Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 32 Estadísticas – Ejercicio 32.4

Pregunta 1. Encuentra la media, la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos:

(yo) 2, 4, 5, 6, 8, 17

(ii) 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

(iii) 227, 235, 255, 269, 292, 299, 312, 321, 333, 348

(iv) 15, 22, 27, 11, 9, 21, 14,9

Solución:

(i)

X d = (x – Media) re ²

2 -5 25

4 -3 9

5 -2 4

6 -1 1

8 1 1

17 10 100

totales = 42 totales = 140

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$

= 1/6[42] = 7

$Var(x)\{\sum(x_i-\overline{x})^2\}$

= 1/6[140] = 23,33

Desviación estándar = √Var(x) = √23,33 = 4,8

(ii)

X d = (x – Media) re ²

6 -3 9

7 -2 4

10 1 1

12 3 9

13 4 dieciséis

4 -5 25

8 -1 1

12 3 9

totales = 72 totales = 74

Media = $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$

= 1/8[72] = 9

$Var(x)\{\sum(x_i-\overline{x})^2\}$

= 1/8[74] = 9,25

Desviación estándar = √Var(x) = √9,25 = 3,04

(iii)

  x _yo

re _yo = x _yo – 299

yo ²_{_}

227

-72

5184

235

-64

4096

255

-44

1936

269

-30

900

292

-7

49

299

0

0

312

13

169

321

22

484

333

34

1156

348

49

2401

totales = -99

totales = 16375

Media = $\overline{x}$ = 299 + (-99/10) = 289,1

$Var(x)\{\sum(x_i-\overline{x})^2\}$

= 16375/10 – (-99/10) ²

=

Desviación estándar = √Var(x) = √1539,49 = 39,24

(iv)

x _yo    re _yo = x _yo – 15 yo ²_{_}

15

0

0

22

7

49

27

12

144

11

-4

dieciséis

9

-6

36

21

6

36

14

-1

1

9

-6

36

totales = 8

totales = 318

Media = $\overline{x}$ = 15 + 8/8 = 16

$Var(x)\{\sum(x_i-\overline{x})^2\}$

= 318/8 – 1 = 38,75

Desviación estándar = √Var(x) = √38,75 = 6,22

Pregunta 2. La varianza de 20 observaciones es 4. Si cada observación se multiplica por 2, encuentre la varianza de las observaciones resultantes.

Solución:

Dado: n = 20, y $\sigma^2=5$

Ahora multiplique cada observación por 2, obtenemos

Supongamos que X = 2x sean los nuevos datos.

$\overline{X}=\frac{1}{20} \sum2x_i=\frac{1}{20}\times2\sum x_i=2\overline{x}\\ \Rightarrow\sum x_i^2=4\sum x_i^2\\ Since,\ \sigma^2=5\\ \Rightarrow\frac{1}{n}\sum x_i^2-(\overline{x})^2$ =5

Entonces, para los nuevos datos, tenemos

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum X_i^2-(\overline{X})^2=4\sum X_i^2-(2\overline{X})^2=4(\sum X_i^2-(\overline{X})^2)$

= 4 × 5

= 20

Pregunta 3. La varianza de 15 observaciones es 4. Si cada observación se incrementa en 9, encuentre la varianza de las observaciones resultantes.

Solución:

Dado: n = 15, y $\sigma^2=4$

Ahora aumenta cada observación por 9, obtenemos

Supongamos que X = x + 9 sean los nuevos datos.

$\therefore\ \ \ \overline{X}=\frac{1}{15}(x_i+9)=\left(\frac{1}{15}\times\sum x_i\right)+9=\overline{x}+9\\ \Rightarrow\sum x_i^2=\sum (x_i+9)^2=\sum x_i^2+\sum 18x_i+\sum 9^2\\ Since,\ \sigma^2=5\\ \Rightarrow\ \ \frac{1}{n}\sum x_i^2(\overline{x})^2=4\\$

Así que para los nuevos datos:

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum X_i^2-(\overline{X})^2=\frac{1}{15}(\sum x_i^2+\sum18x_i+\sum9^2)-(\overline{x}+9)^2\\ =\frac{1}{15}\sum x_i^2+15\sum18x_i+\frac{1}{15}\sum9^2-(9)^2-(18\overline{x})-(\overline{x})^2\\ =\left[\frac{1}{15}\sum x_i-(\overline{x})^2\right]+\left[\frac{1}{15}\sum18x_i-(18\overline{x})\right]+\left[\frac{1}{15}\sum9^2-(9)^2\right]$

$=\left[\frac{1}{15}\sum x_i^2-(\overline{x})^2\right]+\left[18\times\frac{1}{15}\sum x_i-(18\overline{x})\right]+\left[\frac{1}{15}\times15\times(9)^2-(9)^2\right]\\ \frac{1}{15}\sum x_i^2-(\overline{x})^2$

= 4

Pregunta 4. La media de 5 observaciones es 4,4 y su varianza es 8,24. Si tres de las observaciones son 1, 2 y 6, encuentre las otras dos observaciones.

Solución:

Consideremos que las otras dos observaciones son x e y

Dado: La media de 5 observaciones es 4.4 y su varianza es 8.24

Asi que,

Media = 1 + 2 + 6 + x + y = 5 × 4,4

= x + y = 13

Varianza =

11,56 + 5,76 + 2,56 + (x – 4,4) ² + (y – 4,4) ² = 41,2

(x – 4,4) ² + (y – 4,4) ² = 21,32

Al resolver esta ecuación, obtenemos

(x – 4,4) ² + (13 – x – 4,4) ² = 21,32

(x – 4,4) ² + (8,6 – x) ² = 21,32

x2 – 8,8x ⁺ 19,36 + 73,96 – 17,2x + x2 ⁼ 21,32

2x ² – 26x + 72 = 0

x ² – 13x + 36 = 0

(x-4)(x-9) = 0

x = 4 o x = 9

Entonces, las otras dos observaciones son 4 y 9.

Pregunta 5. La media y la desviación estándar de 6 observaciones son 8 y 4 respectivamente. Si cada observación se multiplica por 3, encuentre la nueva media y la nueva desviación estándar de las observaciones resultantes.

Solución:

Dado: Media de 6 observaciones = 8

Desviación estándar de 6 observaciones = 4

k = 3

Entonces, consideremos que la media y la desviación estándar de la observación son $\overline{X}$ y $\sigma$

entonces la media y la Desviación Estándar de la observación multiplicada por una constante ‘k’ son

$Mean=k\overline{X}\\ Standard \ Deviation=|k|\sigma$

Entonces, la nueva media = 8 × 3 = 24

Nueva desviación estándar = 4 × 3 = 12

Pregunta 6. La media y la varianza de 8 observaciones son 9 y 9,25 respectivamente. Si seis de las observaciones son 6, 7, 10, 12, 12 y 13, encuentre las dos observaciones restantes.

Solución:

Dado: Media de 8 observaciones = 9

Desviación Estándar de 8 observaciones = 9.25

Observaciones = 6, 7, 10, 12, 12 y 13

Entonces, consideremos que las otras dos observaciones son x e y

Media = (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y)/8 = 9

= 60 + x + y =72

= x + y = 12 -(1)

Varianza = 1/8(6 ² + 7 ² + 10 ² + 12 ² + 12 ² + 13 ² + x ² + y ² ) – (81) ² = 9,25

= 642 + x2 + ^y2⁼ 722

= x2 + y2 ⁼ 80 -(2 ⁾

Ahora, (x + y) ² + (x – y) ² = 2(x ² + y ² )

= 144 + (x – y) ² = 2 × 80

= (x – y) ² = 16

= x – y = ±4

Si x – y = 4, entonces x + y = 12 y x – y = 4

Entonces, x = 8, y = 4

Si x – y = -4 entonces x + y = 12 y x – y = -4

Entonces, x = 4, y = 8

Por lo tanto, las dos observaciones restantes son 4 y 8.

Pregunta 7. Para un grupo de 200 candidatos, se encontró que las desviaciones media y estándar de las puntuaciones eran 40 y 15 respectivamente. Más tarde se descubrió que las puntuaciones de 43 y 35 se malinterpretaron como 34 y 53 respectivamente. Encuentre la media y la desviación estándar correctas.

Solución:

Dado: n = 200, $\overline{X}=40,\sigma=15\\ \ \ \therefore\overline{X}=\frac{1}{n}\sum x_i$

$\overline{X}$ = 200 × 40 = 8000

Corregido $\sum x_i$ = Incorrecto $\sum x_i$ – (suma de valores incorrectos) + (suma de valores correctos)

= 8000 – 34 – 53 + 43 + 35 = 7991

Media corregida = $\frac{corrected \sum x_i}{n}$

= 7991/200 = 39,955

$\sigma=15\\ 15^2=\frac{1}{200}(\sum x_i^2)-\left(\frac{1}{200}\sum x_i\right)^2\\ 255=\frac{1}{200}(\sum x_i^2)-\left(\frac{8000}{200}\right)^2\\ 255=\frac{1}{200}(\sum x_i^2)-1600 \sum x_i^2$

= 200 × 1825 = 365000

Incorrecto $\sum x_i^2$ = 36500

Corregido $\sum x_i^2$ = (incorrecto $\sum x_i^2$ ) – (suma de cuadrados de valor incorrecto) +

(suma de cuadrados de valores correctos)

= 365000 – (34) ² – 53 ² + (43) ² + 35 ² = 364109

Entonces, corregido $\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)^2}\\=\sqrt{\frac{364109}{200}-\left(\frac{7991}{200}\right)^2}\\ =\sqrt{1820.545-1596.402}$

= 14,97

Pregunta 8. La media y la desviación estándar de 100 observaciones fueron calculadas como 40 y 5,1 respectivamente por un estudiante que tomó por error 50 en lugar de 40 para una observación. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar correctas?

Solución:

Dado: n = 100, $\overline{X}=40,\ \sigma=5.1\\ \Rightarrow5.1^2=\frac{1}{100}(\sum x_i^2)-\left(\frac{1}{100}\sum x_i\right)^2\\ \Rightarrow26.01=\frac{1}{100}(\sum x_i^2)-\left(\frac{4000}{100}\right)^2\\ \Rightarrow26.01=\frac{1}{100}(\sum x_i)-1600$

$\sum x_i^2$ = 100 × 1626,01 = 162601

Incorrecto = 162601

Corregido = (incorrecto) – (suma de cuadrados de valores incorrectos) + (suma de cuadrados de valores correctos)

= 162601 – (50) ² + (40) ² = 161701

Entonces, corregido $\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum x_i\right)^2}=\sqrt{\frac{161701}{100}-\left(\frac{3990}{100}\right)^2}\\ =\sqrt{1617.01-1592.01}=5$

Pregunta 9. Se encuentra que la media y la desviación estándar de 20 observaciones son 10 y 2 respectivamente. Al volver a verificar se encontró que una observación 8 era incorrecta. Calcule la media y la desviación estándar correctas en cada uno de los siguientes casos:

(i) Si se omite un elemento incorrecto.

(ii) Si se sustituye por 12.

Solución:

Dado: n = 20, $\overline{x}=10\ and\ \sigma=2\\ \therefore\ \ \overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\\ ⇒ \sum x_i = n\overline{x} = 20\times10=200\\ ⇒ Incorrected\ \sum x_i =200\\ and,\\ \sigma=2\\ ⇒ \sigma^2=4\\ ⇒ \frac{1}{n}\sum x_i^2-(Mean)^2=4\\ ⇒ \frac{1}{20}\sum x_i^2-100=4\\ ⇒ \sum x_i^2=104\times20\\ ⇒ Incorrected\ \sum x_i^2 =2080$

(i) Si eliminamos 8 de la observación dada, quedan 19 observaciones.

Ahora, Incorrecto $\sum x_i$ = 200

⇒ Corregido $\sum x_i$ + 8 = 200

⇒ Corregido $\sum x_i$ = 192

y,

⇒ Incorrecto $\sum x_i^2$ = 2080

⇒ Corregido $\sum x_i^2$ + 8 ² = 2080

⇒ Corregido $\sum x_i^2$ = 2080 – 64

⇒ Corregido $\sum x_i^2$ = 2016

Por lo tanto,

Media corregida = $\frac{192}{92}$ = 10,10

⇒ Entonces, varianza corregida = $\frac{1}{19}(Corrected\sum x_i^2)-(Corrected\ mean)^2\\$

= 2016/19 – (192/19) ²

= (38304 -36864)/361

= 1440/361

Entonces, la desviación estándar corregida = $\sqrt{\frac{1440}{361}}=\frac{12\sqrt{10}}{19}$ = 1.997

(ii) Si reemplazamos la observación incorrecta (es decir, 8) por 12

Dado: Incorrecto $\sum x_i^2$ = 200

Por lo tanto, Corregido $\sum x_i^2$ = 200 – 8 + 12 = 204

Incorrecto $\sum x_i^2$ = 2080

Por lo tanto, Corregido $\sum x_i^2$ = 2080 – 8 ² + 12 ² = 2160

Ahora, media corregida = 204/20 = 10,2

Varianza corregida = $\frac{1}{20}(Corrected\ \sum x_i^2)-(Corrected\ mean)^2$

= 2016/20 – (204/20) ²

= $\frac{2160\times20-(204)^2}{(20)^2}$

= $\frac{43200-41616}{400}$

= 1584/400

Entonces, la desviación estándar corregida = $\sqrt{\frac{1584}{400}}=\frac{\sqrt{396}}{10}$

= 19,899/10 = 1,9899

Pregunta 10. Se encontró que la media y la desviación estándar del grupo de 100 observaciones eran 20 y 3 respectivamente. Más tarde se encontró que tres observaciones eran incorrectas, las cuales se registraron como 21, 21 y 18. Halle la media y la desviación estándar si se omitió la observación incorrecta.

Solución:

(i) Dado: n = 100, $\overline{x}=20\ and\ \sigma=3$

Media = $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i\\ ⇒\sum x_i=n\overline{x}$

= 20 × 100 = 2000

Incorrecto $\sum x_i$ = 2000

y,

$\sigma=3\\ \Rightarrow\sigma^2=9\\ \Rightarrow\frac{1}{n}\sum x_i^2-(Mean)^2=9\\ \Rightarrow\frac{1}{100}\sum x_i^2-400=9\\ \Rightarrow\sum x_i^2=409\times100$

Incorrecto $\sum x_i^2$ = 40900.

Cuando las observaciones incorrectas 21, 21, 18 se eliminan de los datos

entonces el número total de observaciones es n = 97

Ahora,

Incorrecto $\sum x_i$ = 2000

Corregido $\sum x_i$ = 2000 – 21 – 21 – 18 = 1940

y,

Incorrecto $\sum x_i^2$ = 40900

Corregido $\sum x_i^2$ = 40900 – 21 ² – 21 ² – 18 ²

= 40900 – 1206

= 39694

Por lo tanto, Media corregida = 1940/97 = 20

Varianza corregida = $\frac{1}{97}(Corrected\ \sum x_i^2)-(Corrected\ mean)^2$

= (39694/97) – (20) ² = 409,22 – 400 = 9,22

Entonces, la desviación estándar corregida = √9.22 = 3.04

Pregunta 11. Muestre que las dos fórmulas para la desviación estándar de datos no agrupados

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x})^2}\ and \ \sigma'=\sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i-\overline{x}^2}$

son equivalentes, donde $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum x_i$

Solución:

Dado:

$\sum (x_i-\overline{x})^2=\sum (x_i^2-2x_i\overline{X}+\overline{X}^2)\\ =\sum (x_i^2)+\sum (-2x_i\overline{X})+\sum (\overline{X})^2\\ =\sum (x_i^2)-2\overline{X}\sum (x_i)+(\overline{X})^2\sum1\\ =\sum (x_i^2)-2\overline{X}(n\overline{X})+n(\overline{X})^2\\ =\sum (x_i^2)-n(\overline{X})^2$

Al dividir ambos lados por n obtenemos,

$\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{X})^2=\frac{1}{n}\sum (x_i^2)-n(\overline{X})^2$

Ahora, sacando raíces cuadradas en ambos lados, obtenemos

$\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{X})^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i^2)-n(\overline{X})^2}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashkumar0457 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra la media, la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos:

(yo) 2, 4, 5, 6, 8, 17

(ii) 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

(iii) 227, 235, 255, 269, 292, 299, 312, 321, 333, 348

(iv) 15, 22, 27, 11, 9, 21, 14,9

Pregunta 2. La varianza de 20 observaciones es 4. Si cada observación se multiplica por 2, encuentre la varianza de las observaciones resultantes.

Pregunta 3. La varianza de 15 observaciones es 4. Si cada observación se incrementa en 9, encuentre la varianza de las observaciones resultantes.

Pregunta 4. La media de 5 observaciones es 4,4 y su varianza es 8,24. Si tres de las observaciones son 1, 2 y 6, encuentre las otras dos observaciones.

Pregunta 5. La media y la desviación estándar de 6 observaciones son 8 y 4 respectivamente. Si cada observación se multiplica por 3, encuentre la nueva media y la nueva desviación estándar de las observaciones resultantes.

Pregunta 6. La media y la varianza de 8 observaciones son 9 y 9,25 respectivamente. Si seis de las observaciones son 6, 7, 10, 12, 12 y 13, encuentre las dos observaciones restantes.

Pregunta 8. La media y la desviación estándar de 100 observaciones fueron calculadas como 40 y 5,1 respectivamente por un estudiante que tomó por error 50 en lugar de 40 para una observación. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar correctas?

Pregunta 9. Se encuentra que la media y la desviación estándar de 20 observaciones son 10 y 2 respectivamente. Al volver a verificar se encontró que una observación 8 era incorrecta. Calcule la media y la desviación estándar correctas en cada uno de los siguientes casos:

(i) Si se omite un elemento incorrecto.

(ii) Si se sustituye por 12.

Pregunta 11. Muestre que las dos fórmulas para la desviación estándar de datos no agrupados

son equivalentes, donde

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son equivalentes, donde $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum x_i$