/g(x) = f(x)/g(x) = $\frac{x^2}{2x+1}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra f + g, f – g, cf (c ∈ R, c ≠ 0), fg, 1/f y f/g en cada uno de los siguientes:

(i) f(x) = x 3 + 1 y g (x) = x + 1

(ii) f(x) = y g(x) =

Pregunta 2. Sean f(x) = 2x + 5 y g(x) = x 2 + x. Describe y encuentra el dominio en cada uno:

(yo) f + g

(ii) f – g

(iii) fg

(iv) f/g

Pregunta 3. Si f(x) se define en [–2, 2] y está dada por y g(x) = f(|x|) + |f(x)|. Encuentre g(x).

Pregunta 4. Sean f, g dos funciones reales definidas por f(x) = y g(x) = . Luego, describe cada una de las siguientes funciones.

(yo) f + g

(ii) g – f

(iii) fg

(iv) f/g

(v) g/m

(vi) 2f – √5 g

(vii) f 2 + 7f

(viii) 5/g

Pregunta 5. Si f(x) = log e (1 – x) y g(x) = [x], determine cada una de las siguientes funciones:

(yo) f + g

(ii) fg

(iii) f/g

(iv) g/m

(v) (f + g)(–1)

(vi) (fg)(0)

(vii) (f/g)(1/2)

(viii) (f) (1/2)

Pregunta 6. Si f, g, h son funciones reales definidas por f(x) = , g(x) = 1/x y h(x) = 2x 2 – 3, entonces encuentre los valores de (2f + g – h )(1) y (2f + g – h)(0).

Pregunta 7. La función f(x) está definida por: f(x) = . Dibujar la gráfica de f(x).

Pregunta 8. Sean f, g: R ⇒ R respectivamente como f(x) = x + 1 y g(x) = 2x – 3. Halla f + g, f – g y f/g.

Pregunta 9. Sean f y g respectivamente como f(x) = √x y g(x) = x. Encuentre f + g, f – g, fg y f/g.

Pregunta 10. Sean f(x) = x 2 y g(x) = 2x + 1 dos funciones reales. Encuentre f + g, f – g, fg y f/g.

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(i) f(x) = x ³ + 1 y g (x) = x + 1

(ii) f(x) = $\sqrt{(x-1)}$ y g(x) = $\sqrt{(x+1)}$

Pregunta 2. Sean f(x) = 2x + 5 y g(x) = x ² + x. Describe y encuentra el dominio en cada uno:

Pregunta 3. Si f(x) se define en [–2, 2] y está dada por $\begin{cases}-1 \ \ \ ,-2\lex\le0\\x-1 \ \ \ ,0<x\le2\end{cases}$ y g(x) = f(|x|) + |f(x)|. Encuentre g(x).

Pregunta 4. Sean f, g dos funciones reales definidas por f(x) = $\sqrt{x+1}$ y g(x) = $\sqrt{9-x^2}$ . Luego, describe cada una de las siguientes funciones.

(vii) f ² + 7f

Pregunta 5. Si f(x) = log _e (1 – x) y g(x) = [x], determine cada una de las siguientes funciones:

Pregunta 6. Si f, g, h son funciones reales definidas por f(x) = $\sqrt{x+1}$ , g(x) = 1/x y h(x) = 2x ² – 3, entonces encuentre los valores de (2f + g – h )(1) y (2f + g – h)(0).

Pregunta 7. La función f(x) está definida por: f(x) = $\begin{cases}1-x , \ \ x<0\\1 , \ \ x=0\\1+x , \ \ x>0\end{cases}$ . Dibujar la gráfica de f(x).

Pregunta 10. Sean f(x) = x ² y g(x) = 2x + 1 dos funciones reales. Encuentre f + g, f – g, fg y f/g.