Pregunta 1. Verifique la validez de las siguientes declaraciones:
(i) p: 100 es un múltiplo de 4 y 5.
(ii) q: 125 es un múltiplo de 5 y 7.
(iii) r: 60 es un múltiplo de 3 o 5.
Solución:
(i) 100 es completamente divisible por 4 y 5 completamente sin dejar resto. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
(ii) 125 es un múltiplo de 5 y no es divisible perfectamente por 7. Por lo tanto, el enunciado dado es falso.
(iii) El número entero 60 es tanto un múltiplo de 3 como de 5. Por lo tanto, el enunciado dado es verdadero.
Pregunta 2. Comprueba si la siguiente afirmación es cierta o no:
(i) p: si x e y son enteros impares, entonces x + y es un entero par.
(ii) q: si x, y son enteros tales que xy es par, entonces al menos uno de xey es un entero par.
Solución:
(i) p: si x e y son enteros impares, entonces x + y es un entero par.
Supongamos que A y B son los componentes de este enunciado, que vienen dados por
R: x e y son números enteros impares.
B: x + y es un entero par
El enunciado dado se puede escribir como:
Si A, entonces B.
Supongamos que A es verdadera. Tenemos, x e y son enteros impares.
Supongamos que los valores son:
x = 2m+1, y = 2n+1 para algunos enteros m, n
Sumando los valores, obtenemos
x + y = (2m+1) + (2n+1)
=> x + y = (2m+2n+2)
=> x + y = 2(m+n+1)
x + y es un número entero, que es divisible por 2.
Entonces, B se cumple.
Por lo tanto, A es verdadero y B es verdadero.
Por tanto, si A, entonces B es un enunciado verdadero.
(ii) q: si x, y son enteros tales que xy es par, entonces al menos uno de xey es un entero par.
Supongamos que p y q son los enunciados dados por
p: x e y son números enteros y xy es un número par.
q: Al menos uno de xey es par.
Sea p verdadero, entonces xy es un entero par.
Asi que,
xy = 2(n + 1)
Ahora,
Sea x = 2(k + 1)
Como x es un entero par, xy = 2(k + 1). y también es un número entero par.
Ahora toma x = 2(k + 1) y y = 2(m + 1)
xy = 2(k + 1).2(m + 1) = 2.2(k + 1)(m + 1)
Entonces, también es cierto.
Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
Pregunta 3. Demostrar que el enunciado
p: “Si x es un número real tal que x3 + x = 0, entonces x es 0” es verdadero por
(i) Método directo
(ii) método de contrapositivo
(iii) método de contradicción
Solución:
(i) Método Directo:
Supongamos que ‘q’ y ‘r’ son los enunciados componentes que están dados por
q: x es un número real tal que x3 + x=0.
r: x es 0.
Podemos escribir esta afirmación como:
Si q, entonces r.
Sea q verdadero. Entonces, x es un número real tal que x3 + x = 0
x es un número real tal que x(x2 + 1) = 0
x = 0
es verdad
Por lo tanto, q es verdadera y r es verdadera.
Por lo tanto, p es verdadera.
(ii) Método de contrapositivo:
Sea r falso. Después,
x ≠ 0, x∈R
x(x2+1)≠0, x∈R
q no es cierto
Así, -r = -q
Por lo tanto, p : q y r es verdadera
(iii) Método de Contradicción:
Si es posible, sea p falso. Después,
P no es cierto
-p es cierto
-p (p => r) es verdadero
q y –r es cierto
x es un número real tal que x3+x = 0 y x≠ 0
x = 0 y x ≠ 0
Esto muestra una contradicción.
Por lo tanto, p es verdadera.
Pregunta 4. Demuestre que la siguiente afirmación es verdadera por el método de la contrapositiva
p: «Si x es un número entero y x 2 es impar, entonces x también es impar».
Solución:
Supongamos que q y r son los enunciados componentes del enunciado compuesto dado p,
q: x es un número entero y x 2 es impar.
r: x es un entero impar.
Podemos reescribir esta afirmación como,
p: si q, entonces r.
Supongamos que r es falso. Después,
Si x no es un entero impar, entonces x es un entero par
x = (2n) para algún entero n
Cuadrando ambos lados,
x2 = 4n2 _
x 2 es un entero par, ya que es divisible por 2
Por lo tanto, r es falsa y q también es falsa.
Por tanto, p: “si q, entonces r” es un enunciado verdadero.
Pregunta 5. Demuestra que la siguiente afirmación es verdadera
“El entero n es par si y solo si n 2 es par”
Solución:
Deje que las declaraciones de componentes,
p: el entero n es par
q: si n 2 es par
Supongamos que p es verdadera. Después,
Sea n = 2k
Al elevar al cuadrado ambos lados,
norte 2 = 4k 2
norte 2 = 2 x 2 x k 2
n 2 es un número par, ya que es divisible por 2.
Entonces, q también es verdadera cuando p es verdadera.
Por lo tanto, la afirmación dada es verdadera.
Pregunta 6. Al dar un contraejemplo , demuestre que la siguiente afirmación no es verdadera.
p: “Si todos los ángulos de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es un triángulo obtusángulo”.
Solución:
Supongamos cualquier triángulo ABC con todos los ángulos iguales.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados, por lo tanto, cada ángulo del triángulo es igual a 60.
Entonces, este triángulo ABC no es un triángulo obtusángulo.
Por lo tanto, la afirmación «p: si todos los ángulos de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es un triángulo obtusángulo» es falsa.
Pregunta 7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? En cada caso, dé una razón válida para decirlo.
(i) p: Cada radio de un círculo es una cuerda del círculo.
(ii) q: El centro de un círculo biseca cada cuerda del círculo.
(iii) r: El círculo es un caso particular de elipse.
(iv) s: si x e y son números enteros tales que x > y, entonces – x < – y.
(v) t: √11 es un número racional.
Solución:
(i) p: Cada radio de un círculo es una cuerda del círculo.
Una cuerda del círculo es un segmento de línea que une dos puntos extremos en su circunferencia. Pero el radio une el centro con el punto final.
Por lo tanto, esta afirmación es Falso.
(ii) q: El centro de un círculo biseca cada cuerda del círculo.
Un círculo puede tener muchas cuerdas. Una cuerda no necesariamente tiene que pasar por el centro del círculo.
Por lo tanto, esta afirmación es Falso.
(iii) r: El círculo es un caso particular de elipse.
Si el círculo tiene ejes iguales, entonces es equivalente a una elipse.
Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
(iv) s: si x e y son números enteros tales que x > y, entonces – x < – y.
Para dos enteros cualesquiera con x > y , x – y es positivo, entonces –(xy) es negativo.
Si negamos la ecuación, obtenemos
– x < – y
Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
(v) t: √11 es un número racional.
La raíz cuadrada de todos los números primos son números irracionales.
Por lo tanto, esta afirmación es Falso.
Pregunta 8. Determine si el argumento utilizado para verificar la validez de la siguiente afirmación es correcto:
p: “Si x 2 es irracional, entonces x es racional”.
El enunciado es verdadero porque el número x 2 = π 2 es irracional, por lo tanto x = π es irracional.
Solución:
Tenemos el siguiente argumento, x 2 = π 2 es irracional, por lo tanto x = π es irracional.
p: “Si x 2 es irracional, entonces x es racional”.
Supuestamente, tenemos un número irracional de la forma k, donde x = √k, donde k es un número racional.
Elevando al cuadrado ambos lados de las ecuaciones, obtenemos,
x2 = k
Ahora, como k es racional (dado), x 2 también es racional. Esto contradice nuestra afirmación.
Por lo tanto, el argumento dado es incorrecto.