Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 5 Funciones trigonométricas – Ejercicio 5.2

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas en cada una de las siguientes:

(i) cot x = 12/5, x en el cuadrante III

(ii) cos x = -1/2, x en el cuadrante II

(iii) tan x = 3/4, x en el cuadrante III

(iv) sen x = 3/5, x en el cuadrante I

Solución:

(i) cot x = 12/5, x en el cuadrante III

Como sabíamos que tan x y cot x son positivos en el tercer cuadrante 

y sen x, cos x, sec x, cosec x son negativos.

Usando las fórmulas,

bronceado x = 1/cuna x 

= \frac{1}{\frac{12}{5}}

= 5/12

cosec x = -\sqrt{1 + cot^2 x}

= -\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}\\ = -\sqrt{\frac{(25+144)}{25}}\\ = -\sqrt{\frac{169}{25}}

= -13/5 

sen x = 1/coseg x 

= \frac{1}{\frac{-13}{5}}

=- 5/13

porque x = -\sqrt{1 - sin^2 x}

\\ = - \sqrt{1 - \left(\frac{-5}{13}\right)^2}\\ = - \sqrt{\frac{(169-25)}{169}}\\ = -\sqrt{\frac{144}{169}}  

= -12/13 

seg x = 1/cos x 

= \frac{1}{\frac{12}{13}}

= – 13/12

Por lo tanto, los valores de las otras cinco funciones trigonométricas son: sin x = -5/13, cos x = -12/13, tan x = 5/12, cosec x = -13/5, sec x = -13/12 

(ii) cos x = -1/2, x en el cuadrante II

Como sabíamos que sen x y cosec x son positivos en el segundo cuadrante y

tan x, cot x, cos x, sec x son negativos.

Usando las fórmulas, obtenemos

sen x =  \sqrt{1 - cos^2 x}
\\ = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2}\\ = \sqrt{\frac{(4-1)}{4}}\\ = \sqrt{\frac{3}{4}}\\ = \frac{\sqrt3}{2}
\\ tan x = \frac{sin x}{cos x}\\ = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{{-\frac{1}{2}}}\\ = -\sqrt3
\\ cot x = \frac{1}{tan x}\\ = \frac{1}{-\sqrt3}\\ = \frac{-1}{\sqrt3}
\\ cosec x = \frac{1}{sin x} = \frac{1}{\frac{\sqrt3}{2}}\\ = \frac{2}{\sqrt3}
\\ sec x = \frac{1}{cos x}\\ = \frac{1}{\frac{-1}{2}}
= -2

Por lo tanto, los valores de las otras cinco funciones trigonométricas son: sin x = √3/2, tan x = -√3, cosec x = 2/√3, cot x = -1/√3, sec x = -2

(iii) tan x = 3/4, x en el cuadrante III

Como sabíamos que tan x y cot x son positivos en el tercer cuadrante y sen x, cos x, sec x, cosec x son negativos.

Usando las fórmulas,

sen x = \sqrt{1 - cos^2 x}
\\ = - \sqrt{(1-\left(\frac{-4}{5}\right)^2}\\ = - \sqrt{\frac{(25-16)}{25}}\\ = - \sqrt{\frac{9}{25}}\\ = - \frac{3}{5}
\\ cos x = \frac{1}{sec x}\\ = \frac{1}{\frac{-5}{4}}\\ = \frac{-4}{5}
\\ cot x = \frac{1}{tan x}\\ = \frac{1}{\frac{3}{4}}\\ = \frac{4}{3}
\\ cosec x = \frac{1}{sin x}\\ = \frac{1}{\frac{-3}{5}}\\ = \frac{-5}{3}
\\ sec x = -\sqrt{1 + tan^2 x}\\ = - \sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}\\ = - \sqrt{\frac{(16+9)}{16}}\\ = - \sqrt{\frac{25}{16}}\\ = \frac{-5}{4}

Por lo tanto, los valores de las otras cinco funciones trigonométricas son: sin x = -3/5, cos x = -4/5, cosec x = -5/3, sec x = -5/4, cot x = 4/3 

(iv) sen x = 3/5, x en el cuadrante I

Como sabíamos, todas las razones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

Entonces, usando las fórmulas,

bronceado x = \frac{sin x}{cos x}
\\ = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\ = \frac{3}{4}
\\ cosec x = \frac{1}{sin x}\\ = \frac{1}{\frac{3}{5}}\\ = \frac{5}{3} \\cos x = \sqrt{1-sin^2 x}\\ = \sqrt{1 - \left(\frac{-3}{5}\right)^2}\\ = \sqrt{\frac{(25-9)}{25}}\\ = \sqrt{\frac{16}{25}}\\ = \frac{4}{5}
\\ sec x = \frac{1}{cos x}\\ = \frac{1}{\frac{4}{5}}\\ = \frac{5}{4}
\\ cot x = \frac{1}{tan x}\\ = \frac{1}{\frac{3}{4}}\\ = \frac{4}{3}

Por lo tanto, los valores de las otras cinco funciones trigonométricas son: cos x = 4/5, tan x = 3/4, cosec x = 5/3, sec x = 5/4, cot x = 4/3 

Pregunta 2. Si sen x = 12/13 y está en el segundo cuadrante, encuentra el valor de sec x + tan x.

Solución:

Dado:

Sin x =  \frac{12}{13} y x está en el segundo cuadrante.

Sabemos que, en el segundo cuadrante, sen x y cosec x son positivos y todas las demás razones son negativas.

Entonces, usando las fórmulas, obtenemos

porque x = \sqrt{1-sin^2 x}
\\ = - \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\\ = - \sqrt{1- \left(\frac{144}{169}\right)}\\ = - \sqrt{\frac{(169-144)}{169}}\\ = -\sqrt{\frac{25}{169}}\\ = - \frac{5}{13}

tan x = sen x/cos x 

seg x = 1/cos x

tan x = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{-5}{13}}\\ = -\frac{12}{5}\\ sec x = \frac{1}{\frac{-5}{13}}\\ = \frac{-13}{5}

sec x + tan x = ((-13/5) +(-12/5))

= (-13 – 12)/5 = -25/5 = -5

Por lo tanto, el valor de Sec x + tan x = -5

Pregunta 3. Si sen x = 3/5, tan y = 1/2 y  π ​/2 < x < π < y < 3 π ​/2 encuentra el valor de 8 tan x -√5 seg y.

Solución:

Dado, sen x = 3/5, tan y = 1/2, y  π ​/2 < x< π< y< 3 π ​/2

Aquí, x está en el segundo cuadrante y y está en el tercer cuadrante. Entonces, cos x y 

tan x son negativos en el segundo cuadrante y sec y es negativo en el tercer cuadrante.

Entonces, usando la fórmula, obtenemos

porque x = - \sqrt{1-sin^2 x}

tan x = sen x/ cos x 

porque x = - \sqrt{1-sin^2 x}
\\ = - \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}\\ = - \sqrt{1 - \frac{9}{25}}\\ = - \sqrt{\frac{(25-9)}{25}}\\ = - \sqrt{\frac{16}{25}}\\ = - \frac{4}{5}
\\ tan x = \frac{sin x}{cos x}\\ = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}\\ = \frac{3}{5} × \frac{-5}{4}\\ = -\frac{3}{4}

Sabemos que seg y = - \sqrt{1+tan^2 y}
\\ = - \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ = - \sqrt{1 + \frac{1}{4}}\\ = - \sqrt{\frac{(4+1)}{4}}\\ = - \frac{\sqrt{5}}{2}

 8tan x – √5 seg y = 8 × (-3)/(4) – √5 × (-√5/2) = -6 + (5/2) = (-12 + 5)/2 = -7 /2 

8tan x – √5 seg y = -7/2

Por lo tanto, el valor de 8 tan x – √5 seg y = -7/2

Pregunta 4. Si sen x + cos x = 0 y x está en el cuarto cuadrante, encuentra sen x y cos x.

Solución:

Dado, sen x + cos x = 0 y x se encuentra en el cuarto cuadrante.

sen x = -cos x

sen x/cos x = -1

Entonces, tan x = -1 (ya que, tan x = sen x/cos x)

cos x y sec x son positivos en el cuarto cuadrante y 

todas las demás proporciones son negativas.

Entonces, usando las fórmulas,

segundo x = \sqrt{1 + tan^2\ x}

cos x = 1/seg x

sen x = - \sqrt{1- cos^2 x}

segundo x = \sqrt{1 + tan^2 x}

= \sqrt{1 + (-1)^2}\\ = \sqrt2\\ cos x = \frac{1}{sec\ x}\\ = \frac{1}{\sqrt2}\\ sin\ x = - \sqrt{1 - cos^2 x)}\\ = - \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}\\ = - \sqrt{1 - \frac{1}{2}}\\ = - \sqrt{\frac{(2-1)}{2}}\\ = - \sqrt{\frac{1}{2}}\\ = -\frac{1}{\sqrt2}

Por lo tanto, el valor de sen x = -1/√2 y cos x = 1/√2 

Pregunta 5. Si cos x = -3/5 y π < x < 3π/2, encuentre los valores de otras cinco funciones trigonométricas y, por lo tanto, evalúe \frac{cosec\ x+cot\ x}{sec\ x-tan\ x}

Solución:

Dado, cos x = -3/5 y π <x < 3π/2 

tan x y cot x son positivas en el tercer cuadrante y todas las demás proporciones son negativas.

Ahora, usando las fórmulas, obtenemos

sen x = – \sqrt{1-cos^2 x}

tan x = sen x/cos x     

cuna x = 1/bronceado x 

seg x = 1/cos x 

cosec x = 1/sen x 

sen x = - \sqrt{1-cos^2 x}
\\ = - \sqrt{1-\left(\frac{-3}{5}\right)^2}\\ = - \sqrt{1-\frac{9}{25}}\\ = - \sqrt{\frac{(25-9)}{25}}\\ = - \sqrt{\frac{16}{25}}\\ = - \frac{4}{5}

bronceado x = \frac{sin x}{cos\ x}
\\ = \frac{\frac{-4}{5}}{\frac{-3}{5}}\\ = \frac{-4}{5} × \frac{-5}{3}\\ = \frac{4}{3}

cuna x = \frac{1}{tan\ x}
\\ = \frac{1}{\frac{4}{3}}\\ = \frac{3}{4}

segundo x =  \frac{1}{cos\ x}
\\ = \frac{1}{\frac{-3}{5}}\\ = \frac{-5}{3}

cosec x =  \frac{1}{sin\ x}
\\ = \frac{1}{\frac{-4}{5}}\\ = \frac{-5}{4}

Ahora evaluamos:

\frac{cosec\ x+cot\ x}{sec\ x-tan\ x}  = \frac{\left[\frac{-5}{4} + \frac{3}{4}\right] }{ \left[\frac{-5}{3} - \frac{4}{3}\right]}
\\ = \frac{\left[\frac{(-5+3)}{4}\right] }{ \left[\frac{(-5-4)}{3}\right]}\\ = \frac{\frac{-2}{4} }{ \frac{-9}{3}}\\ = \frac{-1}{\frac{2} {-3}}\\ = \frac{1}{6}

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por codersgram9 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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