Pregunta 1. Encuentra la medida en grados correspondiente a las siguientes medidas en radianes usando π = 22/7:
(i) 9 π /5
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) o
Por lo tanto, (9π/5) c = (9π/5 × 180/π) o = 324 o
Así, (9π/5) c = 324 o
(ii) −5 π /6
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) o
Por lo tanto, (−5π/6) c = (−5π/6 × 180/π) o = −150 o
Así, (9π/5)c = −150 o
(iii) 18 π /5
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) o
Por lo tanto, (18π/5) c = (18π/5 × 180/π) o = 648 o
Así, (18π/5) c = 648 o
(iv) −3
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) o
Por lo tanto, (−3) c = (−3 × 180/π) o = (180 × 7 × −3/22) o = (−171 9 / 11 ) = −171 o (9 × 60/11)’ = −171 o 49’5”
Así, (−3) c = −171 o 49’5”
(v) 11
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) 0
Por lo tanto, (11) c = (11 × 180/π) o = (11 × 180 × 7/22) = 630 o
Así, (11) c =630 o
(v) 1
Solución:
Sabemos que π radianes = 180 o o 1 radian = 1 c = (180/π) 0
Por tanto, (1) c = (1 × 180/π) o = (180 × 7/22) = 57 o (3 × 60/11) = 57 o 16 1 (4 × 60/11) 11 = 57 o 16 ’21”
Así, (1) c = 57 o 16’21”
Pregunta 2. Encuentra la medida en radianes correspondiente a las siguientes medidas en grados usando:
(i) 300 o
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, 300 0 = 300 × π/180 = 5π/3
Así, 300 o = 5π/3 radianes
(ii) 35 o
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, 35 o = 35 × π/180 = 7π/36
Así, 35 o = 7π/36 radianes
(iii) −56 o
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, −56 o = −56 o × π/180 = −14π/45
Así, −56 o = −14π/45 radianes
(iv) 135 o
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, 135 o = 135 × π/180 = 3π/4
Así, 135 o = 3π/4 radianes
(v) −300o
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, −300 0 = −300 × π/180 = −5π/3
Así, −300 o = −5π/3 radianes
(vi) 7 o 30′
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por tanto, 7 o 30′ = (7 × π/180) C × (30/60) o = (7’/ 2 ) o ×(π/180) C = (15π/360) c = π/24
Así, 7 o 30′ = π/24 radianes
(vii) 125 o 30′
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por tanto, 125 o 30′ = 125 o (30/60) o = (125’/ 2 ) o = 251π/360
Así, 125 o 30′ = 251π/360 radianes
(viii) −47 o 30′
Solución:
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Por lo tanto, −47 o 30′ = −47 o (30/60) o = (−47’/ 2 ) o = (−95/2) o = (−95/2 × π/180) o = −19π/ 72
Así, −47 o 30′ = −19π/72 radianes
Pregunta 3. La diferencia entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 2 π radianes . Expresar los ángulos en grados.
Solución:
Sabemos que π rad = 180° ⇒ 1 rad = 180°/ π
Por lo tanto, 2π/5 radianes = (2π/5 × 180/ π) o .Sustituyendo el valor de π = 22/7, obtenemos
2π/5 radianes = (2×22/(7 × 5) × 180/22 × 7) = (2/5 × 180)° = 72°
Sea un ángulo agudo x° y el otro ángulo agudo sea (90° – x°).
Entonces, x° – (90° – x°) = 72° ⇒ 2x° – 90° = 72° ⇒ 2x° = 162° ⇒ x° = 81° y
Ahora, 90° – x° = 90° – 81° = 9°
∴ Los ángulos son 81 o y 9 o .
Pregunta 4. Un ángulo de un triángulo mide 2/3x grados, otro mide 3/2x grados y el tercero mide π x/75 radianes. Expresar todos los ángulos en grados.
Solución:
Dado:
Un ángulo de un triángulo es 2x/3 grados y otro es 3x/2 grados mientras que el tercero es πx/75 radianes.
Sabemos que, 1 grado = (9/10) o ⇒ 2/3x grado = (9/10 × 2/3x) o = 3/5x o
También porque, π radianes = 180° ⇒ 1 radian = 180°/π ⇒ πx/75 radianes= (πx/75 × 180/π) o = (12/5x) o
Ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
⇒ 3/5x o + 3/2x o + 12/5x o = 180 o ⇒ (6+15+24)/10x o = 180 o
Al multiplicar en cruz obtenemos, 45x o = 180 o × 10 o = 180 o ⇒ x o = 180 o /45 o = 40 o
∴ Los ángulos del triángulo son:
3/5x o = 3/5 × 40 o = 24 o
3/2x o = 3/2 × 40 o = 60 o
12/5 x o = 12/5 × 40 o = 96 o
Pregunta 5. Encuentra la magnitud, en radianes y grados, del ángulo interior de un regular:
(i) Pentágono
Solución:
Dado que la suma de los ángulos interiores de un polígono = (n – 2)π
Y cada ángulo del polígono = suma de los ángulos interiores del polígono/número de lados
Utilizando este razonamiento,
Número de lados en el pentágono = 5
Suma de los ángulos interiores del pentágono = (5 – 2) π = 3π radianes
Como π radianes = 180° ⇒ 1 radian = 180°/ π ⇒ 3π radianes = 3π × 180 o /π = 540 o
∴ Cada ángulo del pentágono = 3π/5 × 180 o /π = 108 o
(ii) Octágono
Solución:
Dado que la suma de los ángulos interiores de un polígono = (n – 2)π
Y cada ángulo del polígono = suma de los ángulos interiores del polígono/número de lados
Número de lados en octágono = 8
Suma de los ángulos interiores del octágono = (8 – 2)π = 6π
Como π radianes = 180° ⇒ 1 radian = 180°/ π ⇒ 6π radianes = 6π × 180o/π = 1080 o
∴ Cada ángulo del octágono = 6π/8 × 180 o /π = 135 o
(iii) Heptágono
Solución:
Dado que la suma de los ángulos interiores de un polígono = (n – 2)π
Y cada ángulo del polígono = suma de los ángulos interiores del polígono/número de lados
Número de lados en heptágono = 7
Suma de los ángulos interiores del heptágono = (7 – 2)π = 5π
Dado que π radianes = 180° ⇒ 1 radian = 180°/ π ⇒ 5π radianes = 5π × 180 o /π = 900 o
∴ Cada ángulo del heptágono = 5π/7 × 180 o / π = 900 o /7 = 128 o 34′17”
(iv) Dúo decágono
Solución:
Dado que la suma de los ángulos interiores de un polígono = (n – 2)π
Y cada ángulo del polígono = suma de los ángulos interiores del polígono/número de lados
Número de lados en dúo decágono = 12
Suma de los ángulos interiores del dúo decágono = (12 – 2)π = 10π radianes
Dado que π radianes = 180° ⇒ 1 radian = 180°/ π ⇒ 5π radianes = 10π × 180 o /π = 1800 o
∴ Cada ángulo del dúo decágono = 10π/12 × 180 o / π = 150 o
Pregunta 6. Los ángulos de un cuadrilátero están en AP, y el ángulo mayor es 120 o . Expresar los ángulos en radianes.
Solución:
Sean los ángulos del cuadrilátero (a – 3d)°, (a – d)°, (a + d)° y (a + 3d)°.
Sabemos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360°.
⇒ (a – 3d + a – d + a + d + a + 3d) = 360° ⇒ 4a = 360° ⇒ a= 90°
Dado:
El ángulo mayor = 120° ⇒ a + 3d = 120° ⇒ 90° + 3d = 120° ⇒ d = 30°/3 = 10 o
∴ Los ángulos son:
(a – 3d)° = 90° – 30° = 60°, (a – d)° = 90° – 10° = 80°, (a + d)° = 90° + 10° = 100° y (a + 3d)° = 120°
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Usando el razonamiento anterior, los ángulos del cuadrilátero en radianes son los siguientes:
(60 × π/180) radianes = π/3, (80 × π/180) radianes = 4π/9, (100 × π/180) radianes = 5π/9 y (120 × π/180) radianes = 2π/ 3.
Así, los ángulos del cuadrilátero en radianes son π/3, 4π/9, 5π/9 y 2π/3.
Pregunta 7. Los ángulos de un triángulo están en AP, y el número de grados en el ángulo menor es igual al número de grados en el ángulo medio como 1:120. Encuentra el ángulo en radianes.
