Clase 11 Soluciones RD Sharma – Capítulo 7 Razones trigonométricas de ángulos compuestos – Ejercicio 7.2

Pregunta 1: Encuentra los valores máximo y mínimo de cada una de las siguientes expresiones trigonométricas:

(i) 12 sen x – 5 cos x

(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4

(iii) 5 cos x + 3 sen ( π /6 – x) + 4  

(iv) sen x – cos x + 1

Solución:

Como es sabido el valor máximo de A cos α + B sen α + C es C+ √(A 2 +B 2 ),

Y el valor mínimo es C – √(a 2 + B 2 ).

(i) 12sen x – 5cos x

Dado: 

f(x) = 12 sen x – 5 cos x

Aquí, A = -5, B = 12 y C = 0

–√((-5) 2 + 12 2 ) ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √((-5) 2 + 12 2 )

–√(25+144) ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √(25+144)

–√169 ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ √169

–13 ≤ 12 sen x – 5 cos x ≤ 13

Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son 13 y –13 respectivamente.

(ii) 12 cos x + 5 sen x + 4

Dado: 

f(x) = 12 cos x + 5 sen x + 4

Aquí, A = 12, B = 5 y C = 4

4 – √(12 2 + 5 2 ) ≤ 12 porque x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √(12 2 + 5 2 )

4 – √(144+25) ≤ 12 porque x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √(144+25)

4 –√169 ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 4 + √169

–9 ≤ 12 cos x + 5 sen x + 4 ≤ 17

Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son –9 y 17 respectivamente.

(iii) 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4  

Dado: 

f(x) = 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4  

Como sabemos, sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B

f(x) = 5 cos x + 3 sen (π/6 – x) + 4  

= 5 cos x + 3 (sen π/6 cos x – cos π/6 sen x) + 4

= 5 cos x + 3/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4

= 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4

Entonces, aquí A = 13/2, B = – 3√3/2, C = 4

4 – √[(13/2) 2 + (-3√3/2) 2 ] ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + √[(13/2) 2 + ( -3√3/2) 2 ]

4 – √[(169/4) + (27/4)] ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + √[(169/4) + (27/4)]

4 – 7 ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 4 + 7

–3 ≤ 13/2 cos x – 3√3/2 sen x + 4 ≤ 11

Por tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son –3 y 11 respectivamente.

(iv) sen x – cos x + 1

Dado: 

f(x) = sen x – cos x + 1

Entonces, aquí A = -1, B = 1 y c = 1

1 – √[(-1) 2 + 1 2 ] ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √[(-1) 2 + 1 2 ]

1 – √(1+1) ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √(1+1)

1 – √2 ≤ sen x – cos x + 1 ≤ 1 + √2

Por lo tanto, los valores máximo y mínimo de f(x) son 1 – √2 y 1 + √2 respectivamente.

Pregunta 2: Reduzca cada una de las siguientes expresiones al Seno y Coseno de una sola expresión:

(i) √3 sen x – cos x

(ii) cos x – sen x

(iii) 24 cos x + 7 sen x

Solución:

(i) √3sen x – cos x

Sea f(x) = √3 sen x – cos x

Dividir y multiplicar por √((√3) 2 + 1 2 ) es decir, por 2

f(x) = 2(√3/2 sen x – 1/2 cos x)

Expresión de seno:

f(x) = 2(cos π/6 sen x – sen π/6 cos x) (ya que, √3/2 = cos π/6 y 1/2 = sen π/6)

Como sabemos que, sen A cos B – cos A sen B = sen (A – B)

f(x) = 2 sen (x – π/6)

Otra vez,

f(x) = 2(√3/2 sen x – 1/2 cos x)

Expresión del coseno:

f(x) = 2(sen π/3 sen x – cos π/3 cos x)

Como sabemos que, cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)

f(x) = -2 cos(π/3 + x)

(ii) cos x – sen x

Sea f(x) = cos x – sen x

Dividiendo y multiplicando por √(1 2 + 1 2 ) es decir, por √2,

f(x) = √2(1/√2 cos x – 1/√2 sen x)

Expresión de seno:

f(x) = √2(sen π/4 cos x – cos π/4 sen x) (ya que, 1/√2 = sen π/4 y 1/√2 = cos π/4)

Sabemos que sen A cos B – cos A sen B = sen (A – B)

f(x) = √2 sen (π/4 – x)

Otra vez,

f(x) = √2(1/√2 cos x – 1/√2 sen x)

Expresión del coseno:

f(x) = 2(cos π/4 cos x – sen π/4 sen x)

Sabemos que cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)

f(x) = √2 cos (π/4 + x)

(iii) 24 cos x + 7 sen x

Sea f(x) = 24 cos x + 7 sen x

Dividiendo y multiplicando por √((√24) 2 + 7 2 ) = √625 es decir, por 25,

f(x) = 25(24/25 cos x + 7/25 sen x)

Expresión de seno:

f(x) = 25(sen α cos x + cos α sen x) donde, sen α = 24/25 y cos α = 7/25

Sabemos que sen A cos B + cos A sen B = sen (A + B)

f(x) = 25 sen (α + x)

Expresión del coseno:

f(x) = 25(cos α cos x + sen α sen x) donde, cos α = 24/25 y sen α = 7/25

Sabemos que cos A cos B + sen A sen B = cos (A – B)

f(x) = 25 porque (α – x)

Pregunta 3: Demuestra que Sin 100° – Sin 10°] es positivo.

Solución:

Sea f(x) = sen 100° – sen 10°

Dividiendo y multiplicando por √(1 2 + 1 2 ) es decir, por √2,

f(x) = √2(1/√2 sen 100° – 1/√2 sen 10°)

f(x) = √2(cos π/4 sen (90+10)° – sen π/4 sen 10°) (ya que, 1/√2 = cos π/4 y 1/√2 = sen π/4 )

f(x) = √2(cos π/4 cos 10° – sen π/4 sen 10°)

Sabemos que cos A cos B – sen A sen B = cos (A + B)

f(x) = √2 coseno (π/4 + 10°)

Por lo tanto,

f(x) = √2 cos 55°

Pregunta 4: Demuestre que (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x se encuentra entre – (2√3 + √15) y (2√3 + √15).

Solución:

Sea f(x) = (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x

Aquí, A = 2√3, B = 2√3 + 3 y C = 0

– √[(2√3) 2 + (2√3 + 3) 2 ] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[(2√3) 2 + (2√3 + 3) 2 ]

– √[12+12+9+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[12+12+9+12√3]

– √[33+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[33+12√3]

– √[15+12+6+12√3] ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ √[15+12+6+12√3]

Como sabemos que (12√3 + 6 < 12√5) porque el valor de √5 – √3 es mayor que 0,5

Si reemplazamos, (12√3 + 6 con 12√5) la desigualdad anterior sigue siendo válida.

Después de reorganizar la expresión anterior:

√(15+12+12√5)obtenemos, 2√3 + √15

– 2√3 + √15 ≤ (2√3 + 3) sen x + 2√3 cos x ≤ 2√3 + √15

Por lo tanto, probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por codersgram9 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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