Pregunta 1. Derive f(x) = x 4 – 2senx + 3cosx con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = x 4 – 2senx + 3cosx
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(x 4 – 2senx + 3cosx) / dx
⇒ d(x 4 )/dx – 2.d(senx)/dx + 3.d(cosx)/dx
⇒ 4x 3 – 2cosx – 3senx.
Pregunta 2. Diferenciar f(x) = 3 x + x 3 + 3 3 con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = 3 x + x 3 + 3 3
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d( 3 x + x 3 + 3 3 ) / dx
⇒ d(3 x )/dx + d(x 3 )/dx + d(3 3 )/dx
⇒ 3 x log3 + 3x 2 + 0 [Como sabemos, d(a x )/dx = a x loga]
⇒ 3 x log3 + 3x 2
Pregunta 3. Diferenciar f(x) = x 3 /3 – 2√x + 5/x 2 con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = x 3 /3 – 2√x + 5/x 2
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d( x 3 /3 – 2√x + 5/x 2 ) / dx
⇒ 1.d(x 3 )/3dx – 2d(√x)/dx + 5d(x -2 )/dx
⇒ 1/3,3x 2 – 2,1/2,1/√x + 5(-2) x -3
⇒ x 2 – x -1/2 – 10x -3
⇒ x 2 – 1/√x – 10/x 3
Pregunta 4. Diferenciar f(x) = e xloga + e alogx + e aloga con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = e xloga + e alogx + e aloga
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(e xloga + e alogx + e aloga )
⇒ d(e xloga )/dx + d(e alogx )/dx + d(e aloga )/dx
⇒ e xloga .loga + e alogx .a/x + 0 [Como sabemos, e aloga es constante]
⇒ loga.e xloga + a/xe alogx
⇒ loga.a x + a/xx a [Aquí, a x se puede escribir como ae xloga ]
⇒ a x loga + ax a-1
Pregunta 5. Diferenciar f(x) = (2x 2 + 1)(3x + 2) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (2x 2 + 1)(3x + 2)
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(2x 2 + 1)(3x + 2)/dx
⇒ (3x + 2)d(2x 2 + 1)/dx + (2x 2 + 1)d(3x + 2)/dx
⇒ (3x + 2)(4x+0) + (2x 2 + 1)(3+ 0)
⇒ (12x 2 + 8x + 6x 2 + 3)
⇒ 18x 2 + 8x + 3.
Pregunta 6. Derive f(x) = log 3 x + 3log e x + 2tanx con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = log 3 x + 3log e x + 2tanx
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d( log 3 x + 3log e x + 2tanx)/dx
⇒ 1/log 3 d(logx)/dx + 3.d(log e x)/dx + 2.d(tanx)/dx
⇒ 1/log 3 × 1/x + 3/x + 2 seg 2 x
⇒ 1/x log 3 + 3/x + 2 seg 2 x
Pregunta 7. Diferenciar f(x) = (x + 1/x) (√x + 1/√x) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (x + 1/x) (√x + 1/√x)
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d((x + 1/x) (√x + 1/√x))/dx
⇒ (x + 1/x) d(√x + 1/√x)/dx + (√x + 1/√x) d(x + 1/x)/dx
⇒ (x + 1/x) (1/2√x – 1/2x 3/2 ) + (√x + 1/√x) (1 – 1/x 2 )
⇒ {x/(2√x) – x/(2x 3/2 ) + 1/2(x 3/2 )- 1/(2x 5/2 )} + {√x – √x/x 2 + 1 /√x – 1/x 5/2}
⇒ (1.√x/2 – 1/2√x + 1/2x 3/2 – 1/2x 5/2 + √x – 1/x 3/2 + 1/√x – 1/x 5/2 )
⇒ (3√x/2 + √x/2 – 1/2x 3/2 – 3/2x 5/2 )
⇒ 3x 1/2/2 + x -1/2/2 – x -3/2/2 – 3x -5/2/2
Pregunta 8. Deriva f(x) = (√x + 1/√x) 3 con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (√x + 1/√x) 3
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(√x + 1/√x) 3 /dx
⇒ d(x 3/2 + 3x.1/x + 3√x.1/x + 1/x 3/2 )/dx [Como sabemos que, (a + b) 3 = a 2 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ]
⇒ d(x 3/2 + 3x 1/2 + 3x -1/2 + x -3/2 )/dx
⇒ 3x 1/2 /2 + 3x -1/2 /2 + 3.(-1/2).x -3/2 – 3x -5/2 /2
⇒ 3x 1/2/2 – 3x -5/2/2 + 3x -1/2/2 – 3x -3/2/2 .
Pregunta 9. Derive f(x) = 2x 2 + 3x + 4 /x con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = 2x 2 + 3x + 4 /x
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(2x 2 + 3x + 4 /x) / dx
⇒d(2x 2 /x + 3x/x + 4/x) /dx
⇒ d(2x + 3 + 4x -1 ) / dx
⇒ 2- 4/x 2
Pregunta 10. Diferencia f(x) = (x 3 + 1) (x – 2) / x 2 con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (x 3 + 1) (x – 2) / x 2
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d{(x 3 + 1) (x – 2) / x 2 } / dx
⇒ d{(x 4 – 2x 3 +x – 2)/ x 2 } / dx
⇒ d(x 2 – 2x + x -1 – 2x -2 ) / dx
⇒ d(x 2 )/dx – 2d(x)/dx + d(x -1 )/dx – 2d(x -2 )/dx
⇒ 2x – 2 – 1/x 2 + 4/x 3
⇒ 2x – 2 – 1/x 2 + 4/x 3
Pregunta 11. Diferenciar f(x) = acosx + bsenx + c / senx con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = acosx + bsenx + c / senx
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(acosx + bsenx + c / senx) /dx
⇒ ad(cosx)/dx(senx) + bd(1)/dx + cd/dx(senx)
⇒ a(-cosec 2 x) + 0 + c(-cosecx.cotx)
⇒ -acosec 2 x – c.cosecx.cotx
Pregunta 12. Diferenciar f(x) = (2secx + 3cotx – 4tanx) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (2secx + 3cotx – 4tanx)
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(2secx + 3cotx – 4tanx) / dx
⇒ 2.d(2secx)/dx + 3.d(cotx)/dx – 4.d(tanx)/dx
⇒ 2secxtanx – 3cosec 2x – 4sec 2x
Pregunta 13. Diferenciar f(x) = (a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ……… + a n-1 x + a n ) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ……… + a n-1 x + a n )
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ……… + a n-1 x + a n ) / dx
⇒ a 0 d(x) n /dx + a 1 d(x) n-1 /dx + a 2 d(x) n-2 /dx + ………. + a n-1 d(x)/dx + a n d(1)/dx
⇒ na 0 x n-1 + (n-1)a 1 x n-2 + ………. + un n-1 + 0
⇒ na 0 x n-1 + (n-1)a 1 x n-2 + ……….. + a n-1
Pregunta 14. Diferenciar f(x) = 1/senx + 2 x+3 + 4/logx 3 con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = 1/senx + 2 x+3 + 4/logx 3
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d/dx (1/senx + 2 x+3 + 4/logx 3 )
⇒ d(cosecx)/dx + 2 3 d(2 x )/dx + 4/log3 × d(logx)/dx [Como sabemos, log b a = loga/logb]
⇒ -cosecx.cotx + 8 × 2log2 + 4/log3 × 1/x [Ya que, d(a x )/dx = a x loga]
⇒ -cosecx.cotx + 2 x+3 log2 + 4/xlog3
Pregunta 15. Diferenciar f(x) = (x + 5)(2x – 1) / x con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = (x + 5)(2x – 1) / x
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d/dx {(x + 5)(2x 2 – 1)/x}
⇒ d/dx (2x 3 + 10x 2 – x – 5 / x)
⇒ d(2x 2 + 10x – 1 – 5x -1 )/dx
⇒ 2d(x 2 )/dx + 10d(x)/dx – d(1)/dx – 5d(x -1 )/dx
⇒ 2.2x + 10 – 0 + 5/x 2
⇒ 4x + 10 + 5/x 2
Pregunta 16. Diferenciar f(x) = log(1/√x) + 5x a – 3a x + 3√x 2 + 6( 4 √x -3 ) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = log(1/√x) + 5x a – 3a x + 3√x 2 + 6( 4 √x -3 )
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d/dx {log(1/√x) + 5x a – 3a x + 3 √x 2 + 6( 4 √x -3 )}
⇒ d(log(1/√x)/dx + 5d(x a )/dx – 3(a x ) + d( 3 √x 2 )/dx + 6d( 4 √x -3 )/dx
⇒ -1/2.1/x + 5ax a-1 – 3a x loga + 2x -1/3 /3 + 6x -7/4 (-3/4)
⇒ -1/2x + 5ax a-1 – 3a x loga + 2x -1/3 /3 – 9x -7/4 /2
Pregunta 17. Diferenciar f(x) = cos(x + a) con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = cos(x + a)
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d{cos(x + a)}/dx
⇒ d(cosx.cosa – sinx.sina)/dx
⇒ cosa.d(cosx)/dx – sina.d(senx)/dx
⇒ cosa(-senx) – sina(cosx)
⇒ cosx.sina + sinx.cosa
⇒ -(sinx.cosa + cosx.sina)
⇒ -sin(x + a)
Pregunta 18. Diferenciar f(x) = cos(x – 2)/senx con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = cos(x – 2)/senx
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d{cos(x – 2)/senx)/dx
⇒ d{(cosx.cos2 + senx.sen2)/senx} / dx
⇒ cos2.d(cotx)/dx + sen2.d(1)/dx
⇒ -cos2.cosec 2 x + 0
⇒ -coseg 2 x.cos2
Pregunta 19. Si y = {sen(x/2) + cos(x/2)}, encuentre dy/dx en x = π/6.
Solución:
Dado que, y = {sin(x/2) + cos(x/2)} …..(1)
Encuentre que dy/dx en x = π/6
Ahora, diferencie la ecuación (1) en ambos lados de x, obtenemos
dy/dx = d{sen(x/2) + cos(x/2)}/dx
⇒ d{sen 2 (x/2) + cos 2 (x/2) + 2 sen (x/2). cos (x/2)}/dx
⇒ d(1 + senx)/dx [Como sabemos que sen 2 x + cos 2 x = 1]
⇒ 0 + cosx [Como sabemos que sen 2 x= 2senx.cosx]
⇒ cosx
Ahora pon x = π/6
⇒ cos(π/6)
⇒ √3/2
Pregunta 20. Si y = (2 – 3cosx / senx), encuentra dy/dx en x = π/4.
Solución:
Dado que, y = (2 – 3cosx / senx) ….(1)
Encuentre que dy/dx en x = π/4
Ahora, diferencie la ecuación (1) en ambos lados de x, obtenemos
dy/dx = d(2 – 3cosx / senx) / dx
⇒ d(2cosecx – 3cotx) / dx
⇒ 2d(cosecx)/dx – 3d(cotx)/dx
⇒ -2cosecx.cotx + 3cosec 2 x
Ahora pon x = π/4
⇒ -2coseg(π/4).cot(π/4) + 3coseg 2 (π/4)
⇒ -2√2 – 1 + 3,2
⇒ -2√2 + 6
⇒ 6 – 2√2
Pregunta 21. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva f(x) = 2x 6 + x 4 – 1 en x = 1.
Solución:
Dado que f(x) = 2x 6 + x 4 – 1 en x = 1.
Encuentra la pendiente de la tangente en un punto x = 1
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ d(2x 6 + x 4 -1)/dx
⇒ 2dx 6 /dx + dx 4 /dx – d.1/dx
⇒ 12x 5 + 4x 3 – 0
⇒ 12x 5 + 4x 3
Ahora pon x = 1
⇒ 12(1) 5 + 4(1) 3
⇒ 12 + 4
⇒ 16
Por tanto, la pendiente de la tangente a la curva f(x) en x = 1 es 16.
Pregunta 22. Si y = √x/a + √a/x, prueba que 2xy.dy/dx = (x/a – a/x)
Solución:
Dado que, y = √x/a + √a/x
Demostrar que 2xy.dy/dx = (x/a – a/x)
Prueba:
dy/dx = d( √x/a + √a/x)/dx
⇒ 1/√ad(√x)/dx + √ad(1/√x)/dx
⇒ 1/√a.1/2√x + √a(-1/2).1/x√x
⇒ 1/2x{√x/a + (-√a/x)}
⇒ 2x.dy/dx = √x/a – √a/x
Multiplicando ambos lados por y = √x/a + √a/x, obtenemos
⇒ 2xy.dy/dx = (√x/a – √a/x)(√x/a + √a/x)
⇒ (x/a – a/x)
Por lo tanto probado.
Pregunta 23. Encuentra la tasa a la cual la función f(x) = x 4 – 2x 3 + 3x 2 + x + 5 cambia con respecto a x.
Solución:
Dado que, f(x) = x 4 – 2x 3 + 3x 2 + x + 5
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
df(x)/dx = d(x 4 – 2x 3 + 3x 2 + x + 5) / dx
⇒ 4x 3 – 6x 2 + 6x + 1.
Pregunta 24. Si y = 2x 9 /3 – 5x 7 /7 + 6x 3 – x, encuentre dy/dx en x = 1.
Solución:
Dado que, y = 2x 9 /3 – 5x 7 /7 + 6x 3 – x …..(1)
Encuentre que dy/dx en x = 1
Ahora, diferencie la ecuación (1) en ambos lados de x, obtenemos
dy/dx = d(2x 9 /3 – 5x 7 /7 + 6x 3 – x) / dx
⇒ 2/3dx 9 /dx – 5/7dx 7 /dx + 6dx 3 /dx – dx/dx
⇒ 2/3,9x 8 – 5/7,7x 6 + 18x 2 – 1
⇒ 6x 8 – 5x 6 + 18x 2 – 1.
Pon x = 1
⇒ 6(1) 8 – 5(1) 6 + 18(1) 2 – 1
⇒ 6 – 5 + 18 – 1
⇒ 18
Pregunta 25. Si f(x) = λx 2 + μx + 12, f'(4) = 15 y f'(2) = 11, entonces encuentra λ y μ.
Solución:
Dado que, f(x) = λx 2 + μx + 12 …..(1)
f'(4) = 15 y f'(2) = 11
Encuentre: el valor de λ y μ.
Ahora, diferenciamos eq(1) wrt x, obtenemos
f(x) = λx 2 +μx + 12
f'(x) = 2λx + μ
Ahora pon f'(4) = 15, obtenemos
⇒ 2λ(4) + μ = 15
⇒ 8λ + μ = 15 ……………(1)
Ahora pon, f'(2) = 11
⇒ 2λ(2) + μ = 11
4λ + μ = 11 …………… (2)
De la ecuación (1) y (2), obtenemos
⇒ 4λ = 4
⇒ λ = 1
Ahora pon el valor de λ en la ecuación (1), obtenemos
⇒ 8(1) + μ = 15
⇒ μ = 7
Por lo tanto, el valor de λ = 1 y μ = 7
Pregunta 26. Para la función f(x) = x 100 /100 + x 99 /99 + ………….. + x 2 /2 + x + 1.
Demuestre que f'(1) = 100f'(0).
Solución:
Dado que, f(x) = x 100 /100 + x 99 /99 + ………….. + x 2 /2 + x + 1
Ahora, diferencie wrt x, obtenemos
⇒ f'(x) = x 99 + x 98 + ………… + x + 1 + 0 ……………..(1)
De la ecuación (1),
⇒ f'(1) = 1 + 1 + …………….(100 veces)
⇒ 100
Otra vez,
⇒ f'(0) = 0 + 0 + ………….. + 1
⇒ 1
Ahora,
⇒ f'(1) = 100
⇒ 100 × 1 = 100 × f'(0)
⇒ f'(1) = 100f'(0)
Por lo tanto probado