Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 30 Derivados – Ejercicio 30.2 | Serie 1

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Pregunta 1. Diferencie cada uno de los siguientes usando primeros principios:

(yo) 2/x 

Solución:

Dado que f(x) = 2/x

Usando la fórmula

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{2x-2x-2h}{hx(x+h)}  

= \lim_{h\to 0}\frac{2(-h)}{hx(x+h)}

= \lim_{h\to 0}\frac{-2}{x(x+h)}

= \frac{-2}{x^2}

(ii) 1/√x

Solución:

Dado que f(x) = 1/√x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt(x+h)}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}.h}

= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}.h}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}.h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}.h(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}

= \lim_{h\to 0}\frac{-h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}.h(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}

= \lim_{h\to 0}\frac{-1}{x\sqrt{x+h}+\sqrt{x}(\sqrt{x+h})}

= \lim_{h\to 0}\frac{-1}{2x\sqrt{x}}

= \frac{-1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

(iii) 1/x 3

Solución:

Tenemos f(x) = 1/x 3

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^3}-\frac{1}{x^3}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x^3-(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}{x^3h(x+h)^3}

= \lim_{h\to 0}\frac{x^3-x^3-3x^2-3xh-h^2}{x^3(x+h)^3}

= \lim_{h\to 0}\frac{-3x^2-3xh-h^2}{x^3(x+h)^3}

= \frac{-3x^2}{x^6}

= \frac{-3}{x^4}

(iv) (x 2 + 1)/x

Solución:

Dado que f(x) = (x 2 + 1)/x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{(x+h)^2+1}{(x+h)}-\frac{x^2+1}{x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x[x^2+h^2+2xh+1]-(x^2+1)(x+h)}{hx(x+h)}

= \lim_{h\to 0}\frac{x^3+xh^2+2x^2h+x-x^3-x-x^2h-h}{hx(x+h)}

= \lim_{h\to 0}\frac{xh+2x^2-x^2-1}{x(x+h)}

= \frac{x^2-1}{x^2}

= 1-\frac{1}{x^2}

(v) (x 2 – 1)/x

Solución:

Dado que f(x) = (x 2 – 1)/x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{(x+h)^2-1}{(x+h)}-\frac{x^2-1}{x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x[x^2+h^2+2xh-1]-(x^2-1)(x+h)}{hx(x+h)}

= \lim_{h\to 0}\frac{xh+2x^2-x^2+1}{x(x+h)}

= \frac{x^2+1}{x^2}

= 1+\frac{1}{x^2}

(vi) (x + 1)/(x + 2)

Solución:

Dado que f(x) = (x + 1)/(x + 2)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{(x+h)+1}{(x+h)+2}-\frac{x+1}{x+2}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(x^2+2x+xh+2h+2+x)-(x^2+xh+2x+x+h+2)}{h(x+2)(x+h+2)}

= \lim_{h\to 0}\frac{h}{h(x+2)(x+h+2)}

= 1/(x + 2) 2

(vii) (x + 2)/(3x + 5)

Solución:

Dado que f(x) = (x + 2)/(3x + 5)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{(x+h+2)}{3(x+h)+5}-\frac{x+2}{3x+5}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(3x+5)(x+h+2)-(x+2)(3x+3h+5)}{h(3x+5)(3x+3h+5)}

= \lim_{h\to 0}\frac{(3x^2+5x+3xh+5h+6x+10)-(3x^2+3xh+5x+6x+6h+10)}{h(3x+5)(3x+3h+5)}

= \lim_{h\to 0}\frac{-h}{h(3x+5)(3x+3h+5)}

= \lim_{h\to 0}\frac{-1}{(3x+5)(3x+3h+5)}

= \frac{-1}{(3x+5)^2}

(viii) kx n

Solución:

Dado que f(x) = kx n 

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{k(x+h)^n-kx^n}{h}

= k\lim_{h\to 0}\frac{(x^n+nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+...)-x^n}{h}

= k\lim_{h\to 0}nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\frac{n(n-1(n-2)}{3!}x^{n-3}h^2......

= k nx n-1 + 0 + 0 …

= k n x n-1

(ix) 1/√(3 – x)

Solución:

Dado que f(x) = 1/√(3-x)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{3-(x+h)}}-\frac{1}{\sqrt{3-x}}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3-(x+h)}}{\sqrt{3-x}\sqrt{3-(x+h)}h}

= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3-(x+h)}}{\sqrt{3-x}\sqrt{3-(x+h)}h}\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3-(x+h)}}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3-(x+h)}h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(3-x)-(3-(x+h))}{\sqrt{3-x}\sqrt{3-(x+h)}h\sqrt{3-x}+\sqrt{3-(x+h)}}

= \lim_{h\to 0}\frac{h}{\sqrt{3-x}\sqrt{3-(x+h)}h(\sqrt{3-x}+\sqrt{3-(x+h))}}

= \frac{1}{(3-x)2\sqrt{3-x}}

= \frac{1}{2(3-x)^{3/2}}

(x) x 2 + x + 3

Solución:

Dado que f(x) = x 2 + x + 3

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{[(x+h)^2+(x+h)+3]-x^2+x+3}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x^2+h^2+2hx+x+h+3-x^2-x-3}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2+h}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{h(2x+h+1)}{h}

= 2x + 0 + 1

= 2x + 1

(xi) (x + 2) 3

Solución:

Dado que f(x) = (x + 2) 3

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h+2)^3-(x+2)^3}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{[(x+2)+h]^3-(x+2)^3}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(x+2)^3+h^3+3h(x+2)^2+3(x+2)h^2-(x+2)^3}{h}

= \lim_{h\to 0}3(x+2)^2+3(x+2)h+h^2

= 3(x + 2) 2

(xii) x 3 + 4x 2 + 3x + 2

Solución:

Dado que f(x) = x 3 + 4x 2 + 3x + 2

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3+4(x+h)^2+3(x+h)+2-(x^3+4x^2+3x+2)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{x^3+h^3+3x^2h+3h^2x+4x^2+4h^2+8hx+3x+3h+2-x^3-4x^2-3x-2}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{3x^2h+3h^2x+h^3+4h^2+8hx+3h}{h}

= \lim_{h\to 0}3x^2+3hx+h^2+4h+8x+3

= 3x 2 + 8x + 3

(xiii) (x 2 + 1) (x – 5)

Solución:

Dado que f(x) = (x 2 +1)(x-5)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{[(x+h)^3+(x+h)-5(x+h^2)-5]-(x^3-5x^2+x-5)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(x^3+h^3+3x^2h+3h^2x+x+h-5x^2-5h^3-10xh-5)-(x^3-5x^2+x-5)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{(3x^2h+3h^2x+h^3+h-5h^2-10xh)}{h}

= \lim_{h\to 0}3x^2+3hx+h^2+1-5h-10x

= 3x 2 – 10x + 1

(xiv) √(2x 2 + 1)

Solución:

Dado que f(x) = √(2x 2 + 1)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{2(x+h)^2+1}-\sqrt{2x^2+1}}{h}

Al multiplicar numerador y denominador por {\sqrt{2(x+h)^2+1}+\sqrt{2x^2+1}}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{[2(x+h)^2+1-(2x^2+1)]}{h(\sqrt{2(x+h)^2+1}+\sqrt{2x^2+1})}

= \lim_{h\to 0}\frac{2x^2+2h^2+4xh+1-2x^2-1}{h(\sqrt{2(x+h)^2+1}+\sqrt{2x^2+1})}

= \lim_{h\to 0}\frac{4xh+2h^2}{h\sqrt{2(x+h)^2+1}+\sqrt{2x^2+1}}

= \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}

= \frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}

(xv) (2x + 3)/(x – 2)

Solución:

Dado que f(x) = (2x + 3)/(x – 2)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{\frac{2x+2h+3}{x+h-2}-\frac{2x+3}{2-x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{2x^2+2hx+3x-4x-4h-6-2x^2-2hx+4x-3x-3h+6}{h(x+h-2)(x-2)}

= \lim_{h\to 0}\frac{-7}{(x+h-2)(x-2)}

= \frac{-7}{(x-2)^2}

Pregunta 2. Diferencie cada uno de los siguientes usando primeros principios:

(i) e- x

Solución:

Dado que f(x) = e -x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-(x+h)-e^{-x}}}{h}

= f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-x}(e^{-h}-1)}{h}

= f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-e^{-x}(e^{-h}-1)}{-h}

= -e -x

(ii) y 3x

Solución:

Dado que f(x) = e 3x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{3x}e^{3h}-e^{3x}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{3x}(e^{3h-1})}{h}

 Multiplicar numerador y denominador por 3.

= \lim_{h\to 0}e^{3x}\frac{(e^{3h-1})}{3h}             

Aquí, \lim_{h\to 0}\frac{e^{3h-1}}{3h}=1

= 3e 3x

(iii) eax+b

Solución:

Dado que f(x) = e ax+b

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{x(x+h)+b}-e^{ax+b}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{ax}e^{ah}e^b-e^{ax}e^b}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^be^{ax}(e^{ah}-1)}{h}

= lim_{h\to 0}e^{(ax+b)}\frac{a(e^{ah}-1)}{a.h}

Al multiplicar numerador y denominador por un              

Ya que \lim_{h\to 0}\frac{(e^{ah}-1)}{ah}=1

= ae ax+b  

(iv) xe x

Solución:

Dado que f(x) = xe x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)e^{x+h}-xe^x}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{xe^xe^h+he^xe^h-xe^x}{h}

= \lim_{h\to 0}xe^x(\frac{e^h-1}{h})+\frac{he^{x+h}}{h}

= xe x + e x

= e x (x + 1)

(v) x 2 e x

Solución:

Dado que f(x) = x 2 e x

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{x^2e^xe^h+h^2e^xe^h+2xhe^h-x^2e^x}{h}

= \lim_{h\to 0}x^2e^x\frac{(e^h-1)}{h}+e^xe^h\frac{(h^2+2xh)}{h}

= x 2 e x + e x (0 + 2x)

= x 2 e x + 2xe x

= e x (x 2 + 2x) 

(vi) e^{(x^2+1)}

Dado que f(x) = e^{(x^2+1)}

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)^2}+1-e^{x^2+1}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2+h^2+2xh+1}-e^{x^2+1}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2+1}(e^{2xh}e^{h^2}-1)}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2+1}(e^{2xh+h^2}-1)}{2xh+h^2}×\frac{2xh+h^2}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{x^2+1}.1×2x+h

= 2xe^{x^2+1}

(vii) e √(2x)

Solución:

Dado que f(x) = e^{\sqrt{2x}}

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{\sqrt{2(x+h)}}-e^{\sqrt{2x}}}{h}

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{\sqrt{2x}}(e^{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}-1)}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{2x}}\frac{(e^{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}-1)}{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}\frac{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}{h}

Al multiplicar numerador y denominador por \sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}

obtenemos

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{2x}}\frac{{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}}{h}

Nuevamente multiplicando numerador y denominador por \sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}

obtenemos

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{2x}}\frac{{\sqrt{2(x+h)}-\sqrt{2x}}}{h}×\frac{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}{\sqrt{2(x+h)}+\sqrt{2x}}

= e^{\sqrt{2x}}×\frac{1}{2\sqrt{2x}}

(viii) e √(ax + b)

Solución:

Dado que f(x) = e √(ax+b)

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{\sqrt{a(x+h)+b}}-e^{\sqrt{ax+b}}}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{a(x+h)+b}}\frac{(e^{\sqrt{a(x+h)+b}-{\sqrt{ax+b}}}-1)}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{ax+b}}\frac{e^{\sqrt{a(x+h)+b}-{\sqrt{ax+b}}}-1}{\sqrt{a(x+h)+b}-\sqrt{ax+b}}\frac{\sqrt{a(x+h)+b}-\sqrt{ax+b}}{h}

Al multiplicar numerador y denominador por \sqrt{a(x+h)+b}-\sqrt{ax+b}

obtenemos

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{ax+b}}×1×\frac{{\sqrt{a(x+h)+b}-{\sqrt{ax+b}}}}{\sqrt{a(x+h)+b}+\sqrt{ax+b}}×\frac{\sqrt{a(x+h)+b}+\sqrt{ax+b}}{h}

Nuevamente multiplicando numerador y denominador por \sqrt{a(x+h)+b}+\sqrt{ax+b}

obtenemos

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{ax+b}}×\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}×\frac{1}{(\sqrt{a(x+h)+b}+\sqrt{ax+b})}

= \frac{e^{\sqrt{ax+b}}×a}{2\sqrt{ax+b}}

= \frac{ae^{\sqrt{ax+b}}}{2\sqrt{ax+b}}

(ix) un √x

Solución:

Dado que f(x) = a √x = e √xloga

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{\sqrt{x+h}loga}-e^{\sqrt{x}loga}}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{x}loga}\frac{e^{\sqrt{x+h}loga-\sqrt{x}loga}-1}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{x}loga}\frac{e^{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga}-1}{h}

Al multiplicar numerador y denominador por (\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga

obtenemos

 f”(x) = \lim_{h\to 0}e^{\sqrt{x}loga}\frac{e^{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga}-1}{h(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga}(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga

= e^{\sqrt{x}loga}\lim_{h\to 0}\frac{e^{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga}-1}{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})loga}\lim_{h\to 0}loga\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}{h}

= e^{\sqrt{x}loga}\lim_{h\to 0}loga\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}{h}

Al multiplicar numerador y denominador por (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})

obtenemos

 f'(x) = e^{\sqrt{x}loga}\lim_{h\to 0}loga\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})

= e^{\sqrt{x}loga}\lim_{h\to 0}loga\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}

= e^{\sqrt{x}loga}\frac{loga}{2\sqrt{x}}

=  \frac{a^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}  log ea _

(X) 3^{x^2}

Solución:

Dado que f(x) = 3^{x^2}=e^{x^2log3}

Usando la fórmula

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Obtenemos

= \lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)^2log3}-e^{x^2log3}}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{x^2log3}\frac{[e({(x+h)^2-x^2)^{log3}}-1]}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{x^2log3}\frac{[e{(x+h)^2-x^2]^{log3}}-1}{(x+h)^2-x^2}×\frac{(x+h)^2-x^2}{h}

= \lim_{h\to 0}e^{x^2log3}\frac{(x+h+x)(x+h-x)}{h}

= e^{x^2log3} 2x

= 2xe^{x^2log3}

= 2x3^{x^2log3}

 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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