Clase 11 RD Sharma Solutions – Capítulo 32 Estadísticas – Ejercicio 32.7

Pregunta 1. Dos plantas A y B de una fábrica muestran los siguientes resultados sobre el número de trabajadores y los salarios que se les pagan

	Planta A	Planta B
Nº de trabajadores	5000	6000
Salario promedio mensual	$2500	$2500
La varianza de la distribución de los salarios.	81	100

¿En qué planta A o B hay mayor variabilidad en los salarios individuales?

Solución:

Variación de la distribución de salarios en la planta A (σ ² =18)

Entonces, Desviación estándar de la distribución A (σ – 9)

De igual forma, la Variación de la distribución de salarios en la planta B (σ ² =100)

Entonces, Desviación estándar de la distribución B (σ – 10)

Y, el salario promedio mensual en ambas plantas es de 2500,

Ya que, la planta con mayor valor de SD tendrá mayor variabilidad en salario.

∴ La planta B tiene más variabilidad en los salarios individuales que la planta A

Pregunta 2. Las medias y las desviaciones estándar de las alturas y los pesos de 50 estudiantes en una clase son las siguientes:

	Pesos	alturas
Significar	63,2 kg	63,2 pulgadas
Desviación Estándar	5,6 kg	11,5 pulgadas

¿Cuál muestra más variabilidad, alturas o pesos?

Solución:

Observamos que el peso y la altura promedio de los 50 estudiantes es el mismo, es decir, 63,2.

Por tanto, el parámetro con mayor varianza tendrá más variabilidad.

Así, la altura tiene mayor variabilidad.

Pregunta 3. Los coeficientes de variación de dos distribuciones son 60% y 70%, y sus desviaciones estándar son 21 y 16 respectivamente. ¿Cuál es su media aritmética?

Solución:

Coeficiente de variación = $\frac{\sigma}{x}\times100$

Entonces tenemos:

$60\% =\frac{21}{\overline{x}}\times100\Rightarrow\overline{x}=\frac{21}{.60}\times100=35\\ 70\% =\frac{16}{\overline{x}}\times100\Rightarrow\overline{x}=\frac{16}{.70}\times100=22.85\\$

∴ Las medias son 35 y 22,85

Pregunta 4. Calcula el coeficiente de variación a partir de los siguientes datos:

Ingresos (en ₹):	1000 – 1700	1700 – 2400	2400 – 3100	3100 – 3800	3800 – 4500	4500 – 5200
Nº de familias:	12	18	20	25	35	10

Solución:

Clase

yo _{_}

x _yo

$U_i=\frac{x_i-mean}{700}$

si _yo_tu yo

f _yo tu _yo²

1000 – 1700

12

1350

-2

-24

48

1700 – 2400

18

2050

-1

-18

18

2400 – 3100

20

2750

0

0

0

3100 – 3800

25

3450

1

25

25

3800 – 4500

35

4150

2

70

140

4500 – 5200

10

4850

3

30

90

$\sum f_i=120$

$\sum u_if_i=83$

$\sum u_i^2f_i=321$

Ahora,

norte = 120, $\sum u_i^2f_i=321$

Significar, $\overline{X}=A+h\left(\frac{\sum u_if_i}{N}\right)\\ \overline{X}=2750+700\left(\frac{83}{120}\right)\\ =3234.17\\ Var(X)=h^2\left[\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^nf_iu_i^2-\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^nu_if_i\right)^2\right]\\ Var(X)=490000\left[\left(\frac{321}{120}\right)-\left(\frac{83}{120}\right)^2\right]$

Varianza = 1076332.64

Desviación Estándar, $\sigma=\sqrt{1076332.64}\\ =1037.47$

Coeficiente de variación = $\frac{1037.46}{3234.17}\times100$

= 32,08

∴ El coeficiente de variación es 32.08

Pregunta 5. Un análisis de los salarios semanales pagados a los trabajadores en dos empresas A y B, pertenecientes a la misma industria da los siguientes resultados:

	Empresa A	Empresa B
Nº de asalariados	586	648
Salario promedio semanal	$52.5	$47.5
La varianza de la distribución de los salarios.	100	121

(i) ¿Qué empresa A o B paga la mayor cantidad como salarios semanales?

(ii) ¿Qué empresa A o B tiene mayor variabilidad en los salarios individuales?

Solución:

(i) Salario promedio semanal = $\frac{Total\ weekly\ wages}{No.\ of\ workers}$

Total de salarios semanales = (Promedio de salarios semanales) × (No. de trabajadores)

Salarios semanales totales de la empresa A = 52,5 × 586 = Rs 30765

Salarios semanales totales de la empresa B = 47,5 × 648 = Rs 30780

La empresa B paga una cantidad mayor que la empresa A

(ii) Aquí,

SD (Empresa A) = 10 y SD (Empresa B) = 11

Coeficiente de varianza (Empresa A) = $\frac{10}{52.5}\times100$

= 19,04

Coeficiente de varianza (Empresa B) = $\frac{11}{47.5}\times100$

= 23,15

∴ El coeficiente de varianza de la empresa B es mayor que el de la empresa A, la empresa B tiene una mayor variabilidad en los salarios individuales.

Pregunta 6. Los siguientes son algunos detalles de la distribución de pesos de niños y niñas en una clase:

	Niños	Muchachas
Número	100	50
Peso medio	60 kg	45 kg
Diferencia	9	4

¿Cuál de las distribuciones es más variable?

Solución:

Dado:

SD (niños) es 3 y SD (niñas) es 2

Coeficiente de varianza (Niños) = $\frac{3}{60} \times 100$

= 5

Coeficiente de varianza (Chicas) = $\frac{2}{45} \times 100$

= 4,4

∴ El coeficiente de varianza de los niños es mayor que el coeficiente de varianza de las niñas, y luego la distribución de pesos de los niños es más variable que la de las niñas.

Pregunta 7. La media y la desviación estándar de las notas obtenidas por 50 estudiantes de una clase en tres materias, matemáticas, física y química se dan a continuación:

Tema

Significar

Matemáticas

Física

Química

40,9

Desviación Estándar

Solución:

Para comparar la variabilidad de notas en Matemáticas, Física y Química.

Tenemos que calcular su coeficiente de variación.

Sean σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ la desviación estándar de las notas en Matemáticas, Física y Química respectivamente. Además, $\overline{X_1},\ \overline{X_2}\ and\ \overline{X_3}$ sean las puntuaciones medias en Matemáticas, Física y Química respectivamente.

Tenemos

$\overline{X_1}=42\ \ \ \ \ \overline{X_2}=32\ \ \ \ \ \overline{X_3}=40.9$

⇒ σ ₁ = 12 σ ₂ = 15 σ ₃ = 20

Ahora,

Coeficiente de variación en Matemáticas = $\frac{\sigma_1}{X_1}\times100=\frac{12}{42}\times100=28.57$

Coeficiente de variación en Física = $\frac{\sigma_2}{X_2}\times100=\frac{15}{32}\times100=46.88$

Coeficiente de variación en Química = $\frac{\sigma_3}{X_3}\times100=\frac{20}{40.9}\times100=48.90$

Claramente, el coeficiente de variación en las calificaciones es mayor en Química y menor en Matemáticas.

Por lo tanto, las calificaciones en química muestran la mayor variabilidad y las calificaciones en matemáticas muestran la menor variabilidad.

Pregunta 8. A partir de los datos proporcionados a continuación, indique qué grupo es más variable, G ₁ o G ₂ ?

Marcas

Grupo G ₁

10 – 20

20 – 30 30 – 40

17 32

40 – 50

50 – 60 60 – 70

40 10

70 – 80

Grupo G ₂

20 30

43 15

Solución:

Primero encontremos el coeficiente de la variable para el grupo G ₁

CIf

  10 – 20 9

20 – 30 17

xu=(x – A)/h

15 -3

25 -2

fu tu ²

-27 9

-34 4

Fu ²

   81

68

30 – 40 32

40 – 50 33

35 -1

45 0

-32 1

0 0

32

0

50 – 60 40 55 1 40 1 40

60 – 70 10

70 – 80 9

65 2

75 3

20 4

27 9

40

81

  150 -6 342

Aquí, N = 150, A = 45 $\sum f_iu_i=-6,\ \sum f_iu_i^2=342$ y h = 10

∴ Media = $\overline{x}=A+h\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)\\ \overline{x}=45+10\left(\frac{-6}{150}\right)=44.6\\ Var(x)=h^2\left[\frac{1}{N}\sum f_iu_i^2-\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)^2\right]=100\left[\frac{342}{150}-\left(\frac{-6}{150}\right)^2\right]=227.84\\ S.D.=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{227.84}=15.09$

Coeficiente de variación = $\frac{S.D}{\overline{X_1}}\times100=\frac{15.09}{44.6}\times100=33.83$

Ahora, encontremos el coeficiente de la variable para el grupo G ₂

CIf

10 – 20 10

20 – 30 20

xu=(x – A)/h

15 -3

25 -2

fu tu ²

-30 9

-40 4

Fu ²

90

80

30 – 40 30

40 – 50 25

35 -1

45 0

-30 1

0 0

30

0

50 – 60 43 55 1 43 1 43

60 – 70 15

70 – 80 7

65 2

75 3

30 4

21 9

60

63

150 -6 366

Aquí, N = 150, A = 45 $\sum f_iu_i=-6,\ \sum f_iu_i^2=366$ y h = 10

∴ Media = $\overline{x}=A+h\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)\\ \overline{x}=45+10\left(\frac{-6}{150}\right)=44.6\\ Var(x)=h^2\left[\frac{1}{N}\sum f_iu_i^2-\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)^2\right]=100\left[\frac{366}{150}-\left(\frac{-6}{150}\right)^2\right]=243.84\\ S.D.=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{243.84}=15.62$

Coeficiente de variación = $\frac{S.D}{\overline{X_1}}\times100=\frac{15.62}{44.6}\times100=35.02$

El grupo G ₂ es más variable

Pregunta 9. Encuentra el coeficiente de variación para los siguientes datos:

Tamaño (en cm): 10 – 15	15 – 20	20 – 25	25 – 30	30 – 35	35 – 40
Nº de artículos: 2	8	20	35	20	15

Solución:

  CI f x

10 – 15 2 12,5

15 – 20 8 17,5

u=(x – A)/h fu u ²

-2 -4 4

-1 -8 1

Fu ²

8

8

20 – 25 20 22,5

25 – 30 35 27,5

0 0 0

1 35 1

0

35

30 – 35 20 32,5 2 40 4 80

35 – 40 15 37,5 3 45 9 135

  100   108   266

Aquí, N = 100, A = 22,5 $\sum f_iu_i=108,\ \sum f_iu_i^2=266$ y h = 5

∴ Media = $\overline{x}=A+h\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)\\ \overline{x}=22.5+5\left(\frac{108}{100}\right)=27.90\\ Var(x)=h^2\left[\frac{1}{N}\sum f_iu_i^2-\left(\frac{1}{N}\sum f_iu_i\right)^2\right]=25\left[\frac{266}{100}-\left(\frac{108}{100}\right)^2\right]=37.34\\ S.D.=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{37.34}=6.11$

Coeficiente de variación = $\frac{S.D}{\overline{X_1}}\times100=\frac{6.11}{27.90}\times100=21.9$

Pregunta 10. A partir de los precios de las acciones X e Y que figuran a continuación: averigüe cuál tiene un valor más estable:

X:	35	54	52	53	56	58	52	50	51	49
Y:	108	107	105	105	106	107	104	103	104	101

Solución:

x d = (x – Media)

  35 -13

  24 -24

re ²

169

576

52 4

53 5

dieciséis

25

56 8 64

58 10

52 4

100

dieciséis

50 2 4

51 3 9

49 1 1

480 980

∴ Media = $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i=\frac{1}{10}[480]=48\\ Var(x)=\frac{1}{n}\left\{\sum (x_i-\overline{x})^2\right\}=\frac{1}{10}(980)=98\\ S.D(x)=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{98}=9.9$

Coeficiente de variación = $\frac{S.D}{\overline{X_1}}\times100=\frac{9.9}{48}\times100=20.6$

x d = (x – Media)

  35 -13

24 -24

  re ²

   169

576

52 4

53 5

dieciséis

25

56 8 64

58 10

52 4

100

dieciséis

50 2 4

51 3 9

49 1 1

480 980

∴ Media = $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i=\frac{1}{10}[1050]=105\\ Var(x)=\frac{1}{n}\left\{\sum (x_i-\overline{x})^2\right\}=\frac{1}{10}(40)=4\\ S.D(x)=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{4}=2$

Coeficiente de variación = $\frac{S.D}{\overline{X_1}}\times100=\frac{2}{105}\times100=1.90$

Dado que el coeficiente de variación de la acción Y es menor que el coeficiente de variación de las acciones X, son más estables.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashkumar0457 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Dos plantas A y B de una fábrica muestran los siguientes resultados sobre el número de trabajadores y los salarios que se les pagan

Pregunta 2. Las medias y las desviaciones estándar de las alturas y los pesos de 50 estudiantes en una clase son las siguientes:

Pregunta 3. Los coeficientes de variación de dos distribuciones son 60% y 70%, y sus desviaciones estándar son 21 y 16 respectivamente. ¿Cuál es su media aritmética?

Pregunta 4. Calcula el coeficiente de variación a partir de los siguientes datos:

Pregunta 5. Un análisis de los salarios semanales pagados a los trabajadores en dos empresas A y B, pertenecientes a la misma industria da los siguientes resultados:

Pregunta 6. Los siguientes son algunos detalles de la distribución de pesos de niños y niñas en una clase:

Pregunta 7. La media y la desviación estándar de las notas obtenidas por 50 estudiantes de una clase en tres materias, matemáticas, física y química se dan a continuación:

Pregunta 8. A partir de los datos proporcionados a continuación, indique qué grupo es más variable, G 1 o G 2 ?

Pregunta 9. Encuentra el coeficiente de variación para los siguientes datos:

Pregunta 10. A partir de los precios de las acciones X e Y que figuran a continuación: averigüe cuál tiene un valor más estable:

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Pregunta 8. A partir de los datos proporcionados a continuación, indique qué grupo es más variable, G ₁ o G ₂ ?