Solución:
Sean los ángulos del triángulo (a – d)°, a° y (a + d)°.
Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
⇒ (a – d + a + a + d) = 180° ⇒ 3a = 180° ⇒ a = 60°
Se da que, número de grados en el ángulo menor/número de grados en el ángulo medio = 1/120
⇒ (anuncio)/a = 1/120 ⇒ (60-d)/60 = 1/120 ⇒ 120-2d = 1⇒ 2d = 119 ⇒ d = 119/2 = 59,5
∴ Los ángulos (en grados) son:
(a – d)° = 60° – 59,5° = 0,5°, a° = 60° y (a + d)° = 60° + 59,5° = 119,5°
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Usando el razonamiento anterior, los ángulos del cuadrilátero en radianes son los siguientes:
(0,5 × π/180) radianes = π/360, (60 × π/180) radianes = π/3 y (119,5 × π/180) radianes = 239π/360
Así, los ángulos del triángulo en radianes son π/360, π/3 y 239π/360.
Pregunta 8. El ángulo de un polígono regular es 3:2 con el de otro y el número de lados del primero es el doble que el del segundo. Determinar el número de lados de dos polígonos.
Solución:
Sea 2x el número de lados en el primer polígono y x en el segundo polígono.
Sabemos que, ángulo de un polígono regular de n lados = [(n-2)/n] π radianes
⇒ El ángulo del primer polígono = [(2x-2)/2x] π = [(x-1)/x] π radianes
⇒ El ángulo del segundo polígono = [(x-2)/x] π radianes
Así, [(x-1)/x] π / [(x-2)/x] π = 3/2 ⇒ (x-1)/(x-2) = 3/2
Multiplicando en cruz lo anterior obtenemos, 2x – 2 = 3x – 6 ⇒ 3x-2x = 6-2 ⇒ x = 4
∴ Número de lados en el primer polígono = 2x = 2(4) = 8
Número de lados en el segundo polígono = x = 4
Pregunta 9. Los ángulos de un triángulo están en AP tales que el mayor es 5 veces el menor. Encuentra los ángulos en radianes.
Solución:
Sean los ángulos del triángulo (a – d) o , a o y (a + d) o .
Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
⇒ (a – d + a + a + d) = 180° ⇒ 3a = 180° ⇒ a = 180°/3 = 60 o
Nos dan que el ángulo mayor = 5 × ángulo menor
Por lo tanto, ángulo mayor/ángulo menor = 5 ⇒ (a+d)/(ad) = 5 ⇒ (60+d)/(60-d) = 5
Al multiplicar en cruz obtenemos, (60 + d) = (300 – 5d) ⇒ 6d = 240 ⇒ d = 240/6 = 40
Por lo tanto, los ángulos son:
(a – d) ° = 60° – 40° = 20°, a° = 60° y (a + d)° = 60° + 40° = 100°
Sabemos 180 o = π radianes = π c o 1 o = (π/180) c
Usando el razonamiento anterior, los ángulos del cuadrilátero en radianes son los siguientes:
(20 × π/180) radianes = π/9, (60 × π/180) radianes = π/3 y (100 × π/180) radianes = 5π/9
Por lo tanto, los ángulos del triángulo en radianes son π/9, π/3 y 5π/9.
Pregunta 10. El número de lados de dos polígonos regulares es 5:4 y la diferencia entre sus ángulos es 9 o . Encuentra el número de lados de los polígonos.
Solución:
Sea 5x el número de lados en el primer polígono y 4x en el segundo polígono.
Sabemos que, ángulo de un polígono regular de n lados = [(n-2)/n] π radianes
El ángulo del primer polígono = [(5x-2)/5x] 180 o
El ángulo del segundo polígono = [(4x-1)/4x] 180 o
Así, [(5x-2)/5x] 180 o – [(4x-1)/4x] 180 o = 9 ⇒ 180 o [(4(5x-2) – 5(4x-2))/20x] = 9
Al multiplicar en cruz obtenemos, (20x – 8 – 20x + 10)/20x = 9/180 ⇒ 2/20x = 1/20 ⇒ 2/x = 1 ⇒ x = 2
∴Número de lados en el primer polígono = 5x = 5(2) = 10
Número de lados en el segundo polígono = 4x = 4(2) = 8
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por prabhjotkushparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA