Pregunta 1: Encuentra los valores máximo y mínimo de cada una de las siguientes expresiones trigonométricas:
(i) 12 sen x – 5 cos x
(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4
(iii) 5 cos x + 3 sen ( π /6 – x) + 4
(iv) sen x – cos x + 1
Solución:
Como es sabido el valor máximo de A cos α + B sen α + C es C+ √(A 2 +B 2 ),
Y el valor mínimo es C – √(a 2 + B 2 ).
(i) 12sen x – 5cos x
Dado:
f(x) = 12 sen x – 5 cos x
Aquí, A = -5, B = 12 y C = 0
–√((-5) 2 + 12 2 ) ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √((-5) 2 + 12 2 )
–√(25+144) ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √(25+144)
–√169 ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √169
–13 ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ 13
Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son 13 y –13 respectivamente.
(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4
Dado:
f(x) = 12 cos x + 5 sen x + 4
Aquí, A = 12, B = 5 y C = 4
4 – √(12 2 + 5 2 ) ≤ 12 porque x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √(12 2 + 5 2 )
4 – √(144+25) ≤ 12 porque x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √(144+25)
4 –√169 ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √169
–9 ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 17
Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son –9 y 17 respectivamente.
(iii) 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4
Dado:
f(x) = 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4
Como sabemos, sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B
f(x) = 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4
= 5 cos x + 3 (sen π/6 cos x – cos π/6 sen x) + 4
= 5 cos x + 3/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4
= 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4
Entonces, aquí A = 13/2, B = – 3√3/2, C = 4
4 – √[(13/2) 2 + (-3√3/2) 2 ] ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + √[(13/2) 2 + ( -3√3/2) 2 ]
4 – √[(169/4) + (27/4)] ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + √[(169/4) + (27/4)]
4 – 7 ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + 7
–3 ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 11
Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son –3 y 11 respectivamente.
(iv) sen x – cos x + 1
Dado:
f(x) = sen x – cos x + 1
Entonces, aquí A = -1, B = 1 y c = 1
1 – √[(-1) 2 + 1 2 ] ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √[(-1) 2 + 1 2 ]
1 – √(1+1) ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √(1+1)
1 – √2 ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √2
Por lo tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son 1 – √2 y 1 + √2 respectivamente.
Pregunta 2: Reduzca cada una de las siguientes expresiones al Seno y Coseno de una sola expresión:
(i) √3 sen x – cos x
(ii) cos x – sen x
(iii) 24 cos x + 7 sen x
Solución:
(i) √3sen x – cos x
Sea f(x) = √3 sen x – cos x
Dividir y multiplicar por √((√3) 2 + 1 2 ) es decir, por 2
f(x) = 2(√3/2 sen x – 1/2 cos x)
Expresión de seno:
f(x) = 2(cos π/6 sen x – sen π/6 cos x) (ya que, √3/2 = cos π/6 y 1/2 = sen π/6)
Como sabemos que, sen A cos B – cos A sen B = sen (A – B)
f(x) = 2 sen (x – π/6)
Otra vez,
f(x) = 2(√3/2 sen x – 1/2 cos x)
Expresión del coseno:
f(x) = 2(sen π/3 sen x – cos π/3 cos x)
Como sabemos que, cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)
f(x) = -2 cos(π/3 + x)
(ii) cos x – sen x
Sea f(x) = cos x – sen x
Dividiendo y multiplicando por √(1 2 + 1 2 ) es decir, por √2,
f(x) = √2(1/√2 cos x – 1/√2 sen x)
Expresión de seno:
f(x) = √2(sen π/4 cos x – cos π/4 sen x) (ya que, 1/√2 = sen π/4 y 1/√2 = cos π/4)
Sabemos que sen A cos B – cos A sen B = sen (A – B)
f(x) = √2 sen (π/4 – x)
Otra vez,
f(x) = √2(1/√2 cos x – 1/√2 sen x)
Expresión del coseno:
f(x) = 2(cos π/4 cos x – sen π/4 sen x)
Sabemos que cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)
f(x) = √2 cos (π/4 + x)
(iii) 24 cos x + 7 sen x
Sea f(x) = 24 cos x + 7 sen x
Dividiendo y multiplicando por √((√24) 2 + 7 2 ) = √625 es decir, por 25,
f(x) = 25(24/25 cos x + 7/25 sen x)
Expresión de seno:
f(x) = 25(sen α cos x + cos α sen x) donde, sen α = 24/25 y cos α = 7/25
Sabemos que sen A cos B + cos A sen B = sen (A + B)
f(x) = 25 sen (α + x)
Expresión del coseno:
f(x) = 25(cos α cos x + sen α sen x) donde, cos α = 24/25 y sen α = 7/25
Sabemos que cos A cos B + sen A sen B = cos (A – B)
f(x) = 25 porque (α – x)
Pregunta 3: Demuestra que Sin 100° – Sin 10°] es positivo.
Solución:
Sea f(x) = sen 100° – sen 10°
Dividiendo y multiplicando por √(1 2 + 1 2 ) es decir, por √2,
f(x) = √2(1/√2 sen 100° – 1/√2 sen 10°)
f(x) = √2(cos π/4 sen (90+10)° – sen π/4 sen 10°) (ya que, 1/√2 = cos π/4 y 1/√2 = sen π/4 )
f(x) = √2(cos π/4 cos 10° – sen π/4 sen 10°)
Sabemos que cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)
f(x) = √2 coseno (π/4 + 10°)
Por lo tanto,
f(x) = √2 cos 55°
Pregunta 4: Demuestre que (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x se encuentra entre – (2√3 + √15) y (2√3 + √15).
Solución:
Sea f(x) = (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x
Aquí, A = 2√3, B = 2√3 + 3 y C = 0
– √[(2√3) 2 + (2√3 + 3) 2 ] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[(2√3) 2 + (2√3 + 3) 2 ]
– √[12+12+9+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[12+12+9+12√3]
– √[33+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[33+12√3]
– √[15+12+6+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[15+12+6+12√3]
Como sabemos que (12√3 + 6 < 12√5) porque el valor de √5 – √3 es mayor que 0,5
Si reemplazamos, (12√3 + 6 con 12√5) la desigualdad anterior sigue siendo válida.
Después de reorganizar la expresión anterior:
√(15+12+12√5)obtenemos, 2√3 + √15
– 2√3 + √15 ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ 2√3 + √15
Por lo tanto, probado.
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Artículo escrito por codersgram9 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA