Pregunta 31. Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 6 blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas al azar. Halla la probabilidad de que ambas bolas sean rojas o negras.
Solución:
Claramente, la bolsa tiene 5 + 6 + 7 = 18 bolas y dado que se extrajeron 2 bolas al azar, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 18 C 2 = 153
Sea E el evento de que las dos bolas escogidas sean rojas o negras.
Por lo tanto, número de resultados en el evento E = n{E} = 5 C 2 + 7 C 2 = 31
Probabilidad de E = n{E}/n{S} = 31/153
Por lo tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean rojas o negras es 31/153.
Pregunta 32. Si se elige al azar una letra del alfabeto inglés, encuentre la probabilidad de que sea un:
(yo) vocal
Solución:
Sabemos que hay 26 letras en el alfabeto inglés. Dado que se ha elegido una letra de las 26 letras, número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 26 C 1 = 26
Sea V el evento de que la letra escogida sea una vocal. Obviamente hay 5 vocales en el alfabeto inglés.
Por lo tanto, el número de resultados favorables al evento V = n{V} = 5 C 1 = 5.
Probabilidad del evento V = n{V}/n{S} = 5/26.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una vocal es 5/26.
(ii) consonante
Solución:
Sea C el evento de que la letra escogida sea una consonante. Obviamente hay 21 consonantes en el alfabeto inglés.
Por lo tanto, el número de resultados favorables al evento C = n{C} = 21 C 1 = 21.
Dado que n{S} = 26, la probabilidad del evento C = n{C}/n{S} = 21/26.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una consonante es 21/26.
Pregunta 33. En una lotería, una persona elige 6 números diferentes del 1 al 20, y si estos seis números coinciden con los seis números fijados por el comité de lotería, gana el premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego?
Solución:
Como hay 20 números y se deben elegir 6 números, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 20 C 6 = 38760
Sea L el evento de que los 6 números elegidos coincidan con los números ya decididos. Sabemos que solo hay 1 patrón fijo para los números que ya ha fijado el comité de lotería.
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento L = n{L} = 1.
Probabilidad del evento L = n{L}/n{S} = 1/38760.
Por lo tanto, la probabilidad de ganar la lotería es 1/38760.
Pregunta 34. Se numeran 20 cartas del 1 al 20. Se extrae una carta al azar. Encuentre la probabilidad de que el número en las tarjetas sea:
(i) un múltiplo de 4
Solución:
Dado que se extrajo 1 carta de 20 cartas dadas, el número de resultados en el espacio muestral = n{S}
=> 20 C 1 = 20.
Sea Y el evento de que el número de la tarjeta sea múltiplo de 4. Sabemos que hay 5 múltiplos de 4 del 1 al 20 (es decir, 4, 8, 12, 16, 20).
Por lo tanto, número de resultados favorables a Y = n{Y} = 5
Probabilidad del evento Y = P{Y} = n{Y}/n{S} = 5/20 = 1/4.
Por tanto, la probabilidad de que el número de la carta sea múltiplo de 4 es 1/4.
(ii) no es múltiplo de 4
Solución:
Sea Y el evento de que el número de la tarjeta sea múltiplo de 4 y Y’ denote el evento de que no sea múltiplo de 4.
Sabemos que hay 5 múltiplos de 4 del 1 al 20 (es decir, 4, 8, 12, 16, 20).
Por lo tanto, número de resultados favorables a Y = n{Y} = 5
Dado que n{S} = 20, la probabilidad del evento Y = n{Y}/n{S} = 5/20 = 1/4.
Por lo tanto, P{Y’} = 1 − P{Y} = 1 − 1/4 = 3/4.
Por lo tanto, la probabilidad de que el número de la tarjeta no sea múltiplo de 4 es 3/4.
(iii) impar
Solución:
Sea O el evento de que el número de la tarjeta sea impar. Sabemos que hay 10 números impares del 1 al 20 (es decir, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).
Por lo tanto, número de resultados favorables a O = n{O} = 10
Dado que n{S} = 20, la probabilidad del evento O = P{O} = n{O}/n{S} = 10/20 = 1/2.
Por lo tanto, la probabilidad de que el número en la tarjeta sea un número impar es 1/2.
(iv) mayor de 12
Solución:
Sea G el evento de que el número de la tarjeta sea impar. Sabemos que hay 8 números mayores que 12 del 1 al 20 (es decir, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20).
Por lo tanto, número de resultados favorables a G = n{G} = 8
Dado que n{S} = 20, la probabilidad del evento G = P{G} = n{G}/n{S} = 8/20 = 2/5.
Por lo tanto, la probabilidad de que el número de la tarjeta sea mayor que 12 es 2/5.
(v) divisible por 5
Solución:
Sea F el evento de que el número de la tarjeta sea divisible por 5. Sabemos que hay 4 números divisibles por 5 del 1 al 20 (es decir, 5, 10, 15, 20).
Por lo tanto, número de resultados favorables a F = n{F} = 4
Dado que n{S} = 20, la probabilidad del evento F = P{F} = n{F}/n{S} = 4/20 = 1/5.
Por lo tanto, la probabilidad de que el número de la tarjeta sea divisible por 5 es 1/5.
(vi) no es múltiplo de 6
Solución:
Sea Z el evento de que el número de la tarjeta sea múltiplo de 6 y Z’ el evento de que no sea múltiplo de 6.
Sabemos que hay 3 múltiplos de 6 del 1 al 20 (es decir, 6, 12, 18).
Por lo tanto, número de resultados favorables a Z = n{Z} = 3
Como n{S} = 20, Probabilidad del evento Z = n{Z}/n{S} = 3/20
Por lo tanto, P{Z’} = 1 − P{Z} = 1 − 3/20 = 17/20.
Por tanto, la probabilidad de que el número de la carta no sea múltiplo de 6 es 17/20.
Pregunta 35. Se lanzan dos dados. Encuentra las probabilidades:
(i) a favor de obtener la suma 4
Solución:
Dado que se ha lanzado un par de dados, el número de elementos en el espacio muestral = n{S}= 62 = 36.
Sea E el evento de obtener una suma de 4 en los dados y E’ el evento de no obtener una suma de 4.
mi = {(1,3), (2,2), (3,1)}
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento E = n{E} = 3
Probabilidad del evento E = P{E} = n{E}/n{S} = 3/36 = 1/12
Ahora, P{E’} = 1 − P{E} = 1 − 1/12 = 11/12.
Por lo tanto, las probabilidades a favor de obtener una suma de 4 = P{E}/P{E’} = 1:11.
(ii) a favor de obtener la suma 5
Solución:
Sea C el evento de obtener una suma de 5 en los dados y E’ el evento de no obtener una suma de 5.
C = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento C = n{C} = 4
Como n{S} = 36, Probabilidad del evento C = P{C} = n{C}/n{S} = 4/36 = 1/9
Ahora, P{C’} = 1 − P{C} = 1 − 1/9 = 8/9.
Por lo tanto, las probabilidades a favor de obtener una suma de 5 = P{C}/P{C’} = 1:8.
(iii) en contra de obtener una suma de 6?
Solución:
Sea A el evento de obtener una suma de 6 en los dados y A’ el evento de no obtener una suma de 6.
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento A = n{A} = 5
Como n{S} = 36, Probabilidad del evento A = P{A} = n{A}/n{S} = 5/36
Ahora, P{A’} = 1 − P{A} = 1 − 5/36 = 31/36.
Por lo tanto, las probabilidades de obtener una suma de 6 = P{A’}/P{A} = 31:5.
Pregunta 36. ¿Cuáles son las probabilidades a favor de obtener:
(i) una pica si la carta se extrae de una baraja de cartas bien barajadas?
Solución:
Sea W el evento de obtener una pica de una baraja de cartas bien barajada y W’ el evento de no obtener una pica.
Sabemos que hay 13 cartas de espadas en un paquete de cartas.
Por lo tanto, número de resultados favorables a W = n{W} = 13
Probabilidad de sacar espada = P{W} = n{W}/n{S} = 13/52 =1/4
Por lo tanto, la probabilidad de no obtener una espada = P{W’} = 1 − P{W} = 1 −1/4 = 3/4
Probabilidades a favor de obtener espada = P{W}/P{W’} = (1/4)/(3/4) = 1:4
(ii) un rey?
Solución:
Sea K el evento de obtener un rey de una baraja de cartas bien barajada y K’ el evento de no obtener un rey.
Sabemos que hay 4 reyes en una baraja de cartas.
Por lo tanto, número de resultados favorables a K = n{K} = 13
Probabilidad de sacar un rey = P{K} = n{K}/n{S} = 4/52 =1/13
Por lo tanto, probabilidad de no obtener un rey = P{K’} = 1 − P{K} = 1 −1/13 = 12/13
Probabilidades a favor de obtener un rey = P{K}/P{K’} = (1/13)/(12/13) = 1:12
Pregunta 37. Una caja contiene 10 canicas rojas, 20 canicas azules y 30 canicas verdes. Se extraen 5 canicas al azar. Encuentre la probabilidad de que:
(i) todos son azules
Solución:
Claramente, la caja tiene 10 + 20 + 30 = 60 canicas y dado que se sacaron 5 canicas al azar, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 60 C 5
Sea B el evento de que las 5 canicas sean azules.
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento B = n{B} = 20 C 5
Probabilidad de B = n{B}/n{S} = 20 C 5 / 60 C 5 = 34/11977
Por lo tanto, la probabilidad de que las 5 canicas sean azules es 34/11977.
(ii) al menos uno es verde
Solución:
Sea G el evento de que se saque al menos una canica.
Probabilidad de G = 1 − Probabilidad de sacar ninguna canica verde = 1 − 30 C 5 / 60 C 5 = 1 − 117/4484 = 4367/4484
Por lo tanto, la probabilidad de sacar al menos una canica verde es 4367/4484.
Pregunta 38: Una caja tiene 6 canicas rojas numeradas del 1 al 6 y 4 canicas blancas numeradas del 12 al 15. Calcula la probabilidad de que salga una canica:
(yo) blanco
Solución:
Dado que se extrajo 1 canica de una caja de 10 canicas, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 10 C 1 = 10.
Sea W el evento de que la canica dada sea blanca.
Número de resultados favorables al evento W = n{W} = 4 C 1 = 4.
Probabilidad de W = n{W}/n{S} = 4/10 = 2/5
Por lo tanto, la probabilidad de que la canica sea blanca es 2/5.
(ii) blanco e impar
Solución:
Sea Q el evento de que la canica extraída sea blanca y de número impar. Sabemos que hay 2 números impares entre 12 y 15 (es decir, 13 y 15).
Número de resultados favorables al evento Q = 2
Como n{S} = 10, probabilidad de Q = n{Q}/n{S} = 2/10 = 1/5
Por lo tanto, la probabilidad de que la canica sea blanca y con número impar es 1/5.
(iii) números pares
Solución:
Sea V el evento de que la canica extraída sea par.
V = {2, 4, 6, 12, 14}
Número de resultados favorables al evento V = 5
Como n{S} = 10, probabilidad de V = n{V}/n{S} = 5/10 = 1/2
Por lo tanto, la probabilidad de que la canica sea par es 1/2.
(iv) números pares o rojos
Solución:
Sea G 1 el evento de obtener una canica roja. Sabemos que hay 6 canicas rojas, por lo tanto, la probabilidad de G 1 = P{G 1 } = 6/10
Sea G 2 el evento de sacar una canica par. Sabemos que hay 5 canicas con números pares, por lo tanto, la probabilidad de G 2 = P{G 2 } = 5/10
Ahora, {G 1 ∩ G 2 } = canica roja con números pares = {2, 4, 6}
Así, n{G 1 ∩ G 2 } = 3 y Probabilidad de {G 1 ∩ G 2 } = P{G 1 ∩ G 2 } = 3/10.
Aplicando la ley de la suma,
P{G 1 ∪ G 2 } = P{G 1 } + P{G 2 } − P{G 1 ∩ G 2 } = 6/10 + 5/10 − 3/10 = 8/10 = 4/5
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una canica roja o con un número par es 4/5.
Pregunta 39. Una clase consta de 10 niños y 8 niñas. Se seleccionan tres estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo seleccionado tenga:
(i) todos los niños
Solución:
Dado que 3 estudiantes han sido seleccionados al azar de un grupo de 18 estudiantes, número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 18 C 3 = 816
Sea B el evento de que el grupo seleccionado tiene todos niños.
Por lo tanto, número de resultados favorables a B = n{B} = 10 C 3 = 120
Probabilidad del evento B = n{B}/n{S} = 120/816 = 5/34
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo tenga todos niños es 5/34.
(ii) todas las niñas
Solución:
Sea G el evento de que el grupo seleccionado tiene todas chicas.
Por lo tanto, número de resultados favorables a G = n{G} = 8 C 3 = 56
Como n{S} = 816, probabilidad del evento G = n{G}/n{S} = 56/816 = 7/102
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo tenga todas niñas es 7/102.
(iii) 1 niño y 2 niñas
Solución:
Sea H el evento de que el grupo seleccionado tenga 1 niño y 2 niñas.
Por lo tanto, número de resultados favorables a H = n{H} = 10 C 1 × 8 C 2 = 280
Como n{S} = 816, Probabilidad del evento H = n{H}/n{S} = 280/816 = 35/102
Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo tenga 1 niño y 2 niñas es 35/102.
(iv) al menos 1 niña
Solución:
Sea C el evento de que el grupo seleccionado tenga al menos 1 niña.
Probabilidad de tener al menos 1 niña
=> 1 − P{ninguna niña en el grupo} = 1 − P{todos los niños} = 1 − 10 C 3 / 18 C 3 = 1 − 5/34 = 29/34
Por lo tanto, la probabilidad de tener al menos 1 niña es 29/34.
(v) como máximo 1 niña
Solución:
Sea T el evento de que el grupo seleccionado tenga como máximo 1 niña.
T = {0 niña, 1 niña}
Así, n{T} = 8 C 0 × 10 C 3 + 8 C 1 × 10 C 2 = 480
Como n{S} = 816, Probabilidad del evento T = n{T}/n{S} = 480/816 =10/17
Por lo tanto, la probabilidad de tener como máximo 1 niña es 10/17.
Pregunta 40. Se sacan cinco cartas de un paquete bien barajado de 52 cartas. Halla la probabilidad de que las 5 cartas sean corazones.
Solución:
Dado que se extrajeron 5 cartas de un paquete bien barajado de 52 cartas, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 52 C 5 = 2598960.
Sea H el evento de que las 5 cartas extraídas sean corazones. Sabemos que hay 13 corazones en un paquete de 52 cartas.
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento H = n{H} = 13 C 5 = 1287.
Probabilidad del evento H = P{H} = n{H}/n{S} = 1287/2598960 = 33/66640
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 5 corazones es 33/66640.
Pregunta 41. Una bolsa contiene boletos numerados del 1 al 20. Se extraen dos boletos. Encuentre la probabilidad de que:
(i) ambos boletos tienen números primos en ellos
Solución:
Dado que se extrajeron 2 boletos de una bolsa que contiene 20 boletos, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 20 C 2 = 190.
Sea N el evento de que ambos boletos tengan números primos. Sabemos que hay 8 números primos entre 1 y 20 (es decir, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19).
Por lo tanto, número de resultados favorables al evento N = 8 C 2 = 28
Probabilidad del evento N = P{N} = n{N}/n{S} = 28/190 = 14/95
Por lo tanto, la probabilidad de que ambos boletos tengan números primos es 14/95.
(ii) en uno hay un número primo y en el otro hay un múltiplo de 4
Solución:
Sea T el evento de que en un boleto hay un número primo y en el otro hay un múltiplo de 4.
Sabemos que hay 8 números primos 5 múltiplos de 4 del 1 al 20.
Por lo tanto, número de resultados en el evento T = n{T} = 8 C 1 × 5 C 1 = 8 × 5 = 40.
Dado que n{S} = 190, probabilidad del evento T = P{T} = 40/190 = 4/19
Por tanto, la probabilidad de obtener un número primo en un boleto y un múltiplo de 4 en el otro es 4/19.
Pregunta 42. Una urna contiene 7 bolas blancas, 5 negras y 3 rojas. Se extraen dos bolas al azar. Encuentre la probabilidad de que:
(i) ambas bolas son rojas
Solución:
Claramente, la urna tiene 7 + 5 + 3 = 15 bolas y dado que se extrajeron 2 bolas al azar, el número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 15 C 2 =105.
Sea R el evento de que las dos bolas escogidas sean rojas.
Por lo tanto, número de resultados en el evento R = n{R} = 3 C 2 = 3
Probabilidad de R = n{R}/n{S} = 3/105 = 1/35.
Por lo tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean rojas es 1/35.
(ii) una bola es roja y la otra es negra
Solución:
Sea X el evento de que una bola sea roja y la otra negra.
Por lo tanto, número de resultados en el evento X = n{X} = 3 C 1 × 5 C 1 = 15
Dado que n{S} = 105, la probabilidad de X = n{X}/n{S} = 15/105 = 1/7.
Por lo tanto, la probabilidad de que una bola sea roja y la otra negra es 1/7.
(iii) una bola es blanca
Solución:
Sea D el evento de que una bola sea blanca. Significa que la otra bola puede ser de las 8 bolas restantes, excluyendo las bolas blancas.
Por lo tanto, número de resultados en el evento D = n{D} = 7 C 1 × 8 C 1 = 56
Dado que n{S} = 105, la probabilidad de D = n{D}/n{S} = 56/105 = 8/15.
Por lo tanto, la probabilidad de que una bola sea blanca es 8/15.
Pregunta 43. A y B lanzan un par de dados. Si A saca 9, calcule la probabilidad de que B saque un número más alto.
Solución:
Dado que se ha lanzado un par de dados, el número de elementos en el espacio muestral = n{S}= 62 = 36.
Sea E el evento de que B arroja un número mayor que 9, que es 10, 11 o 12.
Por lo tanto, E = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)}
Por lo tanto, número de resultados favorables a E = 6
Probabilidad del evento E = n{E}/n{S} = 6/36 = 1/6
Por lo tanto, la probabilidad de que B saque un número más alto es 1/6.
Pregunta 44. En una mano de Whist, ¿cuál es la probabilidad de que un jugador específico tenga 4 reyes?
Solución:
Sabemos que en una mano de Whist, cada jugador tiene una baraja de 13 cartas.
Por lo tanto, número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 52 C 13
Sea K el evento de que un jugador tenga 4 reyes. Implica que el jugador debe tener 9 cartas del paquete del resto de 48 cartas (excluyendo los 4 reyes que ya tiene el jugador).
Número de resultados favorables al evento K = n{K} = 4 C 4 × 48 C 9 = 4 × 48 C 9
Probabilidad de K = P{K} = n{K}/n{S} = 4 × 48 C 9 / 52 C 13 = 11/4165
Por lo tanto, la probabilidad de que un jugador específico tenga los 4 corazones es 11/4165.
Pregunta 45. Halla la probabilidad de que en un arreglo aleatorio de letras de la palabra ‘UNIVERSIDAD’, las dos I no coincidan.
Solución:
Sabemos que hay 10 letras en la palabra ‘UNIVERSIDAD’. ¡Por lo tanto, número de resultados en el espacio muestral = n{S} = 10!
Sea W el evento de que ambos yoes no se junten y sea W’ el evento de que ambos yoes se junten.
Por lo tanto, ¡número de resultados favorables al evento W’ = n{W’} = 2 × 9!
Por lo tanto, la probabilidad de W’ = P{W’} = n{W’}/n{S} = 2 × 9!/10! = 2/10 = 1/5
Ahora, P{W} = 1 − P{W’} = 1 − 1/5 = 4/5
Por lo tanto, la probabilidad de no juntar los dos I es 4/5.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA