Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 7 Razones trigonométricas de ángulos compuestos – Ejercicio 7.1

Pregunta 17. Demostrar que:

(i) tan 8x – tan 6x – tan 2x = tan 8x tan 6x tan 2x

(ii) tan π/12 + tan π/6 + tan π/12 tan π/6 = 1

(iii) tan 36 ° + tan 9° + tan 36° tan 9° = 1

(iv) tan 13x – tan 9x – tan 4x = tan 13x tan 9x tan 4x

Solución:

(i) Demuestre: tan 8x – tan 6x – tan 2x = tan 8x tan 6x tan 2x

Prueba:

Resolvamos LHS

= tan 8x – tan 6x – tan 2x

= bronceado 8x

= tan(6x + 2x)

Como sabemos que

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 – tanA tanB)

Asi que,

= tan 8x (tan 6x + tan 2x)/(1 tan 6x tan 2x)

Ahora, multiplicando en cruz obtenemos,

= tan 8x (1 – tan 6x tan 2x) = tan 6x + tan 2x

= bronceado 8x – bronceado 8x bronceado 6x bronceado2x = bronceado 6x + bronceado 2x

Después de reorganizar obtenemos,

= tan 8x – tan 6x – tan 2x = tan 8x tan 6x tan 2x

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

(ii) Demuestre: tan π/12 + tan π/6 + tan π/12 tan π/6 = 1

Prueba:

Como sabemos que

π/12 15° y π/6 = 30°

Entonces, tenemos 15° + 30° = 45°

bronceado (15° +30°) = bronceado 45°

Ya que, tan (A + B)= (tan A+ tan B) / (1 – tanA tanB)

Asi que,

(bronceado 15°+bronceado 30°)/(1-bronceado 15° bronceado 30°) = 1

bronceado 15° bronceado 30° = 1 – bronceado 15° bronceado 30°

Después de reorganizar obtenemos,

tan15° + tan30° + tan 15° tan30° = 1

Por lo tanto probado.

(iii) Demostrar: tan 36° + tan 9° + tan 36° tan 9° = 1

Prueba:

Como sabemos que

36° + 9° = 45°

bronceado (36° + 9°) = bronceado 45°

Dado que, tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tanA tanB)

Asi que,

(bronceado 36° + bronceado 9°)/(1 – bronceado 36° bronceado 9°) = 1

bronceado 36° + bronceado 9° = 1 – bronceado 36° bronceado 9°

Después de reorganizar obtenemos,

bronceado 36° + bronceado 9° + bronceado 36° bronceado 9° = 1 = RHS

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

(iv) Demuestre: tan 13x-tan 9x-tan 4x = tan 13x tan 9x tan 4x

Prueba:

Vamos a resolver LHS,

= bronceado 13x – bronceado 9x – bronceado 4x

⇒ bronceado 13x = bronceado (9x + 4x)

Sabemos,

tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 – tanA tanB)

Asi que,

tan 13x = (tan 9x + tan 4x)/(1 – tan 9x tan 4x)

Ahora al multiplicar en cruz obtenemos,

tan 13x (1-tan 9x tan 4x) = tan 9x + tan 4x

bronceado 13x – bronceado 13x bronceado 9x bronceado 4x = bronceado 9x + bronceado 4x

Después de reorganizar obtenemos,

tan 13x – tan 9x – tan 4x = tan 13x tan 9x tan 4x = RHS

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 18. Probó que $\frac{tan^22θ-tan^2θ}{1-tan^22θtan^2θ}=tan3θtanθ$

Solución:

Demostrar: $\frac{tan^22θ-tan^2θ}{1-tan^22θtan^2θ}=tan3θtanθ$

Prueba:

Resolvamos RHS,

= tan3θ tanθ

= tan(2θ + θ) x tan(2θ – θ)

= $[\frac{tan2θ+tanθ}{1-tan2θtanθ}][\frac{tan2θ-tanθ}{1+tan2θtanθ}]$

= $\frac{tan^22θ-tan^2θ}{1-tan^22θtan^2θ}$

= LHS

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 19. Si $\frac{sin(x+y)}{sin(x-y)}=\frac{a+b}{a-b}$ , demuestre que tanx/tany = a/b

Solución:

Dado que $\frac{sin(x+y)}{sin(x-y)}=\frac{a+b}{a-b}$

⇒ $\frac{sinxcosy+sinycosx}{sinxcosy-sinycosx}=\frac{a+b}{a-b}$

⇒ $\frac{sinxcosy+sinycosx+sinxcosy-sinycosx}{sinxcosy+sinycosx-sinxcosy+sinycosx}=\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}$

Ahora usando componendo y Dividendo, obtenemos

⇒ $\frac{2sinxcosy}{2sinycosx}=\frac{2a}{2b}$

⇒tanx/tany = a/b

Por lo tanto Probado.

Pregunta 20. Si tanA = x tanB, demuestre que $\frac{sin(A-B)}{sin(A+B)}=(x-1)/(x+1)$

Solución:

Dado que

tanA = x tanB

senA/cosA = x senB/cosB

⇒ senAcosB = x cosA senB

Ahora, $\frac{sin(A-B)}{sin(A+B)}=\frac{sinAcosB-sinBcosA}{sinAcosB+cosAsinB}$

= $\frac{xcosAsinB-cosAsinB}{xcosAsinB+cosAsinB}$

= $\frac{cosAsinB(x-1)}{cosAsinB(x+1)}$

= (x – 1)(x + 1)

Por lo tanto Probado.

Pregunta 21. Si tan(A + B) = x y tan(A – B) = y, encuentre los valores de tan2A y tan2B.

Solución:

Dado que

tan(A + B) = x y tan(A – B) = y

Como sabemos que tan2A = tan[(A+B) + (AB)]

= $\frac{tan(A+B)+tan(A-B)}{1-tan(A+B)tan(A-B)}$

= (x + y) / (1 – xy)

Ya que, tan2B = tan[(A + B) – (A – B)]

Asi que,

= $\frac{tan(A+B)-tan(A-B)}{1+tan(A+B)tan(A-B)}$

= (x – y) / (1 + xy)

Pregunta 22. Si cosA + sinB = m y sinA + sinB = n, prueba que 2sin(A + B) = m ² + n ² – 2

Solución:

Dado que

cosA + senB = m y senA + cosB = n

Demostrar: 2sen(A + B) = m ² + n ² – 2

Prueba:

Resolvamos RHS, m ² + n ² – 2

= (cosA + senB) ² + (senA + cosB) ² – 2

= cos2A ⁺ sen2B ⁺ 2cosA senB + sen2A + cos2B ⁺ 2 ^senA cosB – 2

= (sen ² A + cos ² A) + (sen ² B + cos ² B) + 2 cosA senB + 2 senA cosB – 2

= 1 + 1 + 2 cosA senB + 2 senA cosB – 2

= 2 + 2(senA cosB + cosA senB) – 2

= 2(senA cosB + cosA senB)

= 2 sen(A + B)

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 23. Si tanA + tanB = a y cotA + cotB = b, demuestre que cot(A + B) = 1/a – 1/b.

Solución:

Dado que

tanA + tanB = a y cotA + cotB = b

Demostrar: cot(A + B) = 1/a – 1/b.

Prueba:

Resolvamos cotA + cotB = b

⇒ 1/tanA + 1/tanB = b

⇒ (tanA + tanB)/(tanA tanB) = b

⇒ a/(tanA tanB) = b

⇒ a/b = tanA tanB

Ahora lwts resuelve LHS = cot (A + B) = 1/ tan (A + B)

= 1 / (tanA + tanB)/(1 – tanA tanB)

= (1 – tanA tanB)(tanA + tanB)

= (1 – a/b) / a

= (ba)/ab

= b/ab – a/ab

= 1/a – 1/b

Por lo tanto probado.

Pregunta 24. Si θ está en el primer cuadrante y cosθ = 8/17, entonces prueba que:

cos(π/6 + θ) + cos(π/4 – θ) + cos(2π/3 – θ) = {(√3 – 1)/2 + 1/√2}23/17.

Solución:

Dado,

0 <x <π/2

Ahora, senx = $\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-64/289}=15/17$

Resolvamos LHS = cos(π/6 + x) + cos(π/4 – x) + cos(2π/3 – x)

= cos 30° cosx – sen 30° senx + cos 45° cosx + sen 45° senx +
cos 120° cosx + sen 120° senx

= cosx (cos 30° + cos 45° + cos 120°) + senx (- sen 30° + sen 45° + sen 120°)

= (8/17)(√3/2 + 1/√2 – 1/2) + (15/17)(-1/2 + 1/√2 + √3/2)

= (8/17)((√3-1)/2 + 1/√2) + (15/17)((√3 – 1)/2 + 1/√2)

= (23/17)((√3-1)/2 + 1/√2)

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 25. tanx + tan(x + π/3) + tan(x + 2π/3) = 3, luego prueba que (3tanx – tan ³ x)/(1 – 3tan ² x) = 1

Solución:

Dado,

tanx + tan(x + π/3) + tan(x + 2π/3) = 3

Demostrar: (3tanx – tan ³ x)/(1 – 3tan ² x) = 1

Prueba:

⇒ $tanx + \frac{tanx+tan\frac{π}{3}}{1-tanx.tan\frac{π}{3}}+\frac{tanx+tan\frac{2π}{3}}{1-tanx.tan\frac{2π}{3}}=3$

⇒ $tanx+\frac{tanx+√3}{1-√3tanx}+\frac{tanx-√3}{1+√3tanx}=3$

⇒ $\frac{tanx(1-3tan^2x)+tanx+√3+√3tan^2x+3tanx+tanx-√3-√3tan^2x+3tanx}{1-3tan^2x}=3$

⇒ $\frac{9tanx-3tan^3x}{1-3tan^2x}=3$

⇒ $\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}=1$

Por lo tanto probado.

Pregunta 26. Si sen(α + β) = 1 y sen(α – β) = 1/2, donde 0 ≤ α, β ≤ π/2, entonces encuentre los valores de tan(α + 2β) y tan(2α + β)

Solución:

Dado,

sin(α + β) = 1 y sin(α – β) = 1/2

Encuentre los valores de tan(α + 2β) y tan(2α + β)

Asi que,

⇒ α + β = 90° …..(i)

y α – β = 30° …..(ii)

Ahora sumando la ecuación (i) y la ecuación (ii) obtenemos,

⇒ 2α = 120°

⇒ α = 60°

Y al restar la ecuación (ii) de la ecuación (i), obtenemos,

⇒ 2β = 60°

⇒ β = 30°

Asi que,

tan(α + 2β) = tan(60° + 2 × 30°) = tan120° = -√3

tan(2α + β) = tan(2 × 60° + 30°) = tan150° = -1/√3

Pregunta 27. Si α, β son dos valores diferentes de x que se encuentran entre 0 y 2π, que satisfacen la ecuación 6cosx + 8sinx = 9, encuentra el valor de sin(α + β).

Solución:

Dado,

6 cosx + 8 senx = 9

⇒ 6 cosx = 9 – 8 senx

⇒ 36 cos ² x = (9 – 8 senx) ²

⇒ 36(1 – sen ² x) = 81 + 64 sen ² x – 144 senx

⇒ 100 sen ² x – 144 sen x + 45 = 0

Ahora, consideremos que α y β son las raíces de la ecuación dada,

Entonces, cosα y cosβ son las raíces de la ecuación anterior.

⇒ sinα sinβ = 45/100

Otra vez,

6 cos x + 8 sen x = 9

⇒ 8senx = 9 – 6 cosx

⇒ 64 sen ² x = (9 – 6 cosx) ²

⇒ 64(1 – cos ² x) = 81 + 36 cos ² x – 108 cos x

⇒ 100 cos ² x – 108 cos x + 17 = 0

Ahora, consideremos que α y β son las raíces de la ecuación dada,

Entonces, sinα y sinβ son las raíces de la ecuación anterior.

entonces, cosα cosβ = 17/100

Por tanto, cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ

= 17/100 – 45/100

= -28/100

= -7/25

sen(α + β) = √(1 – cos ² (α + β))

= √(1 – (-7/25) ² )

= √(576/625

= 24/25

Pregunta 28 (i), Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Solución:

Dado que, sinα + sinβ = a y cosα + cosβ = b

Mostrar: sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Entonces, ahora resuelve b ² + a ² = (cosα + coβ) ² + ( sinα + sinβ) ²

= (cos ² α + sen ² α) + (sen ² β + cos ² β) + 2(cosα cosβ + senα senβ)

= 1 + 1 + 2 cos(α – β)

= 2 + 2 cos(α – β) ……..(i)

y,

b ² – a ² = (cosα + coβ) ² – ( sinα + sinβ) ²

= cos ² α + cos ² β – sen ² α – sen ² β + 2(cosα cosβ – senα senβ)

= (cos ² α – sen ² α) + (cos ² β – sen ² β) + 2 cos (α + β)

= 2cos(α + β)cos(α – β) + 2cos(α + β)

= cos(α + β){2cos(α – β) + 2}

= cos(α + β)(b ² + a ² ) …….(ii)

⇒ (b ² – a ² )/(b ² + a ² ) = cos(α + β)

⇒ sen(α + β) = √(1 – cos ² (α + β))

= $\sqrt{1-(\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2})^2}=\sqrt{\frac{b^4+a^4-b^4-a^4+4a^2b^2}{(b^2+a^2)^2}}$

= 2ab/(a ² + b ² )

Pregunta 28 (ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ= b, demuestre que cos(α + β) = (b ² – a ² )/(b ² + a ² )

Solución:

Dado que, sinα + sinβ = a y cosα + cosβ= b

Mostrar: cos(α + β) = (b ² – a ² )/(b ² + a ² )

Entonces, ahora resuelve b ² + a ² = (cosα + coβ) ² + ( sinα + sinβ) ²

= (cos ² α + sen ² α) + (sen ² β + cos ² β) + 2(cosα cosβ + senα senβ)

= 1 + 1 + 2 cos(α – β)

= 2 + 2 cos(α – β) ……(i)

y,

b ² – a ² = (cosα + coβ) ² – ( sinα + sinβ) ²

= cos ² α + cos ² β – sen ² α – sen ² β + 2(cosα cosβ – senα senβ)

= (cos ² α – sen ² α) + (cos ² β – sen ² β) – 2 cos (α + β)

= 2cos(α + β) cos(α – β) + 2cos(α – β)

= cos(α + β) {2cos(α – β) + 2} ……..(ii)

Ahora de (i) y (ii), tenemos

⇒ b ² – a ² = cos(α + β)(a ² + b ² )

⇒ (b ² – a ² )/(b ² + a ² ) = cos(α + β)

Pregunta 29 (i). probado que $\frac{1}{sin(x-a)sin(x-b)}=\frac{cot(x-a)-cot(x-b)}{sin(a-b)}$

Solución:

Resolvamos RHS

= $\frac{cot(x-a)-cot(x-b)}{sin(a-b)}$

= $\frac{\frac{cos(x-a)}{sin(x-a)}-\frac{cos(x-b)}{sin(x-b)}}{sin(a-b)}$

= $\frac{sin(x-b)cos(x-a)-sin(x-a)cos(x-b)}{sin(x-a)sin(x-b)sin(a-b)}$

= $\frac{sin(x-b-x+a)}{sin(x-a)sin(x-b)sin(a-b)}$

= $\frac{sin(a-b)}{sin(x-a)sin(x-b)sin(a-b)}$

= $\frac{1}{sin(x-a)sin(x-b)}$

= LHS

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Pregunta 29 (ii). probado que $\frac{1}{sin(x-a)cos(x-b)}=\frac{cot(x-a)+tan(x-b)}{cos(a-b)}$

Solución:

Resolvamos RHS

= $\frac{cot(x-a)+tan(x-b)}{cos(a-b)}$

= $\frac{\frac{cos(x-a)}{sin(x-a)}+\frac{sin(x-b)}{cos(x-b)}}{cos(a-b)}$

= $\frac{cos(x-b)cos(x-a)+sin(x-a)sin(x-b)}{cos(x-b)sin(x-a)cos(a-b)}$

= $\frac{cos(x-b-x+a)}{sin(x-a)cos(x-b)cos(a-b)}$

= $\frac{cos(a-b)}{sin(x-a)cos(x-b)cos(a-b)}$

= $\frac{1}{sin(x-a)cos(x-b)}$

= lado derecho

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 29 (iii). probado que $\frac{1}{cos(x-a)cos(a-b)}=\frac{tan(x-b)-tan(x-a)}{sin(a-b)}$

Solución:

Resolvamos RHS

= $\frac{tan(x-b)-tan(x-a)}{sin(a-b)}$

= $\frac{\frac{sin(x-b)}{cos(x-b)}-\frac{sin(x-a)}{cos(x-a)}}{sin(a-b)}$

= $\frac{sin(x-b)cos(x-a)-sin(x-a)sin(x-b)}{cos(x-b)cos(x-a)sin(a-b)}$

= $\frac{sin(x-b-x+a)}{cos(x-a)cos(x-b)sin(a-b)}$

= $\frac{sin(a-b)}{cos(x-a)cos(x-b)sin(a-b)}$

= $\frac{1}{cos(x-a)cos(x-b)}$

= LHS

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 30. Si sinα sinβ – cosα cosβ + 1 = 0, se demostró que 1 + cotα tanβ = 0

Solución:

Dado,

sinα sinβ – cosα cosβ + 1 = 0

⇒ -(cosα cosβ – sinα sinβ) + 1 = 0

⇒ -cos(α + β) + 1 = 0

⇒ cos(α + β) = 1

Por tanto, sen(α + β) = 0 ……(i)

Resolvamos LHS

= 1 + cotα tanβ = 1 + (cosα sinβ)/(sinα cosβ)

= (sinα cosβ + cosα sinβ)/ (sinα cosβ)

= sin(α + β)/ (sinα cosβ)

Ahora de la ecuación (i), obtenemos

= 0

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 31. tanα = x + 1 y tanβ = x – 1, demuestra que 2cot(α – β) = x ²

Solución:

Tenemos,

tanα = x + 1 y tanβ = x – 1

Como sabemos que tan(α – β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanα tanβ)

= [(x + 1) – (x – 1)] / [1 + (x + 1)(x – 1)]

= (x + 1 – x + 1) / (1 + x ² – 1)

= 2/ (1 + x ² – 1)

= 2/ ^x2

cuna(α – β) = x ² /2

2cot(α – β) = x ²

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

Pregunta 32. Si el ángulo θ se divide en dos partes tales que las tangentes de una parte son λ partes por la tangente de la otra, y ϕ es su diferencia, entonces demuestre que senθ = (λ + 1)/(λ – 1) senϕ .

Solución:

Consideremos α y β como las dos partes del ángulo θ.

Entonces, θ = α + β y ϕ = α – β

Según la pregunta, obtenemos

tanα = λ tanβ

⇒ tanα / tanβ = λ/1

Ahora, aplicando componendo y dividendo, obtenemos

⇒ (tanα + tanβ) / (tanα – tanβ) = (λ+1) / (λ-1)

⇒ $\frac{\frac{sinα}{cosα}+\frac{sinβ}{cosβ}}{\frac{sinα}{cosα}-\frac{sinβ}{cosβ}}=\frac{λ+1}{λ-1}$

⇒ $\frac{\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ}}{\frac{sinαcosβ-cosαsinβ}{cosαcosβ}}=\frac{λ+1}{λ-1}$

⇒ $\frac{sin(α+β)}{sin(α-β)}=\frac{λ+1}{λ-1}$

⇒ $\frac{sinθ}{sinϕ}=\frac{λ+1}{λ-1}$

⇒ $sinθ=\frac{λ+1}{λ-1}sinϕ$

Por lo tanto probado.

Pregunta 33. Si tanθ = (sinα – cosα)/(sinα + cosα), entonces demuestre que sinα + cosα = √2cosθ

Solución:

Dado que tanθ = (sinα – cosα)/(sinα + cosα)

Ahora, al dividir el numerador y el denominador por cosα, obtenemos

⇒ tanθ = (tanα – 1)(tanα + 1)

⇒ tanθ = (tanα – tan(π/4))(1+tan(π/4)tanα)

⇒ tanθ = tan(α – π/4)

⇒ θ = (α – π/4)

Ahora tomando cos en ambos lados, obtenemos

⇒ cosθ = cos(α – π/4)

⇒ cosθ = cosα.cos(π/4) + sinα.sin(π/4)

⇒ cosθ = cosα(1/√2) + senα(1/√2)

⇒ cosθ = (cosα + senα)/√2

⇒ √2cosθ = senα + cosα

Por lo tanto probado

Pregunta 34. Si tan(A + B) = p, tan(A – B) = q, entonces demuestre que tan2A = (p + q)/(1 – pq)

Solución:

Dado que, tan(A + B) = p, tan(A – B) = q

Ahora resolvamos RHS,

(p + q)/(1 – pq) = $\frac{tan(A+B)+tan(A-B)}{1-tan(A+B).tan(A-B)}$

= $\frac{\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}+\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}}{1-\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}.\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}}$

= $\frac{\frac{(tanA+tanB)(1+tanAtanB)+(tanA-tanB)(1-tanAtanB)}{(1-tanAtanB)(1+tanAtanB)}}{\frac{(1-tanAtanB)(1+tanAtanB)-(tanA+tanB)(tanA-tanB)}{(1-tanAtanB)(1+tanAtanB)}}$

= $\frac{tanA+tanB+tan^2AtanB+tanAtan^2B+tanA-tanB-tan^2AtanB+tanAtan^2B}{1-tan^2Atan^2B-tan^2A+tan^2B}$

= $\frac{2tanA+2tanA.tan^2B}{(1-tan^2A)(1+tan^2B)}$

= $\frac{2tanA(1+tan^2B)}{(1-tan^2A)(1+tan^2B)}$

= $\frac{2tanA}{1-tan^2A}$

= tan2A = LHS

LHS = RHS

Por lo tanto Probado.

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Artículo escrito por rahulsharma1771996 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 7 Razones trigonométricas de ángulos compuestos – Ejercicio 7.1 | conjunto 2

Pregunta 17. Demostrar que:

Pregunta 18. Probó que $\frac{tan^22θ-tan^2θ}{1-tan^22θtan^2θ}=tan3θtanθ$

Pregunta 19. Si $\frac{sin(x+y)}{sin(x-y)}=\frac{a+b}{a-b}$ , demuestre que tanx/tany = a/b

Pregunta 20. Si tanA = x tanB, demuestre que $\frac{sin(A-B)}{sin(A+B)}=(x-1)/(x+1)$

Pregunta 21. Si tan(A + B) = x y tan(A – B) = y, encuentre los valores de tan2A y tan2B.

Pregunta 22. Si cosA + sinB = m y sinA + sinB = n, prueba que 2sin(A + B) = m ² + n ² – 2

Pregunta 23. Si tanA + tanB = a y cotA + cotB = b, demuestre que cot(A + B) = 1/a – 1/b.

Pregunta 24. Si θ está en el primer cuadrante y cosθ = 8/17, entonces prueba que:

cos(π/6 + θ) + cos(π/4 – θ) + cos(2π/3 – θ) = {(√3 – 1)/2 + 1/√2}23/17.

Pregunta 25. tanx + tan(x + π/3) + tan(x + 2π/3) = 3, luego prueba que (3tanx – tan ³ x)/(1 – 3tan ² x) = 1

Pregunta 26. Si sen(α + β) = 1 y sen(α – β) = 1/2, donde 0 ≤ α, β ≤ π/2, entonces encuentre los valores de tan(α + 2β) y tan(2α + β)

Pregunta 27. Si α, β son dos valores diferentes de x que se encuentran entre 0 y 2π, que satisfacen la ecuación 6cosx + 8sinx = 9, encuentra el valor de sin(α + β).

Pregunta 28 (i), Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Pregunta 28 (ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ= b, demuestre que cos(α + β) = (b ² – a ² )/(b ² + a ² )

Pregunta 29 (i). probado que $\frac{1}{sin(x-a)sin(x-b)}=\frac{cot(x-a)-cot(x-b)}{sin(a-b)}$

Pregunta 29 (ii). probado que $\frac{1}{sin(x-a)cos(x-b)}=\frac{cot(x-a)+tan(x-b)}{cos(a-b)}$

Pregunta 29 (iii). probado que $\frac{1}{cos(x-a)cos(a-b)}=\frac{tan(x-b)-tan(x-a)}{sin(a-b)}$

Pregunta 30. Si sinα sinβ – cosα cosβ + 1 = 0, se demostró que 1 + cotα tanβ = 0

Pregunta 31. tanα = x + 1 y tanβ = x – 1, demuestra que 2cot(α – β) = x ²

Pregunta 32. Si el ángulo θ se divide en dos partes tales que las tangentes de una parte son λ partes por la tangente de la otra, y ϕ es su diferencia, entonces demuestre que senθ = (λ + 1)/(λ – 1) senϕ .

Pregunta 33. Si tanθ = (sinα – cosα)/(sinα + cosα), entonces demuestre que sinα + cosα = √2cosθ

Pregunta 34. Si tan(A + B) = p, tan(A – B) = q, entonces demuestre que tan2A = (p + q)/(1 – pq)

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Pregunta 17. Demostrar que:

Pregunta 18. Probó que

Pregunta 19. Si , demuestre que tanx/tany = a/b

Pregunta 20. Si tanA = x tanB, demuestre que

Pregunta 21. Si tan(A + B) = x y tan(A – B) = y, encuentre los valores de tan2A y tan2B.

Pregunta 22. Si cosA + sinB = m y sinA + sinB = n, prueba que 2sin(A + B) = m 2 + n 2 – 2

Pregunta 23. Si tanA + tanB = a y cotA + cotB = b, demuestre que cot(A + B) = 1/a – 1/b.

Pregunta 24. Si θ está en el primer cuadrante y cosθ = 8/17, entonces prueba que:

cos(π/6 + θ) + cos(π/4 – θ) + cos(2π/3 – θ) = {(√3 – 1)/2 + 1/√2}23/17.

Pregunta 25. tanx + tan(x + π/3) + tan(x + 2π/3) = 3, luego prueba que (3tanx – tan 3 x)/(1 – 3tan 2 x) = 1

Pregunta 26. Si sen(α + β) = 1 y sen(α – β) = 1/2, donde 0 ≤ α, β ≤ π/2, entonces encuentre los valores de tan(α + 2β) y tan(2α + β)

Pregunta 27. Si α, β son dos valores diferentes de x que se encuentran entre 0 y 2π, que satisfacen la ecuación 6cosx + 8sinx = 9, encuentra el valor de sin(α + β).

Pregunta 28 (i), Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a 2 + b 2 )

Pregunta 28 (ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ= b, demuestre que cos(α + β) = (b 2 – a 2 )/(b 2 + a 2 )

Pregunta 29 (i). probado que

Pregunta 29 (ii). probado que

Pregunta 29 (iii). probado que

Pregunta 30. Si sinα sinβ – cosα cosβ + 1 = 0, se demostró que 1 + cotα tanβ = 0

Pregunta 31. tanα = x + 1 y tanβ = x – 1, demuestra que 2cot(α – β) = x 2

Pregunta 32. Si el ángulo θ se divide en dos partes tales que las tangentes de una parte son λ partes por la tangente de la otra, y ϕ es su diferencia, entonces demuestre que senθ = (λ + 1)/(λ – 1) senϕ .

Pregunta 33. Si tanθ = (sinα – cosα)/(sinα + cosα), entonces demuestre que sinα + cosα = √2cosθ

Pregunta 34. Si tan(A + B) = p, tan(A – B) = q, entonces demuestre que tan2A = (p + q)/(1 – pq)

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Pregunta 18. Probó que $\frac{tan^22θ-tan^2θ}{1-tan^22θtan^2θ}=tan3θtanθ$

Pregunta 19. Si $\frac{sin(x+y)}{sin(x-y)}=\frac{a+b}{a-b}$ , demuestre que tanx/tany = a/b

Pregunta 20. Si tanA = x tanB, demuestre que $\frac{sin(A-B)}{sin(A+B)}=(x-1)/(x+1)$

Pregunta 22. Si cosA + sinB = m y sinA + sinB = n, prueba que 2sin(A + B) = m ² + n ² – 2

Pregunta 25. tanx + tan(x + π/3) + tan(x + 2π/3) = 3, luego prueba que (3tanx – tan ³ x)/(1 – 3tan ² x) = 1

Pregunta 28 (i), Si senα + senβ = a y cosα + cosβ = b, demuestre que sen(α + β) = 2ab/(a ² + b ² )

Pregunta 28 (ii). Si senα + senβ = a y cosα + cosβ= b, demuestre que cos(α + β) = (b ² – a ² )/(b ² + a ² )

Pregunta 29 (i). probado que $\frac{1}{sin(x-a)sin(x-b)}=\frac{cot(x-a)-cot(x-b)}{sin(a-b)}$

Pregunta 29 (ii). probado que $\frac{1}{sin(x-a)cos(x-b)}=\frac{cot(x-a)+tan(x-b)}{cos(a-b)}$

Pregunta 29 (iii). probado que $\frac{1}{cos(x-a)cos(a-b)}=\frac{tan(x-b)-tan(x-a)}{sin(a-b)}$

Pregunta 31. tanα = x + 1 y tanβ = x – 1, demuestra que 2cot(α – β) = x ²