Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 4 Medición de ángulos – Ejercicio 4.1 | conjunto 2

Pregunta 11. Se va a trazar una curva de vía férrea en un círculo. ¿Qué radio se debe usar si la vía debe cambiar de dirección en 25 ^o en una distancia de 40 metros?

Solución:

Sea AB la vía férrea dada. 

Nos dan ∠AOB = 25 ^o . Sabemos 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c

Por lo tanto, 25 ^o = 25 × π/180 = 5π/36 radianes

También dado que, θ = Arco/Radio ⇒ ∠AOB = AB/OA ⇒ (5π/36) ^c = 40/r ⇒ r = 288/π = 91,64 m 

Por tanto, el radio de la pista es de 91,64 m.

Pregunta 12. Encuentra la longitud que a una distancia de 5280m subtiende un ángulo de 1′ en el ojo.

Solución:

Sea θ = 1′ y la longitud del arco que subtiende θ sea l.

Radio = OA = OB = 5280m 

Sabemos, 1′ = 60 ^o ⇒ 1′ = (1/60) ^o .  Como 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c ,

⇒ θ = 1′ = (1/60 × π/180) ^c 

También dado que, θ = Arco/Radio ⇒ (1/60 × π/180) ^c = l/5280 ⇒ l = 1,5365 m

Por tanto, la longitud del arco es 1,5365 m.

Pregunta 13. Una rueda da 360 revoluciones por minuto. ¿Cuántos radianes gira en 1 segundo?

Solución:

Dado que la rueda da 360 revoluciones en 1 minuto, el número de revoluciones que da en 1 segundo = 360/60 = 6.

Ángulo formado por la rueda en 1 revolución = 360 ^o

Así, ángulo formado por la rueda en 6 revoluciones = Ángulo formado en 1 segundo = 360 × 6 = 2160 ^o

Sabemos 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c

Por lo tanto, 2160 ^o = (2160π/180) ^c = 12π radianes

Por lo tanto, la rueda gira 12π radianes en 1 segundo.

Pregunta 14. Encuentra el ángulo en radianes a través del cual oscila un péndulo si su longitud es de 75 cm y la punta describe un arco de longitud:

(yo) 10 cm

Solución:

Sea OA la longitud del péndulo. ⇒ AA = 75 cm = 0,75 m

Sea AB el arco. ⇒ AB = 10 cm = 0,1 m

También porque, θ = Arco/Radio = 0,1/0,75 = 2/15 radianes

Por lo tanto, el ángulo es de 2/15 radianes.

(ii) 15 cm

Solución:

Sea OA la longitud del péndulo. ⇒ AA = 75 cm = 0,75 m

Sea AB el arco. ⇒ AB = 15 cm = 0,15 m

También porque, θ = Arco/Radio = 0,15/0,75 = 1/5 radianes

Por lo tanto, el ángulo es 1/5 radianes.

(iii) 21 cm

Solución:

Sea OA la longitud del péndulo. ⇒ AA = 75 cm = 0,75 m

Sea AB el arco. ⇒ AB = 15 cm = 0,21 m

También porque, θ = Arco/Radio = 0,21/0,75 = 7/25 radianes

Por lo tanto, el ángulo es de 7/25 radianes.

Pregunta 15. El radio de un círculo es de 30 cm. Encuentra la longitud del arco del círculo, si la longitud de la cuerda del arco es de 30 cm.

Solución:

Sean OA = OB = Radio del círculo = 30 cm = 0,3 m, y la cuerda AB = 30 cm = 0,3 m. Sea l la longitud del arco AB. 

Como OA = OB = AB = 0,3 m, el triángulo AOB es un triángulo equilátero.

∠AOB = 60 ^o . Sabemos 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c

Por lo tanto, 60 ^o = 60 × π/180 = π/3 radianes

También porque, θ = Arco/Radio ⇒ (0.3π/3) = 0.1 0.1π m = 10π cm

Por lo tanto, la longitud del arco es de 10π cm.

Pregunta 16. Un tren de ferrocarril viaja en una curva circular de 150 metros de radio a razón de 66 km/h. ¿Qué ángulo ha girado en 10 segundos?

Solución:

En la pista circular dada, OA = OB = r = 150 m

Sea θ el ángulo que gira el tren en 10 segundos.

Nos dan que velocidad = 66 km/hr = {66 × 1000/60 × 60} m/seg = 110/6 m/seg

Por lo tanto, el tren correrá 1100/6 m/seg en 10 segundos. ⇒ arco AB = 1100/6 m

También porque, θ = Arco/Radio = 1100/6 × 1500 = 11/90 radianes

Por lo tanto, el ángulo es 11/90 radianes.

Pregunta 17. ¿Encuentre la distancia desde el ojo a través de la cual se debe sostener una moneda de 2 cm de diámetro para que se pueda ocultar la luna llena, cuyo diámetro angular es de 31 ^{‘ ?}

Solución:

Nos dan θ = 31′ y arco AB = 2 cm = 0,02 m

Como, 1′ = 60 ^o ⇒ 1′ = (1/60) ^o . Como 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c ,

⇒ θ = 31′ = (31/60 × π/180) ^c

También dado que, θ = Arco/Radio ⇒ (31/60 × π/180) = 0,02/r ⇒ r = 2,217 m

Por tanto, la moneda se colocará a una distancia de 2,217 m del ojo.

Pregunta 18. Encuentra el diámetro del sol en kilómetros suponiendo que subtiende un ángulo de 32′ en el ojo del observador. Dado que la distancia del sol es 91 × 10 ⁶ km.

Solución:

Nos dan θ = 31′ y r = 91 × 10 ⁶ km

Como, 1′ = 60 ^o ⇒ 1′ = (1/60) ^o . Como 180 ^o = π radianes = π ^c o 1 ^o = (π/180) ^c ,

⇒ θ = 32′ = (32/60 × π/180) ^c

También porque, θ = Arco/Radio ⇒ (32/60 × π/180) = (AB/91 × 10 ⁶ ) km = 847407.4 km

Por lo tanto, la distancia del sol es 847407.4 km.

Pregunta 19. Si los arcos de la misma longitud en dos círculos subtienden ángulos de 65 ^o y 110 ^o en el centro, encuentre la razón de sus radios.

Solución:

Sean C ₁ y C ₂ los dos círculos dados con la misma longitud de arco l.

Por lo tanto, AB = CD = l

Sean θ ₁ y θ ₂ los ángulos subtendidos, y OA = OB = r y OC = OD = R

Dado, θ ₁ = 65 ^o = (65π/180) ^c y θ ₂ = 110 ^o = (110π/180) ^c

También dado que, θ = Arco/Radio ⇒ θ ₁ = AB/r = l/r o r= l/θ ₁     …….(1)

y, θ ₂ = CD/R = l/R o R = l/θ ₂        …..(2)

De las ecuaciones (1) y (2), obtenemos,

r/R = l/θ ₁ / l/θ ₂ = 110π/180 / 65π/180 = 22/13

Por tanto, la razón de los radios de ambos círculos es 22:13.

Pregunta 20. Encuentra la medida en grados del ángulo subtendido en el centro del círculo de 100 cm de radio por un arco de 22 cm de longitud, usando π = 22/7.

Solución:

Sea O el centro del círculo y AB el arco.

Por lo tanto, arco AB = 22 cm y OA = OB = radio = 100 cm

Sea θ el ángulo subtendido por el arco en el centro O por el arco AB.

Sabemos, θ = Arco/Radio = 22/100 radianes

Dado que π radianes = 180 ^o o 1 radian = 1 ^c = (180/π) ^o

Por lo tanto, 22/100 radianes = (22/100 × 180/π) ^o = 12,6 ^o = 12 ^o 36′

Así, el ángulo subtendido por el arco en el centro del círculo es 12 ^o 36′